Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

Аналогично приближенное значение фо может быть представлено по (2-69) в виде

Таким образом, оптимизация ряда показателей и ха­ рактеристик СЭММ определяет необходимость выбора оптимальной формы рабочего зазора, а следовательно, и оптимизацию функции формы (3-276). Отсюда следует, что при составлении целевых функций механизма и осо­ бенно динамической эффективности в их структуру на­ ряду с подлежащими оптимизации варьируемыми пара­ метрами а[х], 5м[йу] должна входить варьируемая функция формы у (t). В этой связи динамическая эффек­

тивность СЭММ в общем виде может быть представлена функционалом вида (3-222)

/t .

Д 3 = j Q3(Zj)dt= Фэ [a, S, w, q(t), q(t), t\dt,

in

(3-279)

в который, кроме указанных ранее варьируемых пара­ метров, входят варьируемые обобщенные координаты q{t), в рассматриваемом случае объединяющие совокуп­

ность функций

Последние соответственно могут быть определены как зависимости

в которые, кроме функции формы y(t), введены функции изменения зазора 8(t) и тока i(t)\ при этом граничные условия в начальный момент t = tn—0 определяют равен­

ства

8 = 8 „ = 8 о-, п = 8 н = 0 ; х = х а', у = = Уи', f = = f a = = ftp

и соответственно в конце движения при t = tK = tRB опреде­

ляется зазор при притянутом якоре 6= 6к=6пр, скорость в конечный момент движения п = 6к= пк, а также х = хк\

У = Ук и /=(/к.

366

Оценка динамической эффективности (§ 3-3,а) по Zj может быть произведена по обобщенным зависимостям или по конкретным показателям динамической эффек­ тивности СЭММ, и в том числе:

по запасу энергии И7мех, преобразованной в энергию движения механизма,

СЭММ и по ряду другихпоказателей, например избыточ­ ной-энергии (3-210), удару или скорости в конце дви­ жения (3-211) и т. п., которые прямо или косвенно зави­ сят от функции формы y(t). При этом, как отмечалось,

исследование указанных показателей на оптимальность при синтезе СЭММ требует учета ограничений D*i(Zj) —

= 0 (1-22), в структуру которых в данном случае, кроме прочих варьируемых параметров и функций, входит ис­ комая функция формы y(t), неопределенное значение

которой в свою очередь исключает однозначное значение

367

варьируемых параметров и функций в граничных точках исследуемого процесса, например в начальный tn и ко­ нечный tK моменты времени движения.

В рассматриваемом случае приведенную ранее гра­ дацию дополнительных связей и ограничений удобно представить в следующем виде:

1. К р а е в ы е о г р а н и ч ен и я £>* (Zj) — 0, в к л ю ч а ю щ и е :

а) конечные равенства (граничные условия) D* —■

= £> — Ь^с= 0, например, при t = ta = 0 8 — 8о = 0;

v—0=0; при t= tK= б—бПр^=0; и Ук^^О;

б) конечные уравнения, определяющие связи пере­ менных в граничных состояниях, что отмечено тильдой,

2. Дополнительные ограничения вдоль траектории про­ цесса, определяющие текущую связь между варьируемы­ ми параметрами и функциями х, у, [, в том числе и

дифференциальные связи D*M(Zj)=0, включающие:

а) дифференциальные уравнения движения (динами­ ки) СЭММ, т. е.

(3-287а)

б) дифференциальные уравнения, определяющие до­ полнительные текущие связи и в том числе преобразо­

368

В этих случаях задача оптимального синтеза СЭММ, связанная с определением оптимальных параметров и функций (экстремалей), входящих в варьируемую со­ вокупность Zj и доставляющих максимум (минимум)

функционалу

при условии удовлетворения дополнительных ограниче­ ний

сводится к общей вариационной задаче Лагранжа, в том числе к задачам определения экстремалей с фиксирован­ ными (закрепленными) концами или подвижными (сво­ бодными) граничными точками, выраженными в общей или параметрической форме.

При закрепленных концах решение задачи аналогич­ но указанному ранее (гл. 1), при котором предусматри­ вается составление приведенного функционала (1-21) и интегрирование системы (1-23) при наличии сопряжен­ ной системы уравнений (1-22).

При решении общей задачи Лагранжа при наличии экстремалей с свободными граничными точками, как и ранее, составляется система дифференциальных уравне­ ний Эйлера

дФ*а ___ d_

(3-290)

dzj dt

где приведенная подынтегральная функция функциона­ ла, например, равна:

и интегрируется с учетом сопряженной системы краевых ограничений. При этом для определения постоянных интегрирования используются заданные граничные усло­ вия D* = 0. При отсутствии некоторых из граничных

условий возможна замена их соответствующими естест­ венными граничными условиями

д Ф \

= 0 . (3-292)

дг^ t=u

369

в общую систему уравнений включают также условия трансверсальности

Л+ Е ( ^ dzA = 0, (3-293)

где дифференциалы dzj и dt или dx связываются уравне­ ниями поверхности D*rfi}zjt t\ = 0 на границах процесса,

а другие переменные зависят от текущих значении i или

XИ Zj.

Вслучае, если отыскивается минимум функционала (3-284), зависящего от граничных условий, например, как в случае при /н= 0 от времени движения ti; = tan, за­

дача синтеза СЭММ сводится к вариационной задаче Майера. При отыскании экстремума функционала (3-285), в данном случае минимума общего времени срабатывания как суммы /Тр и tI{, задача сводится к ва­

риационной задаче Вольца. Можно показать, что все три задачи Лагранжа, Майера и Вольца обладают опреде-

D * ( z ) = °

6h= S 0

Рис. 3-33.

370

ленной общностью и могут быть использованы при ре­ шении задачи синтеза СЭММ.

С целью графической иллюстрации указанной задачи на рис. 3-33,а—в в трехмерном пространстве переменных x, у, t представлен процесс перевода системы из гранич­

варьируются два параметра а и w и три независимые

определяется условием принадлежности их поверхностям, которые описываются уравнениями

д%„&) = о и д%к &) = 0

и отражают допустимые ограничения (условия) на гра­ ницах. В этом случае общая задача синтеза СЭММ может быть сформулирована следующим образом: определить оптимальные значения основных параметров проектиро­ вания и в том числе размеров а и обмоточных данных w

системы, а также оптимальную форму ее основного зазора у = г\(х), которые обеспечивали бы надежный

перевод системы из начального положения, фиксирован­

При этом процесс, а следовательно, и экстремали х, y, f должны обеспечить минимум (максимум) функцио­ нала— динамической-эффективности ДЭ при соблюдении

уравнений ограничений на концах (границах) процесса

* Если потребовать варьирование совокупности е, задача пере^ ходит в д-мерное пространство.

371