Файл: Основы авиационной автоматики учеб. пособие.pdf

Если, наоборот, дано, что интегральный оператор стационарен, то выполняется равенство

Итак, условие (0.10) является необходимым и достаточным для стационарности интегрального оператора. Это условие будет вы­ полнено, если весовая функция интегрального оператора пред­ ставляет собой функцию от разности аргументов t их

Как нетрудно понять, оператор, задаваемый дифференциальным уравнением (0.1) или системой дифференциальных уравнений (0.3), будет стационарным в том случае, если правые части этих уравнений не будут явно зависеть от t (такие уравнения в тео­ рии дифференциальных уравнений принято называть автоном­ ными). Заметим, что отсюда и из (0.5) я (0.6) вытекает, что опе­ ратор, задаваемый линейными дифференциальными уравнения­ ми, будет линейным и стационарным лишь в случае уравнений с постоянными коэффициентами:

алУл)(Л + а я-іУ (',_1)(0 + . . . 4- cixy^(t) + а0у (t) = b0x (/)

24

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Выяснить, какие из указанных ниже операторов являются стационарными:

Системы автоматического управления по виду их оператора принято подразделять на линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные. При функционировании автоматически управ­ ляемой системы все ее сигналы могут быть определены как функции времени от непрерывного аргумента t, либо хотя бы один из сигналов может быть определен как функция времени от дискретного аргумента tk. Системы первого вида называют не­ прерывными, а системы второго вида — дискретными. Примера­ ми дискретных систем, нашедших широкое распространение в практике, являются радиодальномер, системы наведения истре­ бителей на воздушную цель по показаниям РЛС и системы уп­ равления, включающие цифровые вычислители.

По количеству входных и выходных сигналов системы при­ нято подразделять на одномерные (когда имеется один входной и один выходной сигнал) и многомерные.

Г Л А В А 1

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Система называется линейной и стационарной, если ее опе­ ратор удовлетворяет условиям линейности (0.4) и стационарно­ сти (0.7).

Как это будет видно ниже, линейные стационарные системы обладают гой особенностью, что задаваемая ими связь между входным и выходным сигналами может быть выражена значи­ тельно более простыми и единообразными способами, если рас­ сматривать связь не -между самими сигналами как функциями времени, а между их преобразованиями по Фурье или Лапласу.

Поэтому мы сначала вкратце остановимся на основных поло­ жениях теории этих преобразований.

§ 1.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА

зависящий от параметра ш.

Этот интеграл будет сходиться при всех значениях “ в том случае, если функция f(t) является абсолютно интегрируемой,

оо

т. е. J \f{t) I dt = с ф со.

—со

Втеории этого преобразования доказывается, что функция

f(t) в свою очередь может быть представлена в виде интеграла

зависящего от параметра t

Недостатком преобразования Фурье с точки зрения автома­ тики является сравнительно узкий класс функций, для которых интегралы (1.1) и (1.2) являются сходящимися.

26

Такие часто встречающиеся в автоматике функции времени, как постоянная функция, линейно возрастающая функция, экс­ понента, степенные функции и др., не имеют преобразования Фурье. По этой причине постараемся расширить класс функций, к которому можно применить преобразование, подобное преоб­

пято называть «единичным скачком» или «ступенчатой функци­

этот класс не входят, так как не имеют экспоненциальных мажо­ рант. Функция sin t в этот класс не входит, так как не выполня­

о

рую функцию от этого параметра, которую мы будем обозначать

27

Проведя в последнем интеграле замену переменной интегрирова­

но прямой линии, проходящей параллельно оси ординат справа от точки В.

Формулы (1.3) и (1.4) носят название прямого и обратного преобразования Лапласа. В дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями

классу функций, оригиналом, а функцию ф (р) — ее изображе­ нием.

Приведем здесь примеры преобразований Лапласа от часто встречающихся функций, которые мы в дальнейшем, если нет специальных оговорок, будем считать равными нулю при отри­ цательных значениях аргумента t:

28