Файл: Основы авиационной автоматики учеб. пособие.pdf

Последнее же означает, что L \іпея/| = -------------

.

Учитывая, что

(р — а)л+1

L fe(e+^s)/j = L [е"1' cos

9J + /е 0/ sinß/] =

Р ----- ^

г Г

t •

Г\Л

Й

.

= ----------------- и

L I

sin Уг

------------------

(здесь мы ,вос-

( р - а ) 2+ Й 2

1

J

( р - а )> + 92

у

Лапласа,

пользовались свойством линейности

преобразования

которое доказывается ниже).

Сведем полученные результаты в таблицу.

О ригинал x(t)

^at

1 1)

tneal

іп

sin

cos 0 /

e^ sin Q ^

e 0,,cos Ш

И зобр аж ен и е

1

1

п\

п\

Q

P

Q

p—a

х(Р)

р - а

р

(р-а)п+ 1

рп+ 1

р2+

S 2 pi+Ü2 ( p - a ) 2+Q3 ( p - ß ) 2+Q*

§

1.2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

1.

Свойство линейности

Убедимся в том, что принцип суперпозиции

Цсі х і (0 + сгх ч(0] =

сх L [х (0] + c2L [x2(t)\;

L - 1 [с1х 1(р) + c2x2{p)\=c1L~:l [х(р)} + CzL-'X'ip)}

выполняется и для прямого и для обратного преобразования Лап-,

ласа.

Действительно,

из (1.5)

имеем

со

L[cxx }(t)-\-c2Xi(t)=

c2x2(t)]e~pfdt=

со

о

со

=

cl jxrftfrr&dt

+ с2 I" x2(t)e~pt dt =

о

о

= СіХ1(р) +С2х 2(р).

~

1

т+J“

f

[ C i 4

> 1 ( p

H - c 2 4 ' 2 ( Jo

L~l[C\X,(p) + c2x2{p)\ = - —-

£"-J

1 —j c o

П р и м е р .

Требуется определить

оригинал x(t)

по его изоб-

'■/

1

Ьр + 1

раженшо х(р) =

----------------- .

(Р+2)2(Р + 1)

оригинал x(t)

можно полу­

Используя свойство линейности,

5р + 1

(Р+2)2(Р + 1) (р + 2)2 +

р + 2 р + 1

(р+2)2 + р + 2

р + 1

x(t) = L~l

5р +

1

■9L-1

+ 4L-1

1

1

1(р + 2)2J

7 + 2 ]

(р+2)Цр + \)

— 4L~1

1

=

+ 4 е -2' -

4е~'.

Изображение производной L[x'(t)]

может

быть выражено

через изображение функции L[x(t)]=x(p):

со

с о

L[x'(t)\ = j x'(t)e~pt di = x(t)e~pt |

— ^ x(t)(—p)e~pt dt =

О

0

0

= pL[x{t)} - х { 0 )= р х { р )

-

x(0).

(1.8)

Применяя эту формулу n раз, получим

L[ jc<»> (t)\ = pL [xl*~» (*)] - x

^

(0) =

• • • =

В таком

случае

изображение интеграла

от функции

имеет

вид:

L[y{t)\ = — х(р).

( U 0)

Р

В дальнейшем мы будем пользоваться соотношениями

L [e~a/x[t)]

= х ( р +

а) и L~l [х (р + а)] =

e~at х (t),

(1.11)

y ( i ) = j x x[t — i ) x 2(i)di = j x x{i)x2{t — i)di.

(1.12)

у [р} = Г у (^) Q-pl dt =

Р и с . 1.1. Область инте-

J

грирования

СО t

x x(t — т)х2(т) die~ptdt.

о о

сектор 5 в плоскости і, t (рис.

1.1). Изменяя в нем порядок ин­

тегрирования, получим

ОО

DO

СО

ОО

у(р) = j1х 2 (*) d i j

e~ptx x (t—i) d t —

j" x 2{i)orp''di^xx{tx)&-p^ d t x =

=

X\(P)x2{p),

где

tx = t — г.

t

L\

- t)a'2(t)^ t] = Xx(p)x2(p)

и L~l[xx{p) x^{p)\ =

0

t

— j1A'j (t —

dl.

(1 14)

6

.

dx{t)

лами ѵ(г) =

------ вытекает в силу теоремы об изображении про.

dt

а-п У{п) (t) Н-----+ axyW{t) + а0 у [t) = b0x{t)

(1.15)

при нулевых начальных условиях, связь между

изображениями

х(р) и у(р)

входного и выходного сигналов получается, если пре­

образование Лапласа применить к левой и правой частям

(1.15)

L\any [n){t) -I-------\-axyV'{t)-\-a0y{t\\ = L [bx{t)\.

Отсюда в аилу

свойства

линейности и теоремы об изображении производной

получаем

У(Р) =

_______ Ь-х(р)

(1.16)

апРп -і-----+ ахр + а0