Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Теорема 2 (теорема 4.6 в книге Грейбилла). Допустим, что х пред­ ставляет собой вектор случайных независимых переменных, характе­ ризующихся нормальным распределением, нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; в таком случае квадратичная форма х'Ах характеризуется распределением %2 с г степенями сво­ боды (при условии, что А — идемпотентная симметрическая матрица ранга г).

Доказательство. В разделе г параграфа? главы XII было показано, что квадратичную форму х'Ах {А представляет собой симметрическую

чин, каждая из которых распределена по закону %?, так что их сумма характеризуется распределением %2.

Мы можем воспользоваться теоремой 2, обратившись к рассмотре­ нию суммы квадратов 55. Допустим, например, что средние значения переменных равны нулю, ковариационная матрица имеет вид о2/, и кроме того, е — вектор нормально распределенных величин; в таком случае в соответствии с теоремой 2 можно прийти к выводу, что вели­ чина 55 распределена как о2% при п — 1 степенях свободы.

У читателя, впервые обращающегося к этому аппарату, могут воз­ никнуть сомнения: стоит ли прибегать к довольно громоздким вычис­ лительным процедурам для получения столь известных результатов? Однако применяемые здесь методы и принятые обозначения имеют об­ щий характер; они подходят к любой задаче, которую можно выразить в матричной форме. Именно поэтому матричная алгебра все более ши­ роко применяется при исследовании свойств распределения не толь­ ко линейных функций, но и квадратичных форм, возникающих при анализе дисперсии, а также в других задачах математической стати­ стики.

4. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ

Матрица А иильпотентна в том случае, если А р — 0, а А р~ х Ф 0; р обычно называют индексом нильпотентности.

Пример.

Матрица А иильпотентна, индекс нильпотентности равен 2. Существуют также матрицы, удовлетворяющие условию А р = /.

357

бы название унипотентных*. Такими свойствами всегда обладают, на­ пример, расчлененные матрицы вида

’ Lo — '

Независимо от того, каков вид матрицы В, имеют место следующие соотношения: А 2 = I и А = Л -1.

5. ВЕКТОР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Поскольку и в этом, и в следующем параграфе введены элементар­ ные понятия дифференциального исчисления, читатели, не знакомые с этой областью математики, могут опустить эту часть главы.

Иногда требуется продифференцировать функцию нескольких пе­ ременных по каждой из них. В таких случаях часто бывает удобно за­ писать производные в виде вектора-столбца. Поскольку наиболее час­ то приходится сталкиваться со случаями дифференцирования линей­ ных и квадратичных функций, ограничимся рассмотрением этих слу­ чаев. Допустим, например, что

Я = 3xi -ф 4х2 “Ь 9х3,

где Я, х1г х2, х 3— скалярные переменные; тогда частные производные функции Я по хх, х 2 и х 3 можно записать в следующем виде:

*«uni-potent» ■— сочетание искаженных латинских слов «единица» и

«степень». ■— П р и м , п е р е в .

358

Второй из приведенных векторов показывает, что символ можно

представить вектором дифференциальных операторов. Заметим, что

Xi

X —Зхг + 4 х 2 -f 9х3= [3 4 9] х2 ■а х .

Определив таким образом векторы а и х и подразумевая под ^ век

тор-столбец дифференциальных операторов, можно показать, что ^

равен а, т. е.

ох дх

Предположим теперь, что такая вычислительная процедура приме­ няется поочередно к каждому элементу вектора у = Ах, имеющего сле­ дующий вид:

матрицы А. Теперь вектор операторов ~ будет относиться к соответ­

ствующим элементам вектора у. В результате дифференцирования каж­

так как а[ — это, по определению, строки матрицы А. Таким образом,

— (Ах) = Аг.

дх '

359

Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к выводу: если а ь а 2,

Из соотношения (3) следует, что полная запись ~ в случае, если раз­ мер матрицы А, например 3x3, будет выглядеть следующим образом:

причем суммирование по индексам i и / ведется от 1до п. Дифференци­ руя эту форму по элементам вектора х, получим следующее выраже-

ние дхду :

360