Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 119

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

порядок Ак ~ 2я/Й, толщина Ат ~ 2я/£, где L — характерный размер включения в плоскости габитуса, а отношение толщины к длине

АЛ. D Ат

Таким образом, при интегрировании по к основной вклад в величину АЕ вносит интегрирование по области, в которой вектор к и, следовательно, вектор п = к/к слабо отклоняется от направления единичного вектора нор­ мали к плоскости габитуса п0. Поэтому функцию АВ (п) можно заменить первым неисчезающим членом разложения в ряд по малым отклонениям 6п вектора п от вектора п0:

где бн =

 

Aß(n) = т

\Щ1

1/ П=п»«яіЧ

(3-п-2>

п — п0.

 

 

- —

Нулевой

член разложения

АВ (п)

равен нулю в

силу определения

АВ (п0) =

0.

Первый член разложения также равен нулю, так как при п =

= п0 функция АВ (п) имеет минимум. Варьируя тождество (п0п0) = 1, полу­

чим условие

 

 

(п0 бн) = 0,

 

(З.П.З)

показывающее, что вектор 6п лежит в плоскости габитуса,

ортогональной

к вектору п„. Вектор 6п можно представить в виде

 

бп = -г- = , —

.

(З.П.4)

кѴкі + х*

Подставляя (З.П.4) в (З.П.2), получим:

Л

 

 

тз гту

(З.П.5)

A ß (n )= ß <По)

2ß *„M

к\

+ т*

к\ + та 1

‘‘»и

ki + f

где

 

 

 

 

 

„ , ч 1 /Э*ДВ(п)\

п .

* = (**. V -

ßij ("») = — (- е

т г

)

\

t

]

/ П=По

 

хх, ту — декартовы координаты вектора т в плоскости габитуса. Выбирая систему координат в плоскости габитуса таким образом, чтобы оси координат совпадали с главными осями тензора Рг;-(п0), упростим выражение (З.П.5):

 

^ 2

- т - 2

 

АВ (п) = ßi

ß2 kl + x*’

(З.П.6)

 

*! + **

 

где ßt и ß2 — главные значения тензора ß^(n0).

2я

 

 

/

Следует подчеркнуть, что в области малых kz 11 кг | <

cto, где а 0 — не­

которое число, большее

единицы) вектор п существенно отклоняется от нап­

равления вектора п0,

так как угол

отклонения имеет порядок Атlkz ~

— 2n/Lkz. Для того чтобы аккуратно учесть этот эффект при вычислении инте­ грала (З.П.1), произведем следующую процедуру: исключим из интеграла

(З.П.1) область

 

2я

2я

^

— j ао ^

ао,

371

а уже затем устремим эту область к нулю, устремляя к бесконечности размер L и сохраняя неизменным размер D, т. е. совершим предельный переход DIL —* 0. Эта процедура позволяет найти асимптотическое выражение для упругой энергии АЕ:

АЕ

(“

4 sin2 (к D/2)

dk

ее

dH

 

і*

(*

. ,

 

 

)

----- fc4*Г—

"ST J

(К ? АВ(П)і

\ dVe

’

(ЗЛЛ)

 

2ict0 L

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (З.П.6)

в (З.П.7), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 sin2 (kJ)/!) dkz

 

 

 

 

 

(З.П.8)

 

 

2яа0/Х.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Л.) =

- w ^

+ 5

 

+

^

5 ^

^

exp [-

<т«(* - ж,) -

= * S

'

--TO

 

Z

X

V

S

S

 

 

-*Ttf(y -У')],

(З.П.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'* <**>=01S

w

2

 

 

 

5

dy5

 

exp t - £t*(* -

*,} -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■itУ (У-?/')]

 

(З.П.10)

 

 

(d2р = dx dy,

d2p' =

dx' dy',

p =

(ar, у)).

 

 

 

Вычисление интегралов должно производиться при условии D/L <^_і. Рассмотрим подробнее вычисление интеграла (З.П.9). Первоначально в (З.П.9) произведем интегрирование по тх. Это дает:

/і (*,)= 2 Ü 2л

Y ] ? T 7 i §

dxdy§ d*'dy' exp[

 

^ 1 -

— оо

 

’

 

г т )/ й

S

 

(у — У')]■ (З.П.11)

 

 

 

 

 

 

—

Интегрирование (З.П.11)

по у и у' в пределах

от у_ (х)

до у+ (х) дает (см.

рис. 40):

 

 

 

 

 

 

 

 

М * 2) - 1 Г $ - ^ Г

Y

1f

r

^ r \

d x \ dx' РХР ( -

У к1 +

Х1

! * - * ' ! > *

 

г

Kz

'

Tv

 

 

 

 

X (exp {— іхуу+ (ж)} — exp {— іхуу_ (ж)}) (exp {ixyy^ (ж')} — exp {іт:у У_ (ж')}).

 

 

 

 

 

 

 

 

(З.П.12)

Заменяя область интегрирования (ж, ж') на область (£,

ж), где £ = ж' —

— ж, перепишем (З.П.12)

в форме

 

 

 

/ i ( y = ^ ^ - y = = - ^ ^ d E e x P { - / / C4 + T4 |5 |} X

X (exp {— іхуу+ (ж)} —exp {—іх^у_ (ж)))(exp {ixyy+ (ж + £)}—exp{іхуу_ (ж + 5)}).

(З.П.13)

Так как

Ѵ к \ + х г ~ i ^ 4 »

_ L

J _

А2 ~ D ’

372

т о н а л и ч и е

э к с п о н е н ц и а л ь н о г о

м н о ж и т е л я

е х р ( — Ѵ к і + т і i s o -

~ exp I—

^j в подинтегральной

функции

позволяет распространить

пределы интегрирования по |, имеющие порядок L, от минус до плюс бес­ конечности. Так как интервал значений £, дающий вклад в интеграл (З.П.ІЗ), имеет порядок D, то разности у+ (х + |) — у+ (х) и у_ (х + £) — у_ (х) можно заменить первыми неисчезающими членами их разложения по

 

 

 

 

 

+

 

dy+

 

 

(З.П.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точность этой замены имеет порядок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

I Jv_

 

 

 

 

Так как

 

 

 

’ /

dx

 

 

 

 

 

dy

 

dbj

[1 + (dy/dxff-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

dx2

 

R .

R .

L

 

 

 

 

 

 

 

 

e

"'c

 

 

где Rc — радиус кривизны

 

кривой у = у (х), то

 

 

 

 

 

 

 

d*у

/

dy

Т)

 

 

(З.П.15)

 

 

 

■ Е Г 57

 

 

 

 

Таким образом, представление (З.П.14) справедливо с точностью до ве­

личин порядка D/L<^. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (З.П.14) в (З.П.ІЗ), перепишем последнюю в форме

 

 

СЛ *

 

1

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z ~

 

 

 

 

 

 

 

X ^

d^ ехр {— V к \ + X*

\ l I) jexp [іту

 

 

+

 

 

— ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ехр [ігѵ l i t *] — 2 cos xv [V+ (*) -

У- (*)]} • (З.П.16)

В

аргументе

косинуса

 

в (З.П.16)

мы пренебрегли

слагаемыми

вида

dy

~ D по сравнению со слагаемыми у+ (х) — у_ (х) ~

 

L. Точность

этой

- j —- \

 

процедуры также имеет порядок D/L<^. 1. Интегрируя (З.П.16) по 5, получим:

Іі(кг) = - ^ - ^ х

^

drv

 

 

 

+

 

 

 

 

2я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t + ' i b + m ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-|

4 cos xy [y+(x) — y_ (ж)]

 

+

^ + Tv [d + ( dx ) ] .

Интегрируя выражение (З.П.17) по ху, имеем:

Ь(*,> = 2Ш -!И іГ

1

 

L iA + tW

 

ft

dx

ß*

2 I ** I у4$іх) Vi + {dyldxf

2 I I

. (З.П.17)

k l

 

■]

 

І

dl

(З.П.18)

W W ’

yJy{x) гi +

373

где

dl =

V"dx2

+ dy2 =

1 + (dy/dx)2

dx есть элемент длины кривой

у =

у (гг).

Интегрирование в (З.П.18)

производится по замкнутому кон­

туру

У — у (х).

В выражении (З.П.18)

опущен

интеграл по тѵ от третьего

слагаемого в фигурных скобках в (З.П.17). Этот интеграл равен

 

 

 

 

2

 

У- ( Х) И

 

 

 

• j x j е х р { — I I

(* ) -

и имеет порядок D ехр (— L/D), т. е. представляет собой экспоненциально малую величину по большому параметру L/D^> 1. Аналогичным образом вычисляется интеграл Iz (kz). Он равен

,

, , , ___ ËL

f

 

dy

 

 

 

 

 

dl (dy/dx)2

(З.П.19)

h ( kz) ~ 21

к.

 

 

 

_

2 I kzAr I J

1 + (dy/dx)2

 

 

 

z I

- / 1 -f (dx/dy)2

 

 

Подставляя (З.П.18)

и (З.П.19) в (З.П.8),

получим:

 

 

 

 

 

AE

 

 

 

 

 

 

Г

— dy/dx

I 2)

 

 

 

 

 

 

 

+ß4

V i+ (d y/d x )2

J \dlX

 

 

 

• $ М т Щ (dy/dx)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

f*

4 sin 2 (k D/2)

dk

 

 

 

 

 

 

 

 

X1T

 

)

 

к!

 

(3 -n -2°)

При D/L —* 0 асимптотическое значение интеграла по кг в

(З.П.20)

равно

D2

L

и не зависит от величины константы а 0.

Таким образом,

выра­

In -р-

жение (З.П.20) можно переписать в форме

 

 

 

 

 

 

Д й =

(j)

ö(m )dlm,

где б (m) =

(ßtm^ + ßamp

1,9 ^ 4

D\ ■(З.п.21)

 

 

1/=і/(ж)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

— (dy/dx)

есть компоненты единичного

*

/ 1

+ (dy/dx)2

’

y

 

 

 

 

V 1 + (dy/dx)2

 

 

 

 

 

вектора нормали

m

к кривой

у =

у (х). В

недиагональном

представлении

величина ö (т ) имеет вид билинейной формы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

D2\n(L/D)

 

„

 

 

 

(З.П.22)

 

 

 

 

6 (,п) =

------ 4Н-------?ѵтоіті •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычисление энергии Д2?

для одномерной модулированной

 

 

 

 

 

 

структуры

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим комплекс, имеющий форму цилиндра, ось которого направ­ лена вдоль оси [001] матричного кристалла, а сечение[плоскостью (001), пер­ пендикулярное к оси цилиндра, имеет произвольную форму. Пусть объем комплекса полностью заполнен чередующимися пластинчатыми включениями двух выделяющихся фаз, а сами пластины расположены перпендикулярно к оси цилиндра [001]. Полагаем, что полное число включений/Ѵ и объемная доля у первой фазы заданы.

Введем функцию формы р-й фазы Ѳр (г), равную единице, если радиусвектор г попадает внутрь материала, занятого р-й фазой, и нулю в противо­

положном случае. Для рассматриваемого случая, когда комплекс состоит из двух фаз, индекс р принимает два значения: 1 и 2.

374

Так как все пластинчатые включения ограничены цилиндрическими бо­ ковыми поверхностями комплекса, то поверхности всех пластинчатых включе­ ний, ограниченные плоскостями (001), имеют одинаковую форму и равные площади. Последнее позволяет записать фурье-компоненту функции формы Ѳр (г) в виде произведения двух фурье-компонент: S (т) — функции формы площади поперечного сечения комплекса плоскостью (001) (функции формы поверхности пластин) и фр (kz) — функции формы в направлении оси ци­ линдра [001]. При этом

Ѳр(к)= *5 (т)фр(Лг).

'

(4.П.1)

где

ОО

ѳр(к) = Щ ѵ г)е~ікг<*®г’

к = (т, kz), г — составляющая вектора к на плоскость (001), к2 — компо­ нента вектора к на направление [001];

ОО

5(т)= ^ 5 ( р ) е-іт^р ,

—ОО

р — составляющая радиуса-вектора г на плоскость (001); S (р) — функция формы сечения комплекса, равная единице, если вектор р находится в преде­

лах сечения комплекса, и нулю в противоположном случае;

ОО

Tp(fe2) = \ 4>v (z)e~tkr dz\

—ОО

z — компонента радиуса-вектора г на направление оси [001]; фр (z) — функ­

ция формы, равная единице, если координата z отвечает точке г, находящейся внутри включения р -й фазы, и нулю в противоположном случае.

Так как обе равновесные фазы целиком заполняют комплекс, то оказы­ вается справедливым тождество

Ф х(*г)+ Ф2(*2)= Ф (*2).

где ф (kz) — фурье-компонента функции формы всего комплекса по коорди­ нате г. Во'всех точках обратного пространства, в которых kzLz 2g> 1 (Lz — размер комплекса в направлении оси цилиндра [001]), можно полагать, что

Фі (*2) + Ф2(а2) = °-

(4.П.2)

Используя (4.П.2), можно записать функцию 7 (к), входящую в (29.18), в виде

с (к) = [cJtj (кг) -f с®ф2 (/с2)] S (т) = (с® — с®) ф! (kz) S (т). (4.П.З)

Подставляя (4.П.З) в (29.18), получим:

Ä Е = — 3К иі (с® - с«)2^ ÄL (— ) IФі (kz) р I5 (т) р

• (4.П.4)

Пусть пластинчатые включения в комплексе образуют одномерное перио­ дическое распределение. Элементарная ячейка такого распределения (тран­

375

Смотрите также файлы