Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

При изучении экономических проблем полезным инструментом является регрессионный анализ, методы которого хорошо поддаются описанию в матричных терминах. Матричное описание регрессии про­ ясняет как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчетные процедуры.

Приведенный здесь очерк регрессионного анализа — самостоя­ тельный раздел книги, однако предполагается, что читатель в неко­ торой степени знаком со статистикой, в частности с проверкой гипо­ тез. Работы Кэндэла и Стюарта [5], Муда и Грейбилла [8], на которые делается ссылка, позволяют читателю более глубоко познакомиться со статистическими проблемами, чем позволяют размеры настоящей

в связи с уровнем безработицы, можно было бы взять такую модель:

где х — уровень безработицы в период/*. Хотя это выражение пред­ ставляет собой ожидаемый темп развития инфляции, мало вероят­ но, что такая форма точна. Предполагая наличие линейной взаимо-

* Критический анализ теорий инфляции, базирующихся на «принципе Фил­ липса», приводится, например, в статье А. Аникина и Р. Энтова «Цикл и инфля­ ция в экономике США» (ж. «Мировая экономика и международные отношения», № 8 за 1971 г.). — Прим. ред.

связи, можно отметить следующие причины, вызывающие расхожде­ ние между Ь0 + bxxx и действительными значениями:

1)на уровень инфляции помимо уровня безработицы влияют и дру­ гие факторы, например мобильность рабочей силы;

2)данная экономическая система помимо общего влияния всех имеющих отношение к данному явлению факторов испытывает воздей­ ствие основного и непредсказываемого элемента случайности;

3)значения переменной у могут содержать ошибки измерения. Для того чтобы отразить эти расхождения, модель записывается

следующим образом:

где et — член, характеризующий случайную ошибку (возмущение), связанную с одной или несколькими указанными причинами.

Введя в модель член, характеризующий случайную ошибку, мы для того, чтобы можно было пользоваться моделью, должны опреде­ лить теперь некоторые характеристики распределения вероятностей этой величины. Наиболее простыми и обычно принимаемыми допуще­ ниями будут предположения о том, что математическое ожидание et рав­ но нулю, ее дисперсия постоянна (и, следовательно, независима от i и xt) и значения ег для различных отрезков времени независимы друг от друга. Обозначая символом Е математическое ожидание (Е (е() — ожидаемое значение ег), запишем эти допущения как

На основании (2), отыскав математическое ожидание от (1), получим

Е (t/г) = Е {b0 + bxXi + ei) = b0 + М г + Е (ег).

Таким образом,

Это и есть ожидаемое значение y it которое мы ввели в начале раздела. Уравнения (1) — (3) определяют модель, которую нужно исследо­ вать. Переменная, обозначенная как у, обычно называется зависимой (поскольку она зависит от х), а переменная л; соответственно назы­ вается независимой1. Предположим, что у нас имеется выборка, со­ стоящая из п наблюдений y t и дтг. Пусть уравнение (1) существует для каждой пары наблюдений (г/;, xt). Тогда получим следующие п урав­

нений:

260

П р и в в е д е н и и в е к т о р о в

У' = [у1 У 2— УпЬ

г' = [ei е2... еп]\

Ь' = [Ь0 Ьг]

и матрицы

эти уравнения могут быть переписаны в матричной форме как

у = Xb Jr e.

Заметим, однако, что эти уравнения не аналогичны системам, ранее рассмотренным в данной книге. Это вытекает из существа членов, ха­ рактеризующих ошибки и представленных символом е. По определению

чениями Ь0 и Ьи они дают о них полезную информацию.

Существует несколько способов получения оценок Ь0 и bv Из них наиболее часто применяется способ, который известен как способ наименьших квадратов. Здесь только он и рассматривается. Обозначим

оценки Ь0 и &i соответственно как b0n b 1вне зависимости от того, как они получены или каковы их значения. Тогда соответствующая дан­

ному значению xt оценка у и обозначаемая уи будет определять­ ся как

Разность между оценкой и наблюдаемым значением yit корреспон­ дирующим с хи равна y t — уу, эта разность называется оценкой ошибки,

или остатком, et. Таким образом,

Л

et =У1 — Уи

Способ наименьших квадратов, применяемый для получения оценок

Ь0 и bv дает возможность на основе этой формулы выбрать их таким образом, что сумма квадратов оцененных ошибок (SSE)* есть вели-

*SSE — sum of squares of errors. — Прим, nepee.

261

-чина минимальная1. Это означает, что Ъ0и ^выбраны так, что при­ водят к минимуму.

Этот минимум достигается тогда, когда с помощью дифференциального исчисления удается минимизировать последнее выражение (4), при­

чем оба коэффициента Ь0 и 1\ рассматриваются как переменные ве­

Такое небольшое изменение в обозначении переменных х упрощает дальнейшее обсуждение случаев с несколькими переменными.

Минимизация этого выражения предусматривает приравнивание нулю первых частных производных по Ь0 и Ьг. Таким образом, имеем

г/i хю = b0 V + b i ^ X i о хи

и

2 i y i X n = b о Ц х 10х п + Ь 1 Xi 1 .

где суммирование производится по i, i — 1, 2, ..., п. Эти выражения называются нормальными уравнениями. Решение этих двух совмест­

н ы здесь не. пытаемся оправдать выбор этого критерия, отметим просто, что: а) он прочно укоренился и широко применяется в статистике; б) если функ­ ция затрат и потерь, связанная с оцененными ошибками, является квадратиче­ ской, этот критерий минимизирует ожидаемые затраты.

262