Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

где максимизация выполняется отдельно для двух элементов а(1). Для элемента уг (1) имеет место совпадение двух величин, и мы про­ извольно выбираем правило 2 как оптимальное решение. Для элемен­ та v2 (1) правило 1 (ничего не делать) максимизирует выражение. Таким образом, вектор оптимальных решений d (1) имеет вид:

Если следовать вектору оптимальных решений, то уравнение (15) будет таким:

Для элемента v1 (2) снова имеет место совпадение, и мы опять про­ извольно выбираем правило 2 в качестве оптимального решения1. Для элемента о2 (2) оптимальным решением будет правило 2 (всегда ремонтировать машину, если она этого требует). Вектор оптимальных решений для периода 2 имеет вид:

и если следовать оптимальным решениям в течение обоих периодов,

•то уравнение (19) будет таким:

Эта процедура может быть повторена при п = 3, 4, ... до тех пор, пока не будет пройдено нужное количество периодов.

Для п — 3

v (3) = Мах {д(/г) -|- Р</г) v (2)} =

1 Для первого элемента v(n) всегда будет иметь место совпадение, поскольку оба решающих правила идентичны для состояния 1 (ничего не делать).

2 1 8

при этом

d (3) = [2 2]'.

Заметим, что если до конца остался лишь один период времени, то неоптимально ремонтировать машину, а если до конца осталось два или три периода, то будет оптимально ее отремонтировать, если она находится в состоянии 2 (требует регулировки)1.

а) ОПТИМАЛЬНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СТРАТЕГИИ

Только что рассмотренный метод решения позволяет нам получить оптимальные решающие правила для случая, когда до конца осталось п переходов. Предположим, что мы заинтересованы в прибыльности системы в течение большого срока времени и хотели бы максимизиро­ вать ожидаемое вознаграждение g за период. Эта задача может быть решена повторным применением методов, описанных в параграфе 4, т. е. мы можем взять по очереди все решающие правила, вычислить соответствующие матрицы Р и R, вектор стационарных вероятностей х', вектор ожидаемого вознаграждения за следующий период q и ожи­ даемое стационарное вознаграждение g = x'q. Тогда простое сравне­ ние величин g для различных решающих правил определит оптималь­ ную стационарную стратегию, т. е. то решающее правило, которое максимизирует стационарное ожидаемое вознаграждение,? за период2. Например, стационарной стратегией для примера из предыдущего параграфа, максимизирующей ожидаемое вознаграждение, является «ремонтировать машину, если она этого требует», и ожидаемое вознаг­ раждение равно 1,33 доллара за период (см. упражнение 13).

б) ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ С ДИСКОНТОМ

Во многих проблемах экономики при рассмотрении денежных потоков в различные моменты времени следует принимать во внима­ ние изменение стоимости денег с течением времени. По этой причине было бы весьма желательным иметь возможность дисконтирования будущих доходов; ктомуже привлечение соображений, связанных сдисконтированием, к нашей проблеме выбора решения приведет к тому, что полученная оптимальная стратегия будет быстрее сходиться к опти­ мальной стационарной стратегии при п, стремящемся к бесконечности.

Дисконтирование непосредственно дополняет рассмотренную на-

ми схему; пусть а = ^ 1 ^ — дисконтный множитель, соответствую­

1Общее применение рекурсивной оптимизации, которую мы только что опи­ сали, называется динамическим программированием. Для предварительного ознакомления см. [3], а для более полного изучения см. [1] или [2 ].

Существуют другие методы, которые обеспечивают систематический поиск оптимальной стационарной стратегии без анализа всех возможностей, см. [5].

2 1 9

щий процентной ставке г за период. Тогда уравнение (13) принимает вид:

далее — рассмотрение аналогично предыдущему.

Упражнения

1. Две машины А и В сдаются в аренду по одной и той же цене. Эти машин имеют следующие различные матрицы вероятностей перехода, соответствующих состояниям «работает хорошо» (состояние I) и «требует регулировки» (со­ стояние 2):

машина А машина В

--из трех аэропортов. Какой из них вы порекомендовали бы для этой цели? По­ чему?

4.Рассмотрите матрицу вероятностей перехода для двух состояний,

заданную в общем виде:

p J P ii Р» .

.Р21 Р22_

Определитеэлементы вектора стационарных вероятностей х' = [kj, п21 через элементы Р. (Напоминаем, что сумма элементов любой строки равна 1.)

5. Поведение рынка ценных бумаг обнаруживает следующую тенденцию: сделки, в которых изменение цен направлено в одну сторону, сменяются сдел­ ками, в которых это изменение направлено в другую сторону. Предположим, что условная вероятность возрастания цен после предшествовавшего периода

220

их падения равна 0,75, и также наоборот. Определите соответствующие состоя­

Предположите, что в некотором магазине 1000 лиц пользуются кредитом. Подсчитайте стационарное ожидаемое вознаграждение за период.

9. Некоторый производитель кофе анализирует возможность проведения рекламной кампании, направленной на привлечение покупателей к его сорту кофе. Из данных, полученных при исследовании рынка, ему удалось оценить нынешние вероятности того, что покупатели сменят «наш сорт» на «какой-либо другой», и наоборот. Обе вероятности равны 0,2. Исследователи рынка, исходя из предположения о неизменности рекламы конкурента, предварительно оцени­ вают результаты кампании следующим образом: единственным изменением вероятностей будет возрастание с 0,2 до 0,3 вероятности смены «какого-либо сорта» на «наш сорт».

а) Предположите, что проведение рекламной кампании стоит 70 миллионов долларов (нынешняя оценка всех будущих затрат) и что на рынке 50 миллионов покупателей кофе. Каждый покупатель в среднем приносит 2 доллара прибыли (рассчитываемой до уплаты налогов). Если учетная ставка равна 20% в год, то следует ли производителю проводить рекламную кампанию? (Предположите, что стационарность наступает очень быстро.) (Указание. Матрица вознагражде­ ний не нужна; работайте непосредственно со стационарными вероятностями.)

221