Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

“v

Uxn’ Uxix2’

Uxixn’ •••’

Uxixr •••' UV V

Ф (xy,

X%, . • . , Xn\ U,

Ux^,

W*3> • • • > Uxn',

U>W

•••’ Uxixr

Uxnxn) = 0-

Очень

часто эти уравнения являются линейными относи­

тельно

старших производных — производных

второго по­

рядка, т. е. имеют вид

П

П

^ I

GijUx-X-"4~ F (■%>

• • • >

Uj; , • • • > иXп) = О,

I= 1 / = 1

функциями только независимых переменных xlt

х2, ..., хп.

Если функция-F (хх........ хп, и,

uXl...........их )

линейна

относительно аргументов и, uXl,

..., их , то

уравнение

п

п

п

2

£

аиих.х. + 2 biUXi+ cu = f (ху, ..., хп),

(*)

i=i / = 1

t= 1

где коэффициенты ai;-, bt, с являются

функциями только

независимых переменных х1г ..., хп.

(*) называется ли­

Если

/( xv ..., хп) = 0,

уравнение

нейным

однородным, в противном случае — неоднородным.

Если

коэффициенты ац,

bit с постоянны, уравнение (*)

мая функция и зависит лишь от двух

переменных: и =

— и(х, у). В этом случае уравнения,

линейные относи­

тельно старших производных, можно записать в виде

^i\Uxx~\-^.а^Пху-фa ^U yyF (х, у, и, их, пД — О,

(1)

а линейные — в виде

an uxxJr^‘ai4Uxy-\-a22Uyy-\-b1ux -\-b2UyJ\-cu = f [х, у),

(2)

у. Любое такое уравнение

((1) или (2)) с помощью замены

независимых переменных

может

быть

приведено к более

простому — к а но н и чес к ом у

в и д у

(форме). Поэтому

менных по формулам

£ = ф (*. у)> 'п = Ф(*, у),

(3)

ttjcx ~

ф*«й + ^х^хЩ-ц +

“b ЧххЩ+ 'l|Vvwri'

иуу =

ФуиЪ1~Ь 2сру^уЩц +

^уЧцц + фууЩ + Фуу^ф

U-ху =

флгф^Ы^ ~Ь (флФу “Ь ФуФЪ:) «;Т| “1 Фл'Ф'гДпп “Ь флгу«| ~Ь Фху«1]*

a11ull + 2a12uln+ a22um + F1 (иь ип, и,

%, т)) = 0,

(4)

где

« 1 1 = «пф * “Ь 2 о^2Фл:фу “Ь « 22фу>

«12 =

« п Ф Ж

+ « 1 2 (ф*Фу + фуФ*) +

«ггФуФу.

(5)

« 2 2 =

«пФ * +

2 а12\рх% + а22фу.

Непосредственной проверкой устанавливаем справед­

ливость тождества (используя

при этом формулы (5))

« 1-2

« 11«22 = («1-2

D (ф; ф) 2

(6)

«11«22) D (х;

у) _

Теперь мы

можем

принять следующую к л а с с и ф и ­

к а ц и ю

уравнений вида (1).

D дискриминант А = aj2 —

Если в некоторой

области

— «ii«22

положителен,

Л > 0 ,

то уравнение ( 1) называется

гиперболическим в D (гиперболического типа в D).

Если

Д < 0

в области D, то уравнение (1) называется

эллиптическим в D (эллиптического типа в D).

D,

Если

Д = 0

во всех точках области

(множества)

то уравнение (1) называется параболическим в D (парабо­

лического типа в D).

что при замене независимых

Из тождества (6 ) следует,

для упрощения уравнения (1),

для приведения его к кано­

нической форме. Для каждого типа уравнений существует

своя

каноническая

форма.

гиперболично в области D, то

1.

Если уравнение (1)

в D

существуют такие функции

ф (х, у) и ф (х,

у), что

*)

При взаимно

однозначном

преобразовании (3)

якобиан

D (ф; ф)/Н (х\ у) не обращается в нуль.

См.

Ф и х т е н г о л ь ц Г. М.,

Основы математического анализа, т.

II,

изд.

5-е, «Наука»,

1968.

Ulr\+ Fi(ut, Щ, ы, I. 11) = 0»

(7)

в точках области D.

Разделив обе части уравнения (1)

на 2а12, мы получим каноническую форму (7).

2)

Пусть ah + ай

не обращается в нуль в точках обла­

сти D.

Мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда

получим

^

^ — а12 щ VЬ.

фу _ — а12 ± Vh

Ту

«и

’

%

аи

Следовательно, каждое из уравнений

(8)

распадается на

следующие два уравнения:

фл + М * .

У)Ту = 0,

% + К2(х, У) фу = 0,

(9)

где

Kix,

y) = a- * = ¥ L ,

К {*,у) = аж^

- .

(Ю)

«11

«и

Уравнения

(9) эквивалентны

соответственно

уравнениям

% = К{х,

у),

d/x = Я2 (х, у) »).

(1 1)

*) Эквивалентность

означает,

что левая

часть

общего интеграла

уравнения

dy . .

у)

является

решением

уравнения

срх -)-

---

= А,-

(х,

+

h (х,

у)Ту = 0 (« =

1,

2); обратно, всякое решение уравнения

фуф-

+

7,- (х,

у) Ту = 0, приравненное произвольной постоянной, дает общий

интеграл уравнения

=

У)

(t =

l, 2).

(См. С т е п а н о в

В. В.,