Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

СО

4. G (М, Р )= - |^

^

--------- --------где Рц — точки с коор-

динатами (х0, у0,

z0Jr 2nh),

Рп — точки

с координатами

(х:0, у0, z0 -

— (2п-\-1) А), (х0,

у0,

г0) —координаты

точки

Р.

Глава X

В,

: Rll

1. «(/■)=

■ 4 я

п

н

® d l + C, R ^ r ^ R t ,

D_

Ri

Rz^r,

г

где

*'Z

'V?

1

Z) = 4 n j E * p ( E ) d 6 ,

В = С = ~ -

+

4 я

J

г i 2p (6)dg.

“

2

&

R-2

Ri

r

R,

( 4 я Я р 0,

2. н ( г ) = < 4 я Д 2р0

R.

2 я р 0

Я 2

M

Г,

\R,

----------

3. a ( r ) =

н

УИ

■ - R ,

где Л4 = -д- яЯ3р0,

г =

(/

л;2 + £/2 +

(г —Л)2 ,

/•1 = '|/x 2 +

r/2 + (z-f-ft)2 _

р„плотность зарядов, (0,

0, h) — координаты центра шара радиуса R.

У к а з а н и е .

Для

вычисления

влияния

идеально

проводящей

плоскости г = 0

надо зеркально отразить исходную сферу

относи­

тельно плоскости

г =

0.

Решение в этом случае представится

в виде

С—уяр°г2

М

г < R ,

и(г)-

>i ’

l

cos <p

E

l

dE

6. w

(M) = v0

Г

C

u V ( i - x ) * + y * '

2я

(p2~ R 2)f(B)dB

7.

a)

w (p' ф)==2я S

R2i

+

p2 — 2#p cos (6 —<j>) ’

б)

ш

*/f (i) dl

$

is“ -x)2+ y 2 '

Глава XIV

1.

и (r,

t) = 8A

Дг

ая

где а„ —поло-

1a^ i

r I1*'1

(а,г)

JП Л

жительные корни

уравнения

(а) = 0.

2.

и (г,

0 = 2

Спе‘

R2

^ o y j f r )>

где а я —положительные

я= 1

корни

уравнения aJ'0 (a) + h R J 0 (а) = 0 ,

R

С

—

1

В h i ;

°я

4.

и (r,

t) = f(r)~I-

^

с п -е

° 1п*Ф„ (г),

где Фя (г) =

« = 1

=

Jo (V К Ri) Na (V 1п г) -

N0

Rr) Jo i V K r),

r2

С^

Ж

Ш

\

" «

“■»«*•

'M

- t ' - R , .

Ял — положительные корни уравнения ф'п (R2) = 0.

5.

а2 Ди + — ==«//, u ( R ,t) = 0,

и (г,

0) — и/(г,

0),

\ и i <

оо,

.

...

2tf2Q

I

1

,

/ап

\

сал ,

- (Л О = f (П —

- г

Jb

R

r) cos ~R

*•

П — 1

где а„ — положительные

корни

уравнения

J0 (а) =

0,

/ (г) =

=

/?а — г2

О—стационарный

режим.

—

4и2р

6.

а) и (г, t)— / (г) sin at -f

2AoR* у

J° \ ~ R r ) s m ~R~at

a9

~

a2“ «) J i (“ «)

не совпадает

ни с одним из

собственных

значений

Ci~-a)j,

I I

“

r

ж =

рсо2

J°

h

J 0 (

W

R

\a

CO

/?

/?

6)

u(r,

t) = f

(r) cosco/ +

^ 5

Y

’

ап (а*Ф-а»и°) Jl (a„)

n= 1

CO

в)

M(r, 0 =

2 у0

^

(0.

где

n —1

/

Vn(t) = Bn § sin

R

(t — t ) sin cot dx,

0

со

7.

а)

и (г,

t) — f (г) sin сог1— У

^ sm ““

<,

где

Сп =

R

П= 1

2Лсо

^ rj0{ ^ r) j ° i j { r) dr'

f (r') =

A J ( ШR

aanRJ о \ а

R j

^ i

(a n)

{ a R

a„ —положительные корни

уравнения / 0 (a) = 0;

СО

6)

u(r,

0 = /(r)cosco?-

^

DnJ0 (^ -r ''j co sa- ^ - t ,

где

Dn =

П = I

-C

aRa’1

n

to

<p,

t)

есть решение задачи

8.

и (r,

а2 Аы =

и//,

u ( R , ф,

0

= 0,

ц ( г ,

ф , 0 ) = 0 ,

U/ (Г, ф, 0 ) = Р - у 6 (Г — ГХ) б (ф — фг),

и (г, ф, 0

у00

/« Г

\

2Р

у

cosn((p —(p1) J n { - ^ - r 1J

<П)

<

п)

лаР

A

jLi

r

f K

w

t

^

^

v

xsin -

i i

A

__ J

1>

n Ф 0,

a ln) — положительные корни уравнения

где e„ =

{

"

'

n = 0, '

-

{

J:

J n (a) =

0.

9.

u(r, z) = V0 — 2(V0— V1)

XT

где a„ —no-

7

— ------------ ;---- — ,

" .

1sh

an

• «„У ^ (&„)

n =

^ h

ложительные корни

уравнения У0 (а) = 0.

, _4 Iz

00

sh a,i z !

( a '1 r

\l

( an A

, 2/ v

7

^

° U

° \ X rj

10. W(Г, Z)= —jrr— --- —

--------------------- -------- - ■f- const,

'

я/?3а

я / ? !0 A

i

. С£/г

,

о

го /

ч

«=»

Chf

A’a nJ e W

где «„ — положительные корни

уравнения

У1 (а) = 0.

СО

Р ^ ch ^

г

П .

и ( г , г) = ^

у

____ 1____

X

V

" , a «v i («„)

«„shg/z + P V h g f tj

Я= 1

I A

J

где а„ —корни уравнения

7о (а) = 0.