Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

У к а з а н и е .

Искать

решение

и (г, г) в виде и = v (г) + w (г, г).

Постановка задач

для v (г)

и w (г, z):

Q 6 (г)

| о] < o o , v(R) = 0;

v: До + ^ - ' - ^ = 0 ,

2л г

w:

Aw — 0,

] w j <

оо, w (R ,z) — О,

ОО

2qR U \R~ Г

_««ги

12. u(r, /) =

f 0(r) +

< . f i ( r ) - 2

е Д2 , где Fa(r)--

qR !

П= 1 k

a'nJ0 («„)

«„ —положительные

корни

уравнения J± (a) = 0.

,(«)

13. а) hn, m , k = ( ^ ^ j

а(т ~

положительные корни урав­

нений

J n (a) — 0,

ГП

,

ч

•

nk

,

/«S'

U

sin/i<p,

Ф. г) = 5т т

г . У „ ^ г Д

cosnf;

б)

.

/ЛЙ \2

/а т

\

(„)

Vm,fc =

(-^ -|

+ ( —^ -1 . a j / —положительные корни урав­

нений / ' (а) = О,

Лп)

\ /

cos «ф.

Фn,m,k(r,

ф ,

2) =

COS —

г

/ ат

” \

Г) \

sin шр;

,(") \2

в)

bn.m,k — v%+ [-j=r'J •

a m' — положительные

корни

уравнений

aJ'n (a)-\-RhJn (a) = 0,

v* —положительные корни

уравнения

tgv^ =

(^1+

^2) v

V2 — М а ’

Ф «,т.*(П ф. 2) = ^ (г)-У

cos ncp,

sin mjp,

( z ) = V A COS VAZ +

/l!

sin VA2.

14.

а) Фл,т (г, ф) =

v<">

,л 1Шф

_/Ъп_)

„(П)

Упя( - ^ - г ]

sin

R

'

у т

О ’

положительные

корни

уравнений

Упл(у) —0;

v(«)

\

а

/л,(л)\2

б)

Фя.т(г, (?) = J n n [ $

'- jc o s ^ f,

А,„,« = ( - £ - ) ,

7 ^ ' - поло­

жительные корни уравнений У'

(у) =

0;

ля 1

в) ф п, т (г,

h (n) \

Хп , т =

f V n) \ 2

. ПОЛОЖИ-

ф) = J V/1

rj % (ф),

j ,

тельные корни

уравнений

yJy

(У) + R - h J v

(у) = 0,

20.

и (г)

=

f -Щ

)

7о (И . А « - Р аи = 0,

а |А^

=

„0.

21.

«(Г):

22. u(r> Z)==if 2 _ ^ 2 + Ul+1

^

С„/0( ^ г

.

пп

где

sin —г—г,

п = 1

п

1

{(«О-«г) [(- !)"-!] + ( -

1)" (и* -щ)}

-я - -

М

^ *

и (г, г) —потенциал поля Е, т. е. £ = — ?и.

У к а з а н и е .

Искать

решение в виде

и = А (г) +

В {г, г),

Д Л = 0,

Л(0) =

Ц1,

Л(й) =

«2-

23. и (г,

г )= ^

С»1° \ - 1 Г Г) cos

г,

где

л = 1

П

J / (г) cos X

г йг.

/„ ( ъ * )

! cos м

У

0

00

( я (2п--1)

24.

и (г, г) -

4«о

К0 1

h

. п ( 2 п — 1)

г.

Я

2

i я (2п --1)

sm —1—,

■

’

Ко

п = I

h

«“(««+

п

\

25. и (г,

г,

t) = v(r, г )+ У

У

С„,

V /

X

п —1ft = 1

ос„

\

.

яб

X J o ( f - r ) sm — г,

R

h

7Г

.

ЯП

,

,

:»-‘ = 7 E d b $

sm

— z dz dr,

о

h

о

где a„ —положительные корни

уравнения

Jo (a)— 0,

/

ч

«о

СО

(— !)"

, 2 u0 V

р(г>г) = -А!1г+ _ 1 ^

7° '

/г”

Г ) Sin

/ Г

г '

Я

„ f . l o i ^ R

У К а з а н и е.

Искать

решение в виде

и (г, г,

/) = » (г, г) + ш (г,

z,

t),

где и (г, г) есть решение задачи

(см.

задачу

22)

Д о

= 0 ,

v ( R , z ) =

0 ,

с ( г ,

0 ) — 0 ,

v(r,h) — u0,

( о | < о о .

5. a) u (г, 0) =

е

У

Рп (cos 6);

гс —О

с о

7? 2гс+1

б) И (Г, 0)=

е >, ^ - [ ^ + 7 ^ ( 0 0 5 0).

л = 0 Г°‘ ' v

У к а з а н и е .

Искать

суммарный потенциал V (г, 0), созданный

точечным зарядом и индуцированными зарядами, в виде сум;.;ы

V (г,

0) = -— + и (г, 0),

где

f

ОЭ

^

Сл ^ j" Лг (COS 0),

Г < R,

и (г, 0)=,

п = 0

со

R_Y+ 1

/•> ;? .

2

4 *

(COS 0),

Здесь

гг— расстояние

от точки

(г,

6) до точки

(г0, 0),

где расположен

заряд.

Воспользоваться разложением

ОО

1

Рп (cos 6),

r< r0,

п = О

СО

г

21 (>°j"P" (cos6)’

r> r*

п — 0

Коэффициенты Сп и Dn находятся

из

условия

V (R,

б) =

0:

р _

егп

О

я"~

Rn' lt

Dn

eRn

+ Г

6.

а)

Если

заряд

находится

вне

сферы в точке

(г0,

0), r0 > R ,

то потенциал электростатического поля равен

и (г,

д) — {

«1 (г,

9),

r^R,

где

I Щ (г, в), r ^ R ,

СО

2я +

1

rn

D

, ..

«1 (г,

6)=е

I

„ е 1 + ( „ + , , ^

7 ~ т г р - ( с ю , ) '

«2(г.

6) = ^

+

е ^

У

Р2П±\

я„ (cose).

— 0 П 8 1

2

+ (я + 1) 8 2 Г ? + 1/-'! + 1

У к а з а н и е .

Коэффициенты

разложения

находятся

из условий

сопряжения

uAR,

б)= «2(Я, в),

ди,

_

ди2

61 dr r - R ~ 4 дг г - R '

гг— расстояние

от

точки

(г,

6) до

точки

(г0,

0),

где

расположен

заряд;

если заряд

находится

внутри сферы

(r0 <

R),

то

б)

их ( r

ON __

g

I

g l

Е2

^

~Ь

rnorn

Р

/ ГПо f)V

е

_______ 1 о 1

’

ЕЛ

Ее1

2d n£i +

(« +

R2n+1

п

‘

п=0

«2(г,

6)=е 2

2я + 1

■Р„ (cos 6).

яе1 +

(я +

1)е2 гл