D* (Zj) =0, что как видно, соответствует условиям рас
смотренных выше вариационных задач при практически осуществимом варьировании значений a, w и у(х).
В качестве примера ниже приведены уравнения огра
|
|
|
|
|
ничений |
для простейшей системы СЭММ |
постоянного |
тока, |
включающие: |
|
а) |
Условия ограничения на границах процесса, полу |
ченные |
из |
условия достаточности тягового усилия |
Р(г,) =Ри |
при допустимом превышении |
температуры |
0 (г/) —©доп в начале процесса и допустимом насыщении стали B ( z j ) = В пас при заданном напряжении на катушки
E ( z j ) — U„ в конце |
процесса. Используя |
принцип |
соот |
ветствия и. с. (§ 3-1), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
D*t = |
С,а% |
8н |
~ Л, = |
0, |
(3-295а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГД6 |
бц = |
6о И Р и ==^0-^в.о* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D*2 = |
C2o01,fK^ |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
---- бк = |
0, |
|
(3-2956) |
|
|
|
|
|
|
|
° к |
|
|
|
|
|
|
ГДе |
бк = бпр И В к = |
‘ХвВцас- |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Условия связи при движении (уравнения динами |
ки) могут быть (3-251) |
получены для системы с учетом |
(3-260) |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D*3 = |
C3e ,' y ,2- |
|
f + |
C4 |
fvt |
|
|
¥оео f |
= 0; (3-296а) |
D \ = |
— С6а35 — С0а2 |
Г-vl г2 ~ С,8 — Са8 + |
С9= 0 . (3-2966) |
|
В (3-295) и (3-296) функции «р„, <р0н, |
|
el |
к» |
е2, е2п, е2^ могут быть согласно |
(3-277) и (3-278) выражены |
через функцию формы |
|
у = |
е~(х), а постоянные С„ С„,... |
..., С0 определены соответствующим |
образом. При этом |
указанные уравнения определяются в виде |
|
|
|
D*l (а, 80, Уа> |
|
= |
D-\(a, |
8пр, ук, [к)==0; |
|
|
|
D*3 (а, |
|
8, 8 [х, |
х], |
/, |
/, у, у) = |
0; |
|
|
|
D**(a, 5, 8, |
8 |
[х, х, |
х\, |
f, |
f, у, у) = |
0. |
|
Первые два из них необходимы для составления усло вий трансверсальности по (3-293), а вторые два — длг составления приведенного функционала и подынтеграль ной функции (2-291), которые используются при состав лении общей системы исходных дифференциальных урав нений при анализе и синтезе СЭММ.
Основные трудности при использовании вариацион ных методов при определении оптимальных параметров и функций, входящих в совокупность Zj, при синтезе
СЭММ заключается в том, что в рассматриваемых слу чаях уравнения связи и движения образуют сложную нелинейную систему дифференциальных уравнений. Ана литическое решение уравнений подобных систем найдено только для простейших частных случаев. Существенные возможности практической реализации задачи дают чис ленные методы, однако при этом также возникают за труднения, связанные с установлением зависимости между произвольно назначенными начальными условия ми и конечными ошибками в полученном решении на другом конце процесса.
Если при решении общей вариационной задачи при нять заданной функцию формы г/(л:) = const, то траек тории процесса перевода системы из состояния А в В или С (рис. 3-33,а) лежат в двухмерном пространстве переменных х и / и решение задачи синтеза СЭММ, свя занное с выбором варьируемых размеров а и обмоточ ных даных w системы, переходит в задачу анализа ди
намических процессов. В этом случае также целесооб разно и рекомендуется осуществление оптимального синтеза СЭММ по описанному ранее методу целевого син теза по условиям динамики. При этом выбор функции формы может быть осуществлен тривиальным путем—по сопоставлению результатов оптимизации при различных принятых зависимостях у(х)
б) Оптимизация управляющих воздействий при целевом синтезе СЭММ
Рассмотрим еще одну задачу, связанную с выбором оптимального управления СЭММ, т. е. с определением функций управления в виде
u = u(t), и — и{б) или и=и(х). |
(3-297) |
Решение данной задачи предполагает наличие систе мы СЭММ, текущее состояние которой описывается в ди*
намическом режиме совокупностью дифференциальных уравнений типа
|
zy= фj (Z\, |
Zb .... z v, Uu U2, ..., ur) |
|
(3-298) |
при |
ограничениях |
(граничных |
условиях) |
в |
статике |
Z j(fo ) |
= ZjO- |
|
|
|
|
|
Здесь условно, с целью удобства, из совокупности z |
выделена варьируемая совокупность и. |
|
|
При этом |
нужно |
выбрать, например, управляющую |
функцию u(t) |
ИЛИ |
совокупность и = {щ, Но, |
. . ., |
Ur) так, |
чтобы |
функционал динамической |
эффективности |
|
|
|
'к |
t ] d t = z a |
|
(3-299) |
|
Д Э = \ |
ФэИО, u(t), |
|
достигал экстремума.
Функцию u(t) или совокупность, дающую решение
поставленной задачи, называют оптимальным управлени ем. Эту задачу можно рассматривать как задачу на условный экстремум функционала (3-299) ДЭ = га
с дифференциальными связями (3-298). Однако в прак тических задачах синтеза СЭММ. оптимальные функции u(t) часто лежат на границе множества допустимых
управляющих воздействий, например, как в случаях, если управляющей функцией является: ток намагничивающей
катушки i{t)^I<s, |
напряжение, |
подводимое к катушке, |
E ( t)^ .E 0 или тяговая |
электромагнитная сила |
P (t)^ P o |
и др. |
|
|
|
|
При этом общие классические вариационные методы, |
предполагающие |
возможность |
двусторонних |
вариаций, |
неприемлемы, так как |
по условиям задачи |
u ( t ) ^ U о. |
В этих случаях возможно применение специальных мето дов [Л. 22, 80], приводящих некоторые задачи с ограни чениями указанного вида к классической форме вариа ционных задач, однако в более широком классе этих задач и в том числе при выражении оптимальных управ ляющих воздействий в виде кусочно-непрерывных функ ций с разрывами первого рода их решения могут быть получены на основании п р и н ц и п а м а к с и м у м а , разработанного акад. Л. С. Понтрягиным и его школой [Л. 81], или метода динамического программирования, предложенного Р. Веллманом [Л. 7].
Принцип максимума распространяется на системы СЭММ, поведение которых описывается уравнениями указанного типа (3-298), в совокупность которых можно также ввести целевые функции, преобразованные с уче том (3-299) к виду
z3 — Ч Г ~ Ф°(2’ “»-/) = ¥з (z, и, t). |
(3-300) |
. Важную роль в принципе максимума играет промежу
точная |
функция (понтрягиан) Ж |
'?) — •■%’(ф, z, и, t), в |
которую |
входят |
заданные |
системой |
(3-298) |
функции |
cpj(z, |
и, t) и вспомогательные сопряженные |
функции |
ф;(7), |
так что |
<Р) = t Ы ) Ы * > |
|
|
|
|
|
Ш |
и. t), |
(3-301) |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
где связь |
сопряженных и |
заданных |
функций |
опреде- |
ляется |
системой |
|
в и е , |
|
|
|
|
|
|
|
(3-302а) |
|
|
|
|
dzj |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ъ |
= ъ |
|
due |
|
(3-3026) |
|
|
|
W i ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом уравнения (3-3026) эквивалентны уравне ниям (3-298), а из уравнений (3-302а) можно найти пе ременные %(f).
Основное необходимое условие, которому должно удо
влетворять |
оптимальное управление |
[Иг(0]опт= мОПт на |
интервале |
формулируется |
в виде теоремы: |
если и(1) — оптимальное управление, то на всем отрезке движения системы функция Ж (ф, z, и, t) должна оста ваться максимальной по и. Оказывается также, что при
оптимальном управлении |
функции Ж (t) |
и фэ(0 оста |
ются постоянными и принимают значения |
|
Ж(() = |
0, а ф8(0 < 0 . |
(3-302в) |
Подробное описание принципа максимума и доказа тельство его теорем приведены в [Л. 81].
Для задач о максимальном быстродействии СЭММ, динамическая эффективность которых выражается функ ционалом (3-299), следует, что Ф э = Ф э(ы , z, /)=1 и zg=
= ф э = 1.
