Файл: Основы авиационной автоматики учеб. пособие.pdf

нѳния. При этом мы предполагаем, что функция f удовлетворяет условиям теоремы еуществоваиия и единственности, например, имеет непрерывные частные производные по у (л-1), . . . , у, х.

5. Интегральный оператор с весовой функцией g(t, х)

Рис. 0.10. К определению опера­ тора сдвига на время

7. Многомерный оператор, задаваемый системой дифферен­ циальных уравнений вида

8. Многомерный интегральный оператор

Поо

\ gik(t> ^)xk(-i)dx i = \ , m .

— оо

Этот оператор m-мерной векторной х (і) = {х, (t), . . . , .х,;1(£)}

функции ставит в соответствие я-мѳрную функцию у (() = = {Уі ( 0 . ----- У„(і) }■

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Оператор А называется линейным, если он удовлетворяет ус-

Л[сх(Х)]=-сЛх(7), где с — произвольное число.

Оператор А, не являющийся линейным, называется нелиней­ ным. Для линейного оператора справедливо соотношение

А [С\ХХ(0 + С2Х2(0] — А [О «1 (*)] + А [с,ха (0]—с,А х хЩ + с гАхъ{(:).

для произвольных чисел С\ И С2 и произвольных функций Xi (t) и Xi(t), принадлежащих области определения оператора, то опера­ тор будет линейным. Действительно, положив сх= с2=\, получим выполнение условия аддитивности, а положив сх= с, с2 = 0 — условие переместительности.

Соотношение (0.4) принято называть принципом суперпози­ ции, который словесно может быть сформулирован так; реакция линейной системы на линейную комбинацию входных сигналов равна той же линейной комбинации реакций на эти входные сиг­ налы.

Ясно, что соотношение (0.4), справедливое для двух сигналов, будет справедливо и для произвольного числа сигналов

А [с, А', (t) + с0х г (t) + . . . + с„ хя 11)) =

= с ,А * ,(0 A-A\c3x2{t)+ . . . + c„jc,.(0]= • ■• =

= cxAxx(t) A-c2Ax2(t)+ . . . + cnAxn(t).

Принцип суперпозиции может быть принят за определение линейной системы.

Выясним, какие из приведенных выше операторов являются линейными, а какие нелинейными.

20

1. Оператор дифференцирования является линейным, так как

итем самым -принцип суперпозиции для него выполняется.

2.Оператор возведения в квадрат не является линейным, так

как

Л[с,*і(0 + c2x2[t)) = [c1x l [t) -t- с2Хз(/;)]2 =

==cßxßi^+Cs2 х 22(і)+2с1съх 1(і)х2(і)фс1Ах 1(і) + с2Лх2(^) =

=CxX*{t) + C2X22{t),

аэто-означает, что -принцип суперпозиции для данного операто­ ра не выполняется.

3.Оператор умножения на фиксированную функцию является линейным. Можно убедиться в этом самостоятельно.

4.Одномерный оператор, задаваемый дифференциальным уравнением (0.1), вообще говоря, не является линейным. Лишь при выполнении условий, указанных ниже, он является линей­

ным. Все выкладки для простоты проведем здесь для уравнения первого порядка

Пусть дано, что оператор линейный и, таким образом, усло­ вие аддитивности выполнено, т. е. Уз(і)~У\(0 +Уг(0- В таком

случае имеем Уз(і)=У\(й) +У2 О). Из этих двух равенств следует, что, во-первых,

/ІУі(*) + У-Лі)> М(^) + л'2(0 ]= /[У і(0 - -*і(0]+/[У 2(0>-*2(0]

и, во-вторых,

Уз (*о) = У1 (*0) + У2 (4>). У1 (*о) = Уг(*о) = Уз (*о) = Уо =

Первое означает, что функция f является линейной по перемен­ ным X и у

/[У (0 . x(t)\ = a{t)y{t)-\-b{t)x{t),

где a(t) и b(t) — функции времени.

21

Итак, необходимым условием линейности оператора, зада­ ваемого дифференциальным уравнением, является равенство нулю начальных условии и линейность функции f(y,x) по пе­ ременным у и X*.

Покажем, что эти условия являются и достаточными. Если f[y(t), x(t)]=a(t)y(t) + b(t)x(t), то

У2 ( 0 = а (О У2 [t) + b (t)X2(t)\

Уз (*) = а (i) уя (t) + Ь (i) \хх (t) + xa(t)]

С учетом того, что y\(U)=y2 (h)=yz(to) =0, из последних со­ отношений получаем Уз(і) =Уі(() +У2 О). Итак, аддитивность оператора доказана. Умножая на число с левую и правую части дифференциального уравнения

~ ~ \°у (01 = «(О [<-У(0] + b(t) [м (0 ]. at

получаем, что оператор переместнтелен относительно умножения на число с.

Из аналогичных рассмотрений следует, что оператор, задава­ емый дифференциальным уравнением /г-го порядка, будет ли­ нейным. тогда и только тогда, если оно представляется в виде:

ап (t) у<") (t) + . . . + а2(0 y' (t) + а0 (t) y(t) = b{t)x (t), (0.6а)

а начальные условия являются нулевыми.

Необходимо убедиться самостоятельно, что операторы 5, 6 и 8 являются линейными операторами.

x(t) и y(t), т. е. представляются в виде:

fi [/(0. М М = «лУі(0+ •••+ Д|„Ул(*) -H .iAi(0 + . . . + b imx j t ) ,

• ■• >Л L-*) J'J}. то уравнения (0.3) могут быть записаны в виде:

/ ( 0 = 7 [ у М> x[t),t\,

* Как будет показано ниже (см. § 1.7), если ненулевые начальные условия рассматривать как дополнительные входные сигналы, то оператор, задавае­ мый линейным дифференциальным уравнением с ненулевыми начальными ус­ ловиями, можно считать линейным.

22

Повторяя теперь дословно те же рассуждения, что и в пунк­ те 4, получим доказательство необходимости и достаточности сформулированных условий линейности.

Входным сигналом является векторная функция {-«і (0> -^2(0}і а выходным —

векторная функция (Уі (/), УгМ}-

где y(t)=Ax(t), а Т — произвольное число.

Оператор стационарен, если реакция на смещенный на время Т входной сигнал равна смещенной на время Т реакции на исход­ ный сигнал.

Грубо говоря, стационарный оператор «не изменяет своих пе­ редающих свойств» с течением времени.

Рассмотрим стационарность приведенных выше операторов. Начнем с оператора 3. Его реакция на задержанную на вре­

мя Т входную функцию равна:

A x ( t — T ) = a ( t ) x ( t — T).

Учитывая, что y(t—T) = a(t—T)x(t—Т), -получаем, что опера­ тор, вообще говоря, нестационарный. Он будет стационарным

23