Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть ф(х, у) = сг и ф(х, у) = с2 суть общие интегралы уравнений (11). Левые части этих интегралов и есть иско­ мые функции ср (х, у) и ф(х, у).

Таким образом, в рассматриваемом случае мы найдем функции ф (х, у) и ф(х, у), обращающие в нуль коэффи­ циенты ап и а22. При этом а12 не обращается в нуль ни в одной точке области D, что немедленно следует из тождества (6 ). Разделив преобразованное уравнение на 2 а 12

(и заменив переменные х, у переменными |, т] по форму­

лам (3)), мы и получим искомую каноническую форму.

Общие

интегралы уравнений

(11) ф (х,

у) = с1

и

ф(х, У) —

° 2образуют два семейства

кривых,

называемых

характеристиками уравнения (1). Уравнения (11) назы­

ваются дифференциальными уравнениями характеристик.

Заметим, что никакие две характеристики из

разных

се­

мейств не касаются друг друга, поскольку

Поэтому

упомянутые семейства характеристик образуют криволи­ нейные координатные сетки. В связи с этим рассмотрен­ ное упрощение уравнения (1) посредством преобразования независимых переменных иногда называют преобразованием уравнения (1) к характеристикам.

2.

Если уравнение (1) эллиптично

в области

D, то

в D существуют такие функции ф (х,

у)

и ф(х, у),

что

заменой переменных (3) уравнение (1) приводится к кано­

нической форме

 

 

 

 

ull + urm + Fi(u%> ип> и>

rl) = 0 .

(12)

Снова ограничимся описанием процедуры отыскания функ­ ций ф(х, у) и ф(х, у).

Сначала формально, как в предыдущем случае, приво­

дим уравнение к

виду

 

 

 

 

 

4n + Fi(ut>

и>

vt)==0-

(13)

При этом новые переменные |

и т]

будут комплексно со­

пряженными *):

 

 

 

 

 

£ = ф(х, г/) + гф(х, У).

"П= ф (л:, у) — пр(х, у),

поскольку

дифференциальные

уравнения

характеристик

в рассматриваемом случае имеют вид

 

 

dy_ _ < h 2 j К — a

dy_ _ с ц 2

, . У :=гк

dx

аи

ап ’

dx

ап

'

ап

*) Это утверждение справедливо лишь при некоторых условиях, которым должны удовлетворять коэффициенты ап , а12 и а22 уравне­ ния (1). См. П е т р о в с к и й И. Г., Лекции об уравнениях с част­ ными производными, «Наука», 1965.

13

Следовательно, уравнение эллиптического типа имеет лишь

мнимые (комплексные) характеристики.

 

 

 

 

 

Произведем новую замену

независимых переменных по

формулам р = 0,5 ( |+ л) = ср (х,

у),

о=

— 0,5г(| —ц) =

= ф(х, у), в результате которой уравнение (13), а следо­

вательно и уравнение (1), приводится к искомой канони­

ческой форме (с точностью до изменения

 

обозначений)

 

Uoa~\~ F2 (Wpi

Wo,

tl,

р, а) =

0 .

 

 

3.

Если уравнение

(1)

параболично

в

области D, то

в D существуют такие функции

ср (х, у)

и

ф(х, у),

что

заменой

переменных (3)

уравнение

(1) приводится

к

ка­

нонической форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

um + F1(ui,

иц, и, I,

т|) =

0.

 

 

 

(14)

Процедура отыскания

функций

ср (х,

у)

и ф (х,

у)

со­

стоит в следующем.

которая

Сначала

находим такую функцию ср(х, у),

обращает

в

нуль коэффициент а п преобразованного урав­

нения, т.

е. является решением уравнения

 

 

 

ах1<р* + 2а12ухуу+ а22ср£ = 0 .

(15)

Как и в случае гиперболического уравнения, мы предпо­ лагаем, что ап не равно нулю тождественно ни в какой области Оъ содержащейся в D. Затем разрешаем уравне­ ние (15) относительно срх/фу. В отличие от гиперболиче­ ского случая (см. (9)), получаем лишь одно уравнение

 

 

у)ц>у = 0,

(16)

где Я (х,

у) — ап /ап .

 

Пусть ср(х,

у) = с есть общий интеграл уравнения (16).

Левую

часть

этого интеграла, не равную

тождественно

постоянной, и берем в качестве функции <р(х, у). Тогда коэффициент а 12 преобразованного уравнения также обра­ тится в нуль, как это следует из условия параболичности уравнения (1) и из тождества (6 ). В качестве функции ф(х, у) можно взять любую дважды непрерывно диффе­ ренцируемую функцию, не обращающую в нуль коэффи­

циент а 22.

Разделив

преобразованное таким образом урав­

нение

на

а 22, мы

и получим искомую каноническую

форму.

Уравнение параболического типа имеет лишь одно

семейство

характеристик

ё = Я(-П У).

14

Если исходное уравнение (1) линейное, то и преобра­ зованное уравнение, очевидно, будет линейным.

Итак, канонические формы линейных уравнений имеют следующий вид:

uinJr $ 1u iJr-$2un-\-yu = f(l,

т})

(гиперболическое),

M£!+ Mrjr1+ Pi«! +

P2«4 + Yu = /(£>

Л)

(эллиптическое), (17)

ит -\- Piw| +

Ргыг|+ уи = f (i,

Л)

(параболическое). _

4. Если исходное уравнение было линейным и с по­ стоянными коэффициентами, то и в соответствующем кано­ ническом уравнении коэффициенты р2, у будут посто­ янными *). В этом случае уравнения (17) допускают дальнейшее упрощение при помощи замены неизвестной функции по формуле

и = yeM£+VT),

(18)

где р , V — числа, подлежащие определению.

Вычисляя производные функции и и подставляя их,

например, в первое из уравнений

(17), получим

+ (v + Pi) и£ + (р + Pi) yTi+ (pv +

EPl + vP2 + y) v =

 

= /(g, ri)e^-v4.

Если мы положим p = — p2, v = — px, то преобразованное уравнение примет вид

 

^ t,+ YiU =M £. Л).

 

(19)

где Yi = Y — Р1Р2,

Д(£, Л)=/(£, ^gP^+p.n.

 

 

Аналогичным образом уравнение эллиптического типа

приводится к виду

 

 

 

 

 

 

 

yiiii”b Yiy — /1 (£> Л)»

 

(20)

где Yi = Y — 0,25(р( + Р:), Д =

 

р = — 0,5р1, v = 0,5Р2.

В уравнении

параболического

типа

выбором р

и v

нельзя обратить в нуль коэффициенты при

и у,,, поскольку

преобразованное

уравнение

имеет вид

 

 

“Ь Piyl “Ь (2V+ Ра)

(v2

vP-2+

H'Pi + Y) v —h (£>

Л).

Полагая v = — 0,5P2,

p = J- (0,25P2 — y),

получим

 

 

 

Pi

 

 

 

 

<Vi + Pi^ = fi (i,

Л)-

 

(21)

*) Характеристиками гиперболического уравнения в этом случае будут прямые.

15

Имея в виду описанные возможности упрощения уравне­ ния (1), достаточно рассмотреть лишь методы решения задач, сформулированных для канонических уравнений, а в случае линейных уравнений с постоянными коэффици­ ентами—для уравнений вида (19), (20), (21).

Рассмотрим несколько примеров.

 

П р и м е р

1.

ихх—уиуу = 0.

 

Следователь­

но,

Здесь ап = \ ,

а12 = 0, а22 = — У, Д = aj2 —ап а23 = у.

в области

( /> 0 уравнение

гиперболично,

в области у < 0 —эл­

липтично.

 

 

 

 

 

 

а) Рассмотрим сначала область гиперболичности. Дифференциаль-

ные

уравнения

 

 

dy _

-1/7,

аУ

характеристик имеют вид -

■Vi.

% - V i . а

х — 2 у гу = с1, х + 2 У у = с2—их

dx

 

 

общие интегралы. Производя замену

независимых переменных

 

 

 

 

 

 

l = x — 2 Vy,

T) = *+ 2 Vу,

 

получим каноническую форму преобразованного уравнения

+ 10,5 (и| - и п) = 0.

Характеристиками являются правые и левые ветви семейства парабол (х — с)2 = 4у (рис. 1, сплошные и пунктирные кривые). Вер­ шины парабол, лежащие на оси х, не принадлежат характеристикам, так как в этих точках уравнение не является гиперболическим (Д= 0).

б) В области эллиптичности (у < 0) производим замену перемен

ных р = 0,5(|-И 1) = *, а = — 0,5t (т) —£) = 2 ] / З у .

Канонический вид уравнения:

 

«рр + иао ~ иа — 0 .

П р и м е р 2.

хихх ~ 2 У х у и Ху + у и Уу + 0,5иу = 0.

Здесь ап = х,

а12 = — Уху, аг2= у, A — a2i2— an a22 — 0. Следова­

тельно, это уравнение всюду параболического типа. Оно имеет одно

16

семейство характеристик, описываемых дифференциальным уравнением

 

dy

 

 

или

dy

— d x \

-

 

dx

 

 

 

'V~y

T T j -

Общий интеграл

этого уравнения

\ гх - \ - У у = с. Поэтому полагаем

1 = У Х+ Уу ,

г|

можнр положить равной любой функции ф (х, у), не

обращающей

в

нуль коэффициент

а 22

преобразованного

уравнения.

Полагаем rj =

|/^лг.

 

 

 

 

 

Канонический вид уравнения:

 

 

 

 

 

 

ищ

1 («|1 + “г))—0.

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

5. Принадлежность к тому или другому типу линей­ ного уравнения второго порядка, не содержащего смешан­ ной производной от искомой функции, т. е. уравнения вида

апихх + а2м уу+ byix + Ь2иу+ сы = / (х, у),

(2 2)

очевидно, определяется знаками коэффициентов ап и а22. Точнее, если ап (х, у) и а22 (х, у) всюду в области D имеют разные знаки (и в О не обращаются в нуль), то уравне­

ние (22)

гиперболично в D; если ап (х, у)

и

а22(х, у)

всюду в

области D имеют одинаковые знаки

(и в D не

обращаются в нуль), то уравнение (22) эллиптично в D.

Если же всюду в D один

из коэффициентов ап , а22 равен

нулю, то уравнение (22) параболично в D.

 

 

 

Аналогичный признак

может быть положен в основу

классификации линейных

уравнений

вида

 

 

 

П

П

 

 

 

 

 

 

Л

OiiUx xt + J] bkuXk+ си = f (xlt X2, .... X„)

(23)

f=l

k=\

 

 

 

 

 

 

со многими независимыми переменными (x1(

х2,

. . . , х п),

где an, Ьк, с суть функции переменных (xlt

х2,

...,

хп).

Уравнение (23) называется:

 

 

 

 

эллиптическим в точке (х}, х£, .... х°п), если все коэф­

фициенты

аи (х\, х£, ...,

Хп) в этой

точке, во-первых, не

равны нулю, во-вторых,

имеют один

и тот же знак;

 

гиперболическим в точке (xj, x!j, ..., х„), если коэффи­

циенты а,ц (х“, х|,

..., Хп) в

этой

точке,

во-первых, все

не равны нулю,

во-вторых,

все,

кроме

одного (напри­

мер, а,у0), имеют один и тот же знак, а aiaia(х'/, х\........х°п) имеет противоположный знак;

параболическим в точке (х\, х'1, ..., хап), если коэффи­ циенты аи (xj, х?2, ..., Хп) в этой точке все, кроме одного

1Г

Смотрите также файлы