и мы найдем, что х'5— х ’2, хё = хз, х\ = |
|
х[ и т. д. |
Таким образом, |
даже принимая во внимание, что вектор х |
' |
= |
Г |
^ |
1 |
1 |
1 1 |
удовлетво |
|
|
|
^ |
|
ряет уравнению х' = х'Р, нельзя сказать, что стационарные вероят
ности равны каждая так как состояние системы в любой будущий
период можно точно предсказать, если известно начальное состояние. Начав с состояния 1 в нулевой период, система попадает в него же в пе риоды 3, 6, 9, ..., в состояние 2 — в периоды 1, 4, 7, ..., в состояние 3 — в периоды 2, 5, 8...... Такая система называется периодической. Вектор х ', удовлетворяющий уравнению (1) в периодической системе, можно рассматривать как вектор вероятностей лишь в случае, когда начальное состояние системы неизвестно. В этом случае, если вероят ности каждого состояния системы в начальный момент равны, то ве роятность пребывания в любом из конкретных состояний в любой будущий период дается элементами х'1.
в) ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ЭРГОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Даже если марковская цепь имеет одно или более переходных сос тояний, из этого не следует существования поглощающего состояния (или состояний). Но, предположим, система имеет такое множество состояний, что, однажды попав в него, она может делать переходы только внутри множества и никогда не покинет его. Такое множество называется периодическим множеством. Например, если система имеет матрицу Р,
~0,3 |
0,7 |
0 |
0 |
" |
0,6 |
0,4 |
0 |
0 |
|
0 |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
|
то, однажды достигнув того или другого из первых двух состояний,
*система будет оставаться в одном из них. Вероятность покинуть ка
кое-либо из этих состояний равна нулю. Таким образом состояния 1 и 2 образуют периодическое множество.
Периодическое множество, которое имеет только одно состояние, является поглощающим состоянием. Это простейший случай периоди ческого множества. Так, в системе, имеющей матрицу Р,
Р = 0,2 0,8'
0 1
1Вектор вероятностей х' , рассматриваемый в этом примере, имеет и другую интерпретацию: это ожидаемая частота пребывания в каждом из состояний за долгий период временй. Система будет находиться в каждом из состояний в тече ние трети общего времени (если оно достаточно велико). Следовательно, если известно начальное состояние, но неизвестно число периодов, истекших с началь ного момента до настоящего времени, то элементы вектора х' можно рассмат ривать как вероятности, соответствующие различным состояниям.
