При этом условие (3-302в) в принципе максимума за
меняется |
требованием необходимости, |
чтобы функция |
SB (ф, и, |
i) оставалась на отрезке |
макснмаль |
ной п положительной.
Пользуясь теоремой о максимуме, можно определить оптимальные управления Ui(t), а следовательно, исполь
зуя систему (3-302), все сопряженные ФЛО и текущие (фазовые) zj(t) переменные, включающие обобщенные координаты <7 ( 0 и в том числе при необходимости функ цию формы y(t).
В качестве примера приложения принципа максиму ма к оптимизации управления СЭММ. рассмотрим про
стейший механизм постоянного тока, |
поведение и ха |
рактеристики которого описываются |
в соответствии |
с (3-250) и (3-299) исходной системой |
уравнений |
|
ДЭ = |
j |
Фэ (<г, |
и, t)dt\ |
|
|
i |
'н |
|
|
(3-303) |
|
|
|
|
|
S = j* -777- d i — |
j ^ m S + |
7^ - + ^ в . с |
|
|
|
dL |
ds |
j dL |
di |
|
|
Os |
dl |
L J L ] 4-L — |
|
i |
di J ^ |
dl ' |
Налагая условия оптимизации по быстродействию и допуская возможность пренебрежения насыщением стали,
т. е. |
принимая L(i, s) т L (s) == ату (s) и, |
следовательно, |
= ar |
= w-jj (s), |
систему (3-303) легко преобразо |
вать |
к виду |
|
|
iK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д Э = ^ \-dt- |
|
|
|
|
s -(- as + bs + |
|
а — ef41 (s) = 0; |
|
(3-304) |
|
|
|
|
|
|
|
Е — kfw — fsт) (5 ) w — /аду (s) = |
0, |
|
где w — число витков катушки и постоянные |
|
|
|
|
1 |
|
Р |
__ |
РТСР |
а |
|
Ъ |
а |
•* в.о |
|
тСт ' |
т |
/г = |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим три варианта возможных управляющих |
воздействий на систему: по напряжению E(t), |
току i(t) |
или намагничивающей силе /(/) =wi(t) и электромагиит-
-ной силе P(t) или пропорциональной ей приведенной
величине
|
^ г 1 ^ 0 - Л , о ] . |
|
Первый вариант. |
|
|
|
u(t)=E(t) |
при ограничениях |
IjE I^ B o. |
|
Обозначим 2 i= s; z2—s\ |
z3=f\ |
гэ = ДЭ. В этом случае |
система (3-304) приводится к системе типа |
(3-298): |
|
z3= l ; |
г, = z2; |
|
|
z„ — ez\ tj (г,) — gzs— bz, — a; |
(3-305) |
Zs= |
f« — kwz, — wz3z2T)(z,)]. |
|
По рекомендации (3-301) составим промежуточную функцию
М (^. Ъ) — Фа + Ф.г* + 1* 1 * 4 И (z.) — az2— bz, — а] +
+ Ф* ~ ^ (кШз + wz,z^ (2,)^
Так как y(Zi)>0, то в интервале 0 ^ и ^ Е а по прин
ципу максимума выбор оптимального значения управ ления u(t) доставляет максимальное и положительное
|
значение'функции |
q>j), только если |
|
|
|
( £ о |
при ф3 > |
0; |
(3-306) |
|
|
\ 0 |
при ф3< 0 . |
|
Второй вариант. |
|
|
|
|
|
|
|
u (t)—f2(0 при ограничениях |
|
|
|
Обозначим Zi=s; z2=s; га=ДЭ. В этом случае |
|
|
z8 = l; 2-3 = 2 3 ; |
(3-307) |
|
|
|
|
|
z„= еит\ (z,) — az2 — bz, — a. |
|
|
Следовательно, no (3-301) |
|
|
|
SB (tj, Tj) = ta + ФA |
+ t*euil (z>)— t* (<A + bzi + |
«)■ |
|
Так как T](z,)(>0, to в |
интервале 0 < ]/ « < / „ , |
исхо |
|
дя из условий принципа максимума, найдем: |
|
|
«о г |
/ 0 |
при Фг > |
0; |
(3-308) |
|
0 |
при фз < 0. |
|
|
|
Третий вариант.
Ы( 0 = - [ Р ( 0 - Р . , ] = ^ ( * ) при \ Р \ < Р 0,
т. е. при условиях ограничений по тяговой силе, которая может иметь два крайних значения: если электромагнит ная сила Ро максимальна и больше Р в .о> т 0
|
u i — |
[Л> — -Рв.о] — + Р. |
|
|
и, если действие этой силы снято, |
|
|
т. е. при |
Обозначим, как и ранее, |
2 i= s; |
22=s; |
га=ДЭ. В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
(3-309) |
и по (3-301) следует: |
|
|
|
|
*Pj)— Ь + |
1.2 + <1>41— ^(az, + |
bz,). |
(3-310) |
Так как —а ^ ы ^ + (3, то в этом интервале, исходя из принципа максимума, получим:
(3-311)
Сопоставляя полученные результаты по (3-306), (3-308) и (3-311), отмечаем, что оптимальное воздейст вие на характеристики СЭММ возможно только, если управление реализуется в виде кусочно-непрерывных функций, достигающих своих предельных значений на границе допустимой области их изменения. Число интер валов, а следовательно, и переключений определяется числом корней при исследовании сопряженных функций ф, связанных с управлением и. Покажем это на примере,
приняв дополнительно с целью упрощения выкладок, что
# т =0; Ст= оо. При этом система (3-309) принимает вид:
z3= ‘l; z^— z„\ z2 = u, |
(3-312) |
и функция (3-310) определяется как
Ж |
?j) = Фэ + Ф.г, + <|уI. |
(3-313) |
Как и ранее, так как |
«<: + 13, |
то в силу прин |
ципа максимума получим: |
|
|
|
|
|
Г-f р при |
> 0; |
|
(3-314) |
Hqut — \ —а при ф„<0. |
|
|
|
С целью определения числа переключений исследуем |
функцию ф2, связанную |
с |
управлением |
и. |
По (3-302а) |
с учетом (3-313) имеем: |
|
|
|
|
Фэ— |
dz. |
— 0; фэ — Ct, |
|
t . = |
дше |
= 0; ф , = С а; |
|
|
дг, |
|
|
вше |
, |
п |
|
|
откуда ф2 = —Сг^ + Сз, и, следовательно, |
по |
(3-314) опти |
мальное управление должно иметь одно переключение, так как линейная функция фг= —Сг^ + Сз не более 1 раза меняет знак на отрезке (рис. 3-34,о), т. е. име ется один корень. Найденные оптимальные управления, граничные условия при Uь tK и условия сопряжения при
переключении (^п) дают возможность, используя систему (3-302), известными методами опцеделить требуемые за висимости фазовых перемен
ных Zj (t ) и тем решить задачу синтеза оптимального управле ния. Укажем, что задача син теза СЭММ при использовании
принципа |
максимума может |
встретить |
ряд |
затруднений, |
связанных |
с |
нелинейностью |
уравнений, особенно при нали чии фиксированого времени,, ограничений на фазовые коор
динаты, |
подвижные границы |
и т. п. |
же отметим |
толь |
Здесь |
ко качественную сторону |
оп |
тимального управления СЭММ, требующего попеременную по дачу и снятие предельных значений управляющих воз действий: тока, напряжения, силы. Например, в рассмотрен-
ном выше случае при управлении за счет оптими зации тяговой силы на рис. 3-34,6 приведен график не обходимого управления u(t) и затем на рис. 3-34,в при
наличии внешней постоянной противодействующей силы Рв.0 = const график соответствующей тяговой силы P(t).
Реализация оптимального управления при решении за дачи обеспечения быстродействия ряда электромагнит ных механизмов при заданной конечной скорости за счет внешнего воздействия на управляющую функцию (сиг нал) была в 1969 г. впервые рассмотрена в '[Л. 94] и примерно одновременно аналогичная задача без внеш него воздействия на управляющий сигнал была рассмо трена в 1968 г. в [Л. 61].
При первом способе оптимальная управляющая функ ция может быть получена за счет внешнего формирова ния управляющего сигнала, например тока или напря жения. С этой целью используются специальные при ставки — генераторы нужных сигналов, которые подают ся в цепь катушки СЭММ в определенные моменты по ходу движения подвижного звена или изменяются (ре версируются) в обмотке втягивающей или специальной катушки в фиксированные моменты времени. Однако в ряде случаев достаточно мощных СЭММ осуществле ние указанных методов управления усложняет схемы управления и конструкции механизмов, понижая их на дежность и ухудшая их экономические показатели. В то же время для значительного класса механизмов, как по казано в [Л. 16, 94], такой способ формирования управ ляющего сигнала себя оправдывает.
Вторым путем получения оптимальной управляющей функции является способ управления без внешнего воз действия на управляющий сигнал, предложенный в [Л. 61, 49]. Суть этого способа заключается в примене нии особой конструкции электромагнитного привода СЭММ, которая обеспечивает получение оптимального или близкого к оптимальному (квазиоптимального) управляющего воздействия по тяговой силе. Такое изме нение управляющего воздействия практически может быть получено в системе приводов СЭММ, имеющих ми нимум два воздушных зазора. Размеры и формы послед них выбираются так, что по ходу движения якоря маг нитная проводимость одного из них (нерабочего) остает ся примерно постоянной, в то время как изменение проводимости второго (рабочего), охватывающего на-
