Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Асимптотика больших времен в линейной теории спинодапьного распада

Рассмотрим асимптотику больших времен в выражении для распреде­ ления концентрации при спинодальном распаде. Из выражения (6.31) сле­ дует, что концентрационная неоднородность при спинодальном распаде мо­ жет быть представлена в форме

6с (г, t) = с(г) — с = " ^ 2 с ( к , 0) exp [— tR (к)] ехр (ікг),

(1.П.1)

к

 

где суммирование производится по всем точкам квазиконтинуума в первой зоне Бриллюэна. Переходя в (1.П.1) от суммирования к интегрированию по первой зоне Бриллюэна, получим:

fff

d3k

-

0) ехр [ — tR (к)] ехр (ікг),

(1.П.2)

6с (г, t) = V ^

- ^ 3

с (к,

— ОС

 

 

 

 

где V — объем, приходящийся на один узел решетки. При больших значе­

ниях времени t основной вклад в интеграл (1.П.2) дают области,

расположен­

ные вблизи минимумов декремента R (к). В области температур

Т < Тй, где

Т0 — температура спинодали, минимумы функции R (к) достигаются в точ­

ках к1а обратного пространства (векторы к1а образуют звезду {кг}):

 

R (к]а) =

min R (к)-

 

Как это следует из рис. 18, min R (к) <

0. Разлагая функцию і? (к) в ряд Тей­

лора вблизи ее минимумов с точностью до квадратичных членов,

получим:

R (k) = R (к1а +

т) =

min R (к) + ЛуТ^,

(1.П.З)

где т = к — к1а.

Подставляя (1.П.З) в (1.П.2) и производя интегрирование вблизи всех

точек к1а, получим:

 

 

 

 

I

 

Ф * ) ц гі гі

ѵ-с (к1а, 0) ехр (I min R (к) 11) ехр

I

^ -----

öc(r,t ) = 2 i -

(2 Ѵ ш ) 3 l/T n etb ?

(І.П.4)

 

 

 

где (Л“1)^ — тензор,

обратный тензору Лу, Det Лу — детерминант, состав-

367

ленный из компонент тензора /J?-. В асимптотическом предельном случае

при t —>оо выражение

(1.11.4)

упрощается. Оно приобретает вид

 

öc (г,

0 =

2 * (кі«’ г) ехр (ікіаг)’

(1.П.5)

где

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

с (к,„,

t) =

ѵ

~с (кха> °) ехР (I min R

(к) I О

(1.П.6)

------------- — -----,

■—-----

(2 / я 0 3 /|О е 1 0 ? .|

есть амплитуда концентрационной волны, нарастающая во времени по за­ кону t ехр (I min Л (к) | «)■

2. Минимизация свободной энергии по параметрам 7*0’»)

Минимизируя свободную энергию (10.5) по т8 (js) и учитывая, что в силу условия нормировки (10.12) внутренняя энергия (10.6) не зависит от ys (/g) (см. выражение (10.39)), получим:

, _

„ л ,

п (R)

бп (R)

(2.П.1)

бЛ =

_ х Г 2 і п ТТг ^ - б ^

у 0 Т 8 (/5) = 0 ,

 

 

R

 

 

 

 

 

 

где бy„(ja) — вариация

коэффициента уs (is)-

 

Из выражения (10.9) следует,

что

 

 

 

 

 

бп (R)

V » (/.) ехР (£k;, R)-

(2.П.2)

 

 

бТд (/8) =

Подставляя (2.П.2) в (2.П.1), получим:

 

 

 

2

ln

1

(R) ехР (ik;sR) ö?s (/,) = °-

(2.11.3)

R

 

 

n (R)

 

 

 

 

 

 

 

совпадает с симметрией функции

Так как симметрия функции In ^

д ^

w(R)

может

быть

представлена в той же форме (10.9), что

п (R), то In ^ _п ^

и п (R):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

п (R)

 

_

V T --

(2.П.4)

 

1п i _ „ ( r) = c + 2

v s(r ).

где

 

 

 

ik, R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ës(R) =

2

rs (/5)e

,s -

2

i r . w i 2=1-

 

T)s и Ts (js) — некоторые эффективные «параметры» дальнего порядка и нор­ мированные коэффициенты Фурье соответственно, зависящие от истинных параметров дальнего порядка т)8 и нормированных коэффициентов Фурье Ts (/*). Подставляя (2.Н.4) в (2.П.З) и производя суммирование по R, получим:

2 Г^ 6М /*) = °-

(2.П.5)

U

368

Равенство (2.П.5) можно интерпретировать как скалярное произведение многомерных обобщенных векторов Г, = {Г8 (1), Г8 (2), . . .} и ö \s =

= {6ys (1), 6ys (2), . . .}. Равенство нулю скалярного произведения (Г* 6у8)

означает ортогональность векторов Г* и 6у».

Так как экстремум свободной энергии ищется при дополнительном ус­

ловии (10.12), то имеет место тождество:

 

 

(Vgi ÖY„) = 0, где

ѵа = {Ts (1), Т, (2),...}.

(2.П.6)

Равенство (2.П.6) означает, что обобщенные векторы у* и ö \ s также ор­

тогональны. Так как вектор ö y s может принимать любые значения,

оставаясь

при этом в гиперплоскости, нормальной к вектору

то равенство (2.П.5)

(г;,

бѴі)= о

 

 

означает, что вектор Г8 ортогонален

той же гиперплоскости и, следователь­

но, коллинеарен вектору у8:

 

 

 

Г. = Хуе.

 

 

S

' 5 *

 

 

Коэффициент пропорциональности X равен единице, так как (Г*Г8) =

(у*у8) =

= 1 и правая часть (2.П.4) есть действительная функция. Таким образом, из

условия экстремума свободной энергии (2.П.1)

следует равенство

 

 

 

r 8 = Vs,

или

Г (/g)= Y s (/,)•

 

(2.П.7)

Следовательно, мы можем переписать равенство (2.П.З) в виде

 

 

,

п (R)

_

 

 

 

 

 

1п 1 _п (R) =

с + 2 І ^ (^-

^

•••'• Ti, Т2, .... Tf, - К

(R).

(2.П.8)

 

 

в

 

 

 

 

 

Разлагая коэффициент ц, (ць ц2, . . ., t]s, . . .;

у2, . . ., ys,

. . .) вряд по

параметрам дальнего порядка т)і, %,

. . ., r)s, . . ., выделим из (2.П.8)

слагае­

мое, пропорциональное т)®. Это слагаемое имеет вид

 

 

 

 

*£«(?,) ®S(R) =

(Ys)2 Т, (/',) e,k5sR>

 

(2.П.9)

 

 

 

 

h

 

 

 

где a (ys) — коэффициент разложения. С другой стороны, это же слагаемое можно получить, возводя в куб функцию T)ses (R) и выделяя из него члены, пропорциональные экспонентам exp(ikJSR). Оно, если принять во внимание условие нормировки (10.12), может быть представлено в форме

^ 2 [* - 4 - I Т8 (/.) I2] Т. (/,) . (2.П.10)

Для того чтобы выражение (2.П.10) могло принять форму (2.П.9), следую­ щую из условия минимума F, необходимо, чтобы все модули отличных от ну­ ля коэффициентов у (kjs), принадлежащих к каждой звезде s, были бы равны Д РУГ другу.

Чтобы найти фазовые множители ехр [гф8 (/,)] коэффициентов y8(/s), удобно выделить из (2.П.8) слагаемое, пропорциональное т)™+1, где т —

369

наименьшее возможное натуральное число, на которое надо умножить любой

вектор звезды {kys}, чтобы получить умноженный на 2л

вектор обратной

решетки неупорядоченной фазы. Это слагаемое имеет вид

 

C +1<Wi (Y5K (R )-

(2.П.11)

С другой стороны, это же слагаемое можно получить, возводя в степень т + 1 фуцкцию T]ses (R) и выделяя из т|™+1 [es (R)]7"41 члены,пропорциональные экс­

понентам exp (ikjR). Последняя процедура,

если учесть полученный выше

результат,

что

| Ts (1) I

— I Ts (2) I = • • •

=

I Ts I и>

следовательно,

TSÜ8) .= I

Ts I e. s

s ,

дает:

 

 

 

 

 

 

C

+1 2

l* + ßelm^ (is> ] Ta (/,)

e%8R .

(2.11.12)

 

 

 

h

 

 

 

 

Выражение (2.П.12) совпадает с выражением (2.П.11) лишь в том случае, если

Ф, (/,) =*ЯІгІт (1$ = 0,

1, ..., 2т — 1).

(2.П.13)

Таким образом, коэффициенты TTS (h)

= I Tsl«1"1^7” в выражении (10.9)

представляют собой константы, которые в пределах однофазной области не зависят от термодинамических параметров системы — температуры, состава, давления. Изменения коэффициентов ?s (js) могут происходить только скач­ ком на границах однофазной области. При этом каждое такое изменение приводит к изменению кристаллографической симметрии фазы.

В заключение отметим, что все рассуждения настоящего приложения про­ водились в рамках модели самосогласованного поля. Следует, однако, иметь в виду, что все результаты оказываются справедливыми и в общем случае, так как при их выводе, по существу, использовались только соображения сим­ метрии. В этом можно убедиться, если провести те же рассуждения по отно-

6F

п (R)

шению к функции gп

, что и по отношению к функции j _п ^ •

3. Энергия внутренних напряжений А Е в асимптотическом случае тонких пластинчатых включений

Энергия внутренних напряжений АЕ, создаваемых пластинчатым вклю­ чением, имеет вид

1 е dkz 4 sin2 (к D/2) (у Л2Т (» г*

АІ? = “Г

)

JT------ ä

ßn? ДВ (“) \

d2P'eiT<P"p,)’ (ЗП1)

i

—oo

—оо

S

S

где kz — проекция вектора к на направление нормали к плоскости габитуса п0, X — проекция вектора к на плоскость габитуса (к = (т, kz)), р — радиусвектор в плоскости габитуса, интегрирование по р производится по площади в пределах замкнутого контура у = у (х), состоящего из двух ветвей у+(х) и У-(х) (см. Рис40), п = й/А, D — толщина включения.

Как отмечалось в § 21, интегрирование по к в (З.П.1), по существу, про­ изводится в пределах длинного и узкого стержня в к-нространстве, перпенди­ кулярного к плоскости габитуса. Характерная длина этого стержня имеет

І370

Смотрите также файлы