б ) М О Д Е Л Ь С П О С Т О Я Н Н Ы М Ч Л Е Н О М
В выражении (1) модель была представлена как yt = b0 + btXi + + sit где Ь0 — отрезок оси координат. Снова символом Ь0 обозначим отрезок, отсекаемый на координатной оси, для того, чтобы отличить его от коэффициентов blt b2, ..., bh при переменных х. Модель с пересе чением для множественной регрессии имеет вид:
Уь = Ь0 + b1x il + ... + bkxik + ei. |
|
|
Как и раньше, введем искусственную переменную xi0 = 1 |
для |
всех |
i — 1, 2, ..., п, после чего модель может быть записана как |
|
|
Уь = boxi0 + b1xil + ... + bhxih + eh |
|
(8) |
В матричном сбозначении она записывается как |
|
|
у = х*Ь* + е, |
, |
(9) |
где у и е имеют то же содержание, что и ранее, и где X* есть матрица X, дополненная первым столбцом, состоящим из единиц, а Ь* — век тор Ь, дополненный Ь0 в качестве первого элемента. Введем теперь символ 1 для обозначения вектора размером п, чьи элементы суть единицы, т. е.
V =-- [1 1 1...1].
Тогда X* и Ь* могут быть записаны как
X* = [1 X] и Ь*' = [Ь0 Ь']. |
(10) |
Теперь, несмотря на изменения в формулировке, модель (9) имеет точно такой же вид, что и (6), и, следовательно, вектор оценок полу чается способом наименьших квадратов, как и ранее1 (7), в виде
Ь* = ( Х * ' Х * ) - ! Х*'у.
Пример. Пусть параметры модели
Уi = Ь0 Ьx*ji + b2xi2 + Si
должны быть оценены на основе следующих шести совокупностей наб людений:
1 Уг ха
1 10 1 0
2 17 4 6
3 13 2 4
4 14 2 3
5 12 1 1
6 15 3 5
Действительно, дополнение X единичным первым столбцом увеличивает столбцовый ранг матрицы X на 1 для любой регрессии и не оказывает влияния
на”существование (Х 'Х ) -1 и Ь.
