Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
В.Я АРСЕНИН
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М о с к в а 1974
517.2 А 85
УДК 517.5
■ Л ■тА *€
Y f - Ш Я :
Методы математической физики и специальные функ ции. В. Я. А р с е н и и . Главная редакция физико-мате матической литературы изд-ва «Наука», 1974.
Книга предназначается для студентов инженернофизических, физико-технических и других специально стей с повышенной физико-математической подготовкой и инженеров этих профилей. В ней достаточно подробно излагаются основные методы решения задач математи ческой физики (методы Фурье, функций Грина, харак теристик, потенциалов, интегральных уравнений и др-) и специальные функции — цилиндрические, сферические, ортогональные полиномы, гамма-функция и начальные сведения о гипергеометрических функциях. Метод харак теристик излагается для систем линейных и квазилиней ных уравнений. Рассматривается понятие корректно и некорректно поставленных задач. Для интегральных уравнений первого рода дается устойчивый метод при
ближенного решения (метод регуляризации). Книга |
яв |
|
ляется результатом существенной |
переработки книги |
|
того же автора «Математическая |
физика» (1966 |
г.). |
Илл.— 47. Библ. — 35. |
|
|
©Издательство «Наука», 1974.
, 20203—056 ^
А' —1-74 053(02)-74
|
|
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
||
Предисловие............................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||
Из предисловия к книге «Математическая физика».................... |
|
|
|
8 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Ч а с т ь |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф ИЗИКИ |
|
|
|
|
|||||
Глава I. |
Классификация линейных уравнений с двумя независи |
9 |
|||||||||||
мыми |
переменными и приведение их к канонической |
форме |
|||||||||||
Задачи .................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|||
Глава I I . |
Простейшие задачи, |
приводящие к |
уравнениям раз |
19 |
|||||||||
личных типов. Постановка краевых за д а ч .................................. |
|
|
|
|
|||||||||
§ 1. Уравнение малых поперечных |
колебаний струны . . . |
19 |
|||||||||||
§ 2. |
Уравнение |
малых |
продольных колебаний |
упругого |
21 |
||||||||
§ 3. |
ст ер ж н я ....................................................................................... |
|
|
поперечных колебаний мембраны. . |
|||||||||
Уравнение малых |
23 |
||||||||||||
§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики............................... |
|
|
|
26 |
|||||||||
§ 5. |
Уравнения для напряженности электрического и маг |
29 |
|||||||||||
|
|
нитного полей |
в в а к у у м е ...................................................... |
|
|
|
|
|
|||||
§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии........................ |
|
|
|
30 |
|||||||||
§ 7. |
Кинетическое уравнение |
.......................................................... Постановка |
краевых |
задач |
31 |
||||||||
§ 8. Типы краевых |
условий. |
37 |
|||||||||||
Задачи..................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|||
Глава III. |
Метод характеристик.......................... |
|
|
|
|
|
44 |
||||||
§ |
1. |
Характеристическое |
направление и |
характеристики |
45 |
||||||||
§ |
2. |
оператора |
Я [f] |
|
форма |
оператора |
h [и, |
v] |
= |
||||
Характеристическая |
46 |
||||||||||||
§ |
3. |
= Я 1[и] + Я 2[ и ] .................................................................. |
|
пары операторов hx [и, |
v] |
||||||||
Характеристическая форма |
47 |
||||||||||||
§ |
4. |
и /г2 [и, о] ............................................................................ |
|
системы с постоянными |
коэффици |
||||||||
Гиперболические |
50 |
||||||||||||
§ |
|
|
ентами ................................................................................... |
задачи |
Коши |
одномерного |
волнового |
||||||
5. Решение |
53 |
||||||||||||
§ |
|
|
уравнения. Формула Даламбера.................................... |
|
волнового |
||||||||
6. Решение |
задачи |
Коши для |
неоднородного |
54 |
|||||||||
|
|
|
у р авн ен и я ............................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
§7. Устойчивость решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения к входным данным. Обобщен
§ |
|
|
ное реш ение......................................................................... |
|
57 |
9. |
8. Решение краевых задач на полупрямой.................. |
61 |
|||
§ |
Отражение волн на закрепленных и на свободных |
64 |
|||
§ |
10. |
к о н ц а х .................................................................................. |
|
||
Решение задачи о распространении краевого режима |
65 |
||||
§ |
11. |
на полупрямой .................................................................. |
|
||
Решение задачи Коши для трехмерного и двумерно |
66 |
||||
§ |
|
|
го волновых уравнений. ФормулаП уассона................ |
||
|
12. Физическая интерпретация формулыПуассона . . . |
73 |
|||
§ |
|
13. Системы квазилинейных уравнений............................ |
75 |
||
§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений. . |
75 |
||||
§ |
|
15. Образование разрывов в решении............................... |
77 |
||
§ 16. Одномерные плоские адиабатические течения газа . . |
79 |
||||
§ |
17. |
Численное решение систем квазилинейных уравнений |
80 |
||
|
|
|
методом характеристик ..................................................... |
||
Задачи................................................................................................ |
|
81 |
|||
Гласа I V . Метод Фурье решения краевых задач (метод разделе |
83 |
||||
ния |
|
переменных).......................................................................... |
|
||
§ 1. |
|
Предварительные понятия................................................ |
83 |
||
§ |
2. |
|
Сущность метода Фурье. Собственные функции и соб |
84 |
|
§ 3. |
|
ственные зн ач ен и я ............................................................... |
собственных функций и собствен |
||
|
Основные свойства |
92 |
|||
§ 4. |
|
ных значений......................................................................... |
совокупности собственных функ |
||
|
Некоторые свойства |
108 |
|||
|
|
|
ций ............................................................................................ |
|
|
§ 5. |
Решение неоднородных краевыхзадачметодом Фурье 112 |
|
§ 6. Применение метода Фурье к решению краевых |
задач |
|
|
для уравнений эллиптического т и п а .............................. |
117 |
Задачи............................................................................................... |
120 |
|
Глава V . Метод Дюамеля решения задач о распространении кра |
||
евого реж и м а.................................................................................. |
124 |
|
Глава VI. Метод функций Грина решения краевых задач |
и за |
|
дачи |
Коши для уравнений параболическогот и п а ................... |
130 |
§1. Сущность метода функций Грина решения краевых задач и задачи Коши для уравнений параболического
§ 2. |
т и п а ......................................................................................... |
Грина задачиКоши |
на прямой |
130 |
||
Построение функции |
136 |
|||||
§ 3. |
Решение задачи о распространении |
тепла |
на |
беско |
140 |
|
§ 4. |
нечной прямой (задача Коши) и наполупрямой |
. . . |
||||
Решение задачи о распространении |
тепла |
в трехмер |
149 |
|||
§ 5. |
ном (двумерном) пространстве........................................... |
к малым |
измене |
|||
Устойчивость решения |
задачи Коши |
152 |
||||
|
ниям входных данных |
......................................................... |
|
|
|
|
Задачи ............................................................................................... |
|
|
|
|
155 |
|
Глава VII. Метод функций Грина решения |
краевых задач для |
156 |
||||
уравнений эллиптического типа .................................................. |
|
|
|
|||
§ 1. |
Вторая формула Грина. Простейшие свойства гармо |
156 |
||||
|
нических ф у н кц и й ............................................................... |
|
|
|
|
|
4
§ |
2. |
Сущность метода функций |
Грина. |
Некоторые свойст |
162 |
||||
§ |
3. |
ва функций Грина |
............................................................... |
|
Интеграл Пуассона . . . |
||||
Построение функций Грина. |
168 |
||||||||
Задачи................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
179 |
||
Дополнение к главам VI |
и VII. О методе функций Грина ре |
|
|||||||
шения краевых задач и задачи |
Коши для уравнений гипер |
179 |
|||||||
болического т и п а ............................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|||
Глава |
V I I I . Единственность решенияосновных з а д а ч .................. |
182 |
|||||||
§ |
1. |
Единственность |
решения |
краевых |
задач |
для уравне |
182 |
||
§ |
2. |
ний гиперболического т и п а |
задачи.............................................. |
Коши |
для волно |
||||
О единственности |
решения |
185 |
|||||||
§ 3. |
вого уравнения..................................................................... |
|
краевых |
задач |
для уравне |
||||
Единственность |
решения |
186 |
|||||||
§ 4. |
ний параболического т и п а .................................................. |
|
|
|
|||||
Принцип максимума и минимума для решений урав |
188 |
||||||||
|
|
нения теплопроводности..................................................... |
|
|
|
|
|||
§ 5. Единственность |
решения задачи Коши для уравнения |
191 |
|||||||
|
|
теплопроводности.................................................................. |
|
краевых |
задач для уравне |
||||
§ 6. Единственность |
решения |
193 |
|||||||
|
|
ний эллиптического типа |
.................................................. |
|
|
|
|||
Глава IX. Интегральные уравнения.................................................. |
|
|
|
198 |
|||||
§ 1. Классификация линейных интегральныхуравнений. . |
198 |
||||||||
§ |
2. |
Интегральные уравнения свырожденными ядрами . . |
199 |
||||||
§ 3. |
Существование реш ений ..................................................... |
|
|
|
|
200 |
|||
§ |
4. |
Понятие о приближенных методах решения интеграль |
205 |
||||||
§ 5. |
ных уравнений |
Фредгольмавторого |
р о д а ...................... |
|
|||||
Теоремы Фредгольма............................................................ |
|
|
|
|
206 |
||||
Глава X. |
Сведение краевых |
задач |
к интегральным уравнениям. |
212 |
|||||
Потенциалы...................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|||
§ 1. |
Объемный потенциал........................................................... |
|
|
|
|
212 |
|||
§ 2. Потенциал простого слоя |
.................................................. |
|
|
|
220 |
||||
§ 3. |
Потенциал двойного с л о я .................................................. |
|
|
|
223 |
||||
§ 4. |
Применение потенциалов к решению краевых задач |
230 |
|||||||
§ 5. |
Другие задачи, |
сводимые к интегральным уравнениям |
232 |
||||||
Задачи ................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
234 |
||
Глава |
XI. Интегральные уравнения |
ссимметричными ядрами. . |
235 |
||||||
§ |
1. |
Простейшие свойства собственных функций и собст |
236 |
||||||
§ 2. |
венных значений ядра К (х, |
s ) ................................... |
|
|
|||||
Спектр итерированных яд ер ............................................. |
|
|
241 |
||||||
§ 3. |
Разложение итерированных |
я д е р .................................... |
|
|
244 |
||||
§ 4. |
Теорема Гильберта —Ш мидта.......................................... |
|
|
246 |
|||||
§ 5. |
Разложение решения неоднородного уравнения . . . . |
250 |
|||||||
§ 6. |
Теорема Стеклова |
................................................................. |
|
|
|
|
252 |
||
§ 7. |
Классификация |
я д е р ........................................................... |
|
заданных на бесконечном |
253 |
||||
§ |
8. Спектр симметричных ядер, |
254 |
|||||||
|
|
промеж утке............................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
5
Глава |
X I I . |
Понятие некорректно поставленных задач. О прибли |
258 |
||||||
женном решении |
интегральных уравнений первого рода . . . |
||||||||
§ |
1. |
Понятие корректно поставленных и некорректно по |
258 |
||||||
§ 2. |
ставленных |
з а д а ч ............................................................... |
|
|
|
- |
|||
Кратко о некоторых методах решения |
некорректно |
|
|||||||
|
|
поставленных задач........................................................ |
|
|
|
263 |
|
||
|
|
|
|
Ч а с т ь |
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
С П Е Ц И А Л Ь Н Ы Е ФУНКЦИИ |
|
|
|
||
Глава |
XIII. Гамма-функция. Бета-функция............................ |
|
270 |
|
|||||
§ |
1. |
|
Гамма-функция и ее |
свойства..................... |
|
270 |
|||
§ 2. Бета-функция......................................................................... |
|
|
|
|
279 |
||||
Глава XIV. Цилиндрические функции.............................................. |
|
|
|
282 |
|||||
§ |
1. |
Поведение |
решений |
уравнений с особыми точками в |
283 |
||||
§ 2. |
окрестности |
особых |
точек .................................................. |
|
|
|
|||
Функции Бесселя и Н ейм ана........................................... |
|
|
286 |
||||||
§ 3. |
Ортогональность функций Б ессел я ................................. |
|
|
291 |
|||||
§ 4. Нули цилиндрических функций........................................ |
|
|
295 |
||||||
§ 5. |
Функции Ганкеля.................................................................. |
|
|
|
|
302 |
|||
§ |
6. Модифицированные |
цилиндрические функции |
(цилин |
310 |
|||||
§ |
7. |
дрические функции мнимого аргумента)....................... |
|
|
|||||
|
Асимптотические |
представления |
цилиндрических |
||||||
§ 8. |
ф ункций .................................................................................. |
|
|
|
|
|
312 |
||
Функции Эйри ..................................................................... |
|
|
|
|
328 |
||||
Задачи............................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
329 |
||
Глава |
X V . Ортогональные многочлены |
........................................... |
|
|
332 |
||||
§ |
1. |
Некоторые |
общие |
свойства |
ортогональных |
много |
332 |
||
§ 2. |
членов ..................................................................................... |
|
|
|
|
|
|||
Многочлены Л ежандра........................................................ |
|
|
|
335 |
|||||
§ 3. Многочлены |
Чебышева —Эрмита .................................... |
|
|
349 |
|||||
§ 4. |
Многочлены Чебышева —Л агерра.................................... |
|
|
359 |
|||||
Глава |
XVI. Сферические функции..................................................... |
|
|
|
359 |
||||
§ 1. Простейшие сферические функции ................................. |
|
|
369 |
||||||
§ 2. |
Присоединенные функции Л еж андра.............................. |
|
|
370 |
|||||
§ 3, |
Фундаментальные сферические ф ункции....................... |
|
|
374 |
|||||
Задачи............................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
378 |
||
Глава |
X V II . |
Начальные сведения о гипергеометрических функ |
|
||||||
циях |
.................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
380 |
|
Дополнение. |
Понятие обобщенных функций. 6-ф ункция |
............. |
385 |
||||||
Ответы к задачам .................................................................................. |
|
|
|
|
|
401 |
|||
Литература |
............................................................................................ |
|
|
|
|
|
430 |
||
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга предназначается для студентов инженернофизических, физико-технических и других специальностей с повышенной физико-математической подготовкой и инже неров этих профилей.
Она является результатом существенной переработки моей книги «Математическая физика», выпущенной изда тельством «Наука» в 1966 г. В наибольшей степени пере работке подверглись следующие разделы: метод характе ристик решения задач для уравнений гиперболического типа, метод функций Грина, единственность решения кра евых задач и задач Коши и вся вторая часть книги, по священная специальным функциям.
Изменилось и построение книги. В основу положены методы решения простейших задач математической физики
иих возможности в применении к уравнениям (системам) различных классов (типов). Такое расположение матери ала, по нашему мнению, позволяет лучше усвоить прак тические алгоритмы получения решений основных задач.
Имея в виду практические потребности обработки ре зультатов физического эксперимента, в книге вводится понятие корректно поставленных и некорректно постав ленных задач. Для многих основных задач рассматривается устойчивость изучаемых методов их решения к малым изменениям «исходных данных». В приложении к интеграль ным уравнениям первого рода алгоритмически описывается
иметод нахождения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивый к малым изменениям «исходных данных» (метод регуляризации).
Вотличие от прежней книги, в этой книге метод ха рактеристик излагается для систем линейных и квазили нейных уравнений и показывается возможность образова ния разрыва в решении при сколь угодно гладких «исход ных данных».
7
Содержание книги почти полностью совпадает с курсом лекций, который я читал в течение многих лет на факуль тете экспериментальной и теоретической физики Москов ского инженерно-физического института.
А. Г. Свешников прочитал рукопись и высказал мно гочисленные важные замечания и ценные советы по содер жанию книги и изложению, которыми я воспользовался. Полезные замечания, позволившие устранить упущения и улучшить изложение, были высказаны А. Ф. Никифо ровым, Е. А. Волковым и редактором А. С. Чистополь ским. Всем этим товарищам выражаю глубокую благо дарность.
Автор
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К КНИГЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА»
Этот курс складывался под непосредственным влия нием А. Н. Тихонова, определившего основное содержа ние программы курса. С А. Н. Тихоновым и А. А. Са марским я неоднократно обсуждал многие вопросы и поль зовался их ценными советами. В. С. Владимиров и Т. Ф. Волков прочитали рукопись и высказали ряд важ ных замечаний и советов, которыми я воспользовался. Многочисленные полезные замечания были высказаны ре дактором С. А. Широковой. Всем этим товарищам выра жаю глубокую благодарность.
Автор