Файл: Рабинович, Е. З. Гидравлика учебник.pdf

Расход жидкости", подсчитанный по средней скорости, может быть представлен объемом цилиндра с площадью основания F и высотой кср (рис. 51, а). Если же расход определяется по действи­ тельным скоростям, закон распределения которых в поперечном сечении потока задан некоторой кривой, например параболой, то величина его определяется объемом соответствующего парабо­ лоида вращения с той же площадью основания F, как это и показано на рис. 51, б. Очевидно, что (так как независимо от методов под­ счета расход должен быть одним и тем же) объемы цилиндра и пара­ болоида, определяющие этот расход, должны быть равными между собой.

Если движение жидкости установившееся и одновременно с этим размеры и форма сечений вдоль потока не изменяются и, следова­ тельно, средние скорости во всех поперечных сечениях потока оди­

состоит поток жидкости, весьма незначительна и очень мал также угол расхождения между осями отдельных струек; поэтому попереч­ ные сечения потока можно рассматривать как плоские сечения, нор­ мальные к оси потока (это и было принято нами ранее). Распределе­ ние давлений по сечению при медленно изменяющемся движении подчиняется закону гидростатики. Этому понятию часто соответ­ ствует, например, движение в естественных руслах, когда живое сечение изменяется непрерывно, но достаточно плавно вдоль потока.

Наконец, следует иметь в виду, что в зависимости от метода исследования потоков жидкости различают движения: одномерное, двумерное и трехмерное

Если при исследовании потока исходить из упрощенной струй­ чатой схемы движения и пользоваться понятием средней скорости, то для его описания достаточно проследить за изменением скорости, давления и других величин в зависимости только от одной пере­ менной — расстояния рассматриваемого поперечного сечения от

1 Иногда их называют также одноразмерным, двуразмерным и трехразмер­ ным.

некоторого начального сечения потока. Подобное движение назы­

Если же полностью учитывается изменение скоростей, давлений и т. д. по двум или трем координатным осям, движение соответственно называется д в у м е р н ы м , или п л о с к и м , и т р е х м е р н ы м ,

Выделим сечениями 1—1 и 2—2 (рис. 52) некоторый отсек эле­ ментарной струйки. В этот отсек в единицу времени через сечение 1—1 втекает объем жидкости, равный

?! = v\ЛЛ,

а через сечение 2—2 из него же вытекает объем, равный

? 2 = ^2

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно об­

Подобные соотношения можно составить для любых двух сече­ ний струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Переходя к потоку в целом и используя понятие средней скорости, получим путем аналогичных рассуждений уравнение неразрывности

6 8

Из уравнения (3.9) следует, что

^lcp Е2

(3.10)

у2 ср F1

т. е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрыв­ ности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

§ 24. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравне­ ние Бернулли, устанавливающее зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки. При

выводе этого уравнения также ограничимся случаем установивше­ гося медленно изменяющегося движения.

Выделим в пространственной элементарной струйке объем, огра­ ниченный в некоторый момент времени Т сечениями 1—1 и 2—2, нормальными к оси струйки О f i 2 (рис. 53). Первоначально будем считать жидкость идеальной, т. е. лишенной вязкости. Силы внут­ реннего трения в такой жидкости отсутствуют, и к выделенному объему струйки приложены только силы тяжести и силы гидродина­ мического давления. Пусть за некоторый малый промежуток вре­ мени АТ указанный объем переместится в положение Г —Г , 2'—2'. Применим к его движению теорему кинетической энергии (называ­ емую также теоремой живых сил), согласно которой приращение кинетической энергии (живой силы) движущейся системы материаль­ ных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему. Эта теорема может быть выражена следующим уравнением:

69

где AW — приращение кинетической энергии; 2Л — сумма работ действующих сил (напомним, что выражение для кинетической

А — PAS; в этих выражениях т — масса, v — скорость материаль­ ной точки, Р — равнодействующая сил, приложенных к точке; Д5 — проекция элементарного перемещения точки на направление силы).

В рассматриваемом случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т. е. как разность кинети­ ческой энергии объема Vl'.2' и объема V ,_2. Замечая, что объем Vх>_2 входит как составная часть в выражения для объемов F j_ 2

иV w .

Fi_ 2 = v !_]/ + Vi'-a,

F1 /_2 ' = F 1 ' _ 2 + F2 - 2 ',

и имея в виду, что кинетическая энергия объема Fj' _ 2 при устано­ вившемся движении жидкости одинакова как в момент времени Т, так и в момент Т + Д71, приходим к выводу, что искомое прираще­ ние кинетической энергии в конечном счете определится разностью кинетической энергии объемов V2_2> и Vi-i'- Названные объемы являются результатом перемещения за время АТ торцевых сечений

ветствующие перемещения будут равны v^AT и v2AT, а рассматри­

Но по условию неразрывности расход во всех сечениях элемен­

m — pqAT.

Таким образом, выражение для приращения кинетической энер­

Перейдем теперь к определению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа силы тяжести равна про­ изведению этой силы на путь, пройденный точкой ее приложения, т. е. центром массы (тяжести) движущегося объема жидкости по вертикали. Рассматривая, как и ранее, выделенный объем струйки

70

в двух его положениях состоящим из объема V {>_2 и равных между

AT= mgzx —mgz2,

где Zj и z2 — расстояния по вертикали от произвольной горизон­ тальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов и V2_2- (или, иначе, вертикальные координаты центров масс этих объемов).

Силы давления, действующие на объем жидкости, складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые попе­ речные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы во все время движения нормальны к пере­

за время АТ (работа сил давления на торец 2 отрицательна, так как направление силы p 2AF2 противоположно перемещению AS2).

Подставляя найденные выражения для работ сил и для прира­ щения кинетической энергии в уравнение (3.11), получим

к единице массы протекающей жидкости, и перегруппируем члены. В результате будем иметь

* * + f - + 4 = « * ‘ + f - + 4 - (ЗЛ2)

Учитывая, что сечения 1—1 и 2—2 были взяты нами совершенно произвольно, это уравнение оказывается возможным распространить на всю струйку, применив его для любых поперечных сечений, взя­ тых по ее длине, и представить в следующем более общем виде:

71