cos ах и sin ах, соответственно в его левой и правоѵ частях. Отсюда следует, что коэффициенты А и В дол
жны удовлетворять системе |
уравнений |
|
|
|
A (q — со2 ) + |
Bp® = |
а, |
|
|
|
|
В (q — ш ) — Ара |
= |
Ь. |
I |
|
( 6 0 ) |
|
2\ |
|
|
U |
|
Система уравнений (60) не будет |
иметь |
решения |
только в том случае, когда |
q — а2 |
= |
0 |
и р = |
0. Значит, |
если уравнение |
(II) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
+ со2 //= a cos сох + |
b sin |
ах, |
(II*) |
то частное егс |
решение |
и в |
форме |
и — A cos ах -4- |
-f-ßsincux найти нельзя. Покажем, что для такого урав
нения частное решение можно взять в виде |
|
|
|
|
|
|
|
и = |
z x (A cos ах |
-}- В sin ах) |
= |
хѵ. |
|
|
(61) |
В самом деле, из |
(61) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и' = |
хѵ'-т-ѵ, |
|
|
и" = |
хѵ" |
+ |
2и', |
|
|
|
и |
замена |
в |
уравнении |
(II*) |
у |
функцией |
и |
приводит |
к |
равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хѵ" |
+ |
2vf |
+ |
И 2 Х У = |
a |
cos |
ах |
+ |
b sin |
ах |
|
|
или, |
согласно |
формулам |
(59), |
|
|
|
|
|
|
|
— а2х |
(A cos ах |
+ |
В sin соде) + |
|
2(— Лео sin сох + |
Б© cos сох) 4- |
т. |
е. |
+ |
|
со2х (A cos |
CÛV. Ц- В sin сох) = |
a cos |
сох + |
b sin сох, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2Aa |
sin |
ax |
- j - 2ßco cos |
ах |
= |
a cos оме + |
b sin to.*. |
Это равенство |
будет тождеством при условии |
|
|
|
|
|
|
|
— 2Аа = Ь |
|
и |
2_?со = |
а. |
|
|
и — |
|
Значит, |
|
решение |
уравнения |
(II*) |
в |
форме |
= |
х(А cos сох + |
В sin сох) |
|
действительно |
может |
быть |
найдено: коэффициенты А и В такого решения опре деляются формулами
*) Предполагается, что ш =5^ 0. Если со — 0, то уравнение (II*) сводится к уравнению у" — а, которое не имеет уже интересующей
нас правой части ^и интегрируется непосредственно: у' = ах -f- Cl t
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
18. |
Найти |
общее решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у"-5у' |
+ 6у = |
16 cos 2 * + 28 sin 2*. |
|
|
|
(63) |
|
Р е ш е н и е . |
|
Общее |
решение |
Г/ уравнения |
у" — 5(/' + |
6(/ = |
0 |
имеет |
вид: у = |
С\в2* + |
С2е3х. |
|
В |
данном |
примере |
р = |
—5, |
q — |
6, |
со = |
2, |
о — ы2 = |
2. |
Таким |
образом, |
коэффициенты |
/1 |
и |
В |
частного |
решения |
и = A cos 2х + |
ß |
sin 2х |
уравнения |
(63J |
определятся |
из |
системы |
уравнений |
вида |
(60) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2А - |
|
WB--' = 16, |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2В+ |
|
WA,-= |
28. J |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая |
эту систему, |
находим: А = |
3, |
В = |
— 1 . |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
и = |
3 cos 2А: — sin |
2х, |
|
|
|
|
|
|
|
|
и общее |
решение данного уравнения |
(63) |
будет такое: |
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
у + |
и = |
Сге2х |
+ |
С2е3х |
+ |
3 cos 2х — sin 2х. |
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
19. |
Найти |
общее решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у" + |
4у = |
6 cos 2х + |
8 sin 2х. |
|
|
|
|
|
|
|
у = |
Р е ш е н и е . |
|
Интегрируя |
|
уравнение |
і/" + |
4// = |
0, |
|
находим |
С] cos 2х + С2 |
sin 2х. В |
данном |
уравнении |
со = |
2, |
/7 = |
0, я = |
4, |
о — и 2 |
= |
0, а = |
6, |
6 = |
8. |
Согласно |
формулам |
(62) |
коэффициенты |
А а |
В |
|
частного |
решения |
и = |
х(А cos 2* + ß |
sin 2л:) |
будут |
равны |
|
|
|
|
|
л |
4 — |
|
д л — 4 |
— 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, общее решение данного уравнения будет такое}
у = Сі cos 2х + С 2 |
sin 2х + х^—2 |
cos 2x + |
-|- sin |
2л:j |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
( d — 2л:) cos 2х + |
( с 2 |
+ |
-j л : ) sin 2л:. |
|
|
П Р И М Е Р |
20. |
Найти |
частное решение |
уравнения |
|
|
|
|
t/" + 9у = 12 sin Злг, |
|
|
|
удовлетворяющее следующим начальным |
условиям |
|
|
|
|
|
»(т)—т* |
' ( т Н |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Находим |
общее решение |
уравнения г/" + 9у = |
0: |
5 = Ci cos Зх + |
С 2 |
sin Злг. В |
данном |
уравнении а = |
0, b = |
12, ш = |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
— 2, В |
= |
Следовательно, |
согласно формулам |
(62) |
|
л = |
g- = |
=-65- = 0; таким образом, частное решение данного уравнения по-:
лучаем в виде
и = — 2х cos Зх,
а общее решение исходного уравнения |
будет |
у = d cos Зл; + С 2 sin 3.« — 2х cos З.ѵ = |
{С, — 2х) cos Зх + С 2 sin З.ѵ. |
Отсюда |
|
у' = — 3 (С, — 2х) sin Зл: — 2 cos Зх + ЗС2 cos Зх.
Используя начальные условия, получаем
что дает: Ci = |
я, С2 = |
С; искомое частное решение имеет вид |
|
|
у — (л — 2х) cos Злг. |
|
ПРИМЕР 2 1 . |
Обратимся к рассмотренной ранее на |
стр. 399—401 задаче о |
колебании около |
положения |
равновесия |
груза |
массы |
т, подвешенного |
к пружине, |
неподвижно закрепленной одним концом. Решая эту
задачу, |
мы |
нашли, |
что |
движение |
груза |
определяется |
дифференциальным |
уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
d2s |
\-k-^- + ls = |
f(i), |
|
|
|
|
|
m dt2 |
|
где |
через |
t |
обозначено |
время, |
через |
s — отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ds |
груза |
от |
положения |
равновесия; |
здесь |
— к - ^ - — со |
противление |
среды |
(направление |
этой силы противопо- |
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
ложно скорости -J7- движения, вследствие чего выра |
жение |
k-^jj- |
берется со |
знаком |
минус), — Is — восста |
навливающая сила пружины (направленная противопо
ложно движению) и / ( / ) — внешняя |
сила, |
действующая |
на груз во время его движения. |
|
|
Представим |
себе, что колебание |
груза |
происходит |
в среде со столь |
малым сопротивлением, которым прак |
тически можно пренебречь. Пусть, далее, восстанавли вающая сила пружины равна —to2/ns и внешняя сила действует по закону f(t) = bsin<ùt. При этих условиях движение груза будет определяться уравнением
или
(64)'
Общее решение этого уравнения имеет вид
|
s = С[ cos ©/ + С2 sin © / |
— |
c o s |
at |
|
|
(65) |
(см. решение предыдущего |
примера). Здесь |
|
|
|
|
|
Ci cos©/-|-C2 sin©/ — s |
|
|
|
(66) |
есть общее решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ L + |
©2s = |
О |
|
|
|
|
(67) |
и |
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
—и |
|
|
|
|
|
|
|
|
2та> /cos |
|
|
|
|
|
— частное решение уравнения |
(64). Постоянные |
Ci |
и С2 |
определяются по |
начальным |
условиям. |
|
|
|
|
Решение s = |
Ci cos at + |
C2 |
sin at |
однородного |
урав |
нения (67) определяет так называемые собственные |
ко |
лебания |
системы, |
т. е. колебания, |
какие имел |
бы |
|
груз, |
если бы на него не действовала |
внешняя |
сила. |
Реше |
ние s |
выражается |
через периодические функции |
sin©/ |
и cos©/. Поэтому через одинаковые промежутки вре
|
мени |
s |
принимает |
одни и |
те |
же |
значения. |
Пусть |
|
ТФО |
— наименьший |
из |
таких |
промежутков |
времени; |
|
таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin©(/ + |
Т) = sin(ш/ + |
аТ) = |
sin©/ и cos(©/+©7") = |
cos©/. |
|
С другой |
стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(©/ + 2л) = sin©/ |
и |
|
cos (©/ + |
2л) = |
cos ©/. |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©Г = 2я, |
Т = |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
со |
|
|
, |
- |
„ |
|
и, значит, |
величина |
является периодом |
|
- ^ - |
функции |
|
sin ©Г и cos |
аТ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенства аТ — 2л мы видим, что чем больше ю, |
|
тем меньше |
Т, т. е. тем |
чаще |
повторяются |
одинаковые |
значения функций sin©/ и cos©/, а, следовательно, и значения s. Поэтому величину © называют частотой собственного колебания системы (в данном случае — груза).
Так как s через каждый промежуток времени Т при нимает одинаковые значения, то, значит, при отсутствии сопротивления среды и внешней (или, иначе, возмущаю-
