7.
СО
J |
2 |
[ k ' f [Pn (0)+ Pn-* (0)] Pn (cos e) - |
|
|
ri—O |
|
2er |
|
v( r, d)=< |
|
|
|
|
|
|
|
— -ф- Px (cos 6), /-s£P, |
2e |
CO |
|
|
|
|
v i |
/ \л -ь x |
|
|
|
R |
2 |
\Tj |
[Pn(0) + Pn-2(0)1 Pn (cos e)l |
r 25 R- |
I |
n = 0 |
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Решать |
задачу методом |
разделения |
переменных. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
2] CnrnPn (cos 6), |
rsS P, |
|
|
|
/1=0 |
|
|
v(r, ®) =
2D«7HTi-p«(cose). ''ЗгР.
п=0
Коэффициенты Сп и D„ находятся из сравнения этих формул с раз ложением по степеням г потенциала в точках оси г (перпендикуляр ной диску и проходящей через его центр), который вычисляется не посредственно-.
У (г, 0) = * { № + & - г } .
|
СО |
4п+ 3 |
/ /- '.2/1+1 |
|
8. у (г, б) |
1 |
|
2лaR 2 |
2n+i |
U ; |
P2«+i (cos 6). |
|
|
/1 = |
0 |
|
|
|
У к а з а н и е . В силу |
симметрии |
задачи v |
Поэтому |
в разложении |
|
|
|
|
|
|
v (О 6) = 2 ] |
c krkpk (cos 6) |
|
|
|
/г = 0 |
|
|
коэффициенты Са„ с четными индексами должны обращаться в нуль. Остальные коэффициенты определяются из условия
|
■ovr (R, |
6) = |
1 |
6(6) |
I. |
|
|
|
|
2лР2 |
sin б |
|
9. и (г, б) |
Q |
Q у п + 1 - R h ^ r |
|
4якгг |
4лй |
L i |
П + Rh |
Rtn+l r n (COS0), |
n= 0
где гi — расстояние от точки (г, б) до источника (г0, 0).
У к а з а н и е. Искать решение в виде суммы
и(Г' б)= 4Ш1+Х}{Г’
где v (г, 0) есть решение задачи
До = 0,
ь д я , »,+»=№. 8) _ = | { ts4 ( i ) + A ^ .
Воспользоваться разложением 1//^ в ряд по многочленам Лежандра.
|
|
|
р |
|
|
^ |
|
(r^n~v1_р л-И |
|
|
|
|
10. и (г, 0) = |
- - е |
|
У |
|
|
|
|
R2n |
J - |
|
|
|
|
|
1/?2«+ 1_ |
«А |
1 |
|
|
|
v |
|
Гх |
|
|
|
|
/?2л + 1rn-+f |
|
|
|
|
|
|
|
П=0 |
|
|
|
-Rf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2n + l _ r 2 n + l f l W |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos 6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' /г?"+ 1_ /??"+1 (г0г)"+|/ я |
|
Плотность индуцированных |
зарядов |
|
|
|
|
|
|
|
■ |
СО |
(2 ti+ l)(R 2n + l — r2n + i) |
R ? ~ l |
|
|
|
, |
|
X |
|
|
|
|
—е |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ря (cos 0), |
af= < V = * - — |
2 |
|
|
|
R 2n + \ |
_ |
R 2n + |
\ |
r n + 1 |
|
|
|
/2= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
СО |
|
(2п+ 1)(г^ + 1- я!п+ 1) |
|
, |
|
02- 0 |
r=Ri- |
V |
|
,«+» |
|
4я |
2 |
|
|
|
|
^ |
+ 1 _ ^ я + 1 |
" (C0S6)' |
|
|
|
/2= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
гх —расстояние |
от |
точки |
(г, |
6) до |
заряда, расположенного |
в точке (г0, 0). |
|
Искать |
решение в виде |
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ = ;— |
|
6). |
|
|
|
|
|
|
|
Oi = — |
|
1 |
Ida \ |
|
((= 1, 2). |
|
|
|
|
|
4л |
\dn j |
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
1 |
-cos a — |
|
г+1 (cos a ) - |
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Л 1 - 1 |
(cos a)] |
(cos 6) i . |
to |
u(r |
-2k |
( |
1 |
|
, |
' |
cos0 |
|
|
|
|
|
12. u(r, 0) |
| 2/I^ |
+ |
£ |
1 + а д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OO |
(4n + 1) Рщ (°)r2n Pin (cos 01 |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
(2n+ A/?)(2n-l)(2n + 2)/?a« |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = l |
|
|
|
|
|
J |
{C«.m,feCOsA(p+ D „,m, Asin Аф} X
У к а з а н и е . Краевое условие задачи имеет вид
|-cos0,
|
|
ur (R, |
в) + hu(R, |
б) = |
0, |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б Sg Л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
и (г, б, |
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гп |
f (t) Рп (cos б) |
+ |
Ра (cos 0) |
2 |
Ф* (0 у = |
у„ + |
|
~ |
|
tiR |
|
|
|
|
|
|
|
|
* = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где а к — положительные корни уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 4 |
+ |
1/2 (а )~~~2 Ч + 1/2 (а ) ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЯЛ* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■Фа(0= |
a ka |
§ |
Г (т) sin ~ |
t |
(t — %) dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ з/2 / |
|
|
|
..1j - |
|
|
|
|
|
|
|
— 2 |
S |
' * |
^ n - f - 1 / 2 I ^ |
r I а г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
|
ra(n+l)j |
|
|
|
|
|
k |
nRn+1 |
J n + 1/2 ( “ ft) |
|
|
|
Здесь и (г, |
б, 0 —потенциал |
скоростей; |
|
|
|
а1 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 2 Д и = |
utt, |
и (г, б, 0 ) = |
щ (г, |
|
б, |
0) = |
0, |
|
|
|
|
|
ur (R, |
в, |
t ) = P n (cosb)f (t), |
|
| и | < с о . |
|
|
14. |
А,, |
т, k — |
[ “ т*]2 + |
№ — собственные значения, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
a m> |
\ |
Dft, |
|
/ |
cosfecp, |
ф n.m.kir, |
9. |
ф) |
у т |
|
п+т |
------ г |
Р* |
(cos 6) < |
, |
|
|
^ |
|
/ |
п |
' |
\ |
sm k(p |
— собственные |
функции. Здесь а ^ ' —положительные |
корни урав |
нений: |
Jn +1/2 («)= °; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
-j-1/2 (“)—2“ Ч + 1/2 (“) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 2 а У ' j^2(а) —(1 2/?А) 7„_|_ (а) = 0;
А —константа в условии vr (R, 0, <p)-\-hv(R, 0, ф) — 0.
оосо п
т= 1ra= 0 ft= 0
1 |
|
а (га) |
X 7 7 |
' и + 1/ 2 |
г Р* (cos 0) • е |
V я |
где а ^ —положительные корни уравнения
гп + и2 (а ) = °>
R |
я 2я |
|
|
|
( n ) |
с„, пь k— &п, т,k |
|
|
|
|
|
|
f(r, |
0, |
Ф)гъ! Ч п |
|
o o o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
(cos 8) cos ky> ■sin 0 dcp d0 dr, |
R |
Я 2Я |
|
|
|
Лп) |
' > - * - ^ - * 5 |
И |
Hr, |
в. |
|
|
кт j . . |
ф) г3/2/ л+1/2\“^~ r J Х |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X P* (cos 0) sin feip ■sin 0 dq> d0 dr, |
’га.m. kz |
|
(2 я + |
1) (n — k) I |
|
|
|
|
|
|
я Я * 1 л + 6 ) 1 в ЛУ * + 1 /2 ( < > ) ’ |
|
|
_ / |
2, |
k = 0, |
|
|
|
4 |
l |
1, |
k^0 . |
|
