ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 2
§27. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Впредыдущем параграфе было получено уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости. Между тем при реше нии различных практических вопросов о движении жидкостей при ходится иметь дело с потоками конечных размеров. Уравнение Бер нулли в этом случае может быть получено, исходя из рассмотрения потока гак совокупности множества элементарных струек.
Будем исходить из уравнения (3.18). Умножив все члены этого уравнения на pq (массовый расход жидкости), получим
ря \ + ря ( ё ч + ~ | г ) + ряэ\-г = Р9 - f ~+pq {ё ч + ■— ) .
Подобные выражения можно составить для всех отдельных струек. Просуммировав их, будем иметь
2Р?-f-+2PSi&a+-f~)+2pq9l~2=
=2p?Jl~+2p9(gZi+'pL) •
Рассмотрим каждый ив членов этого уравнения в отдельности. Выражения
представляют, очевидно, значения кинетической энергии (живой силы) массы жидкости, протекающей в единицу времени через по перечные сечения потока 1—1 и 2—2.
Для практических целей оказывается удобным эти выражения
заменить через кинетическую |
энергию потока, подсчитываемую |
|
по средней для всего потока скорости |
пср, т. е. представить в виде |
|
у2 |
и |
|
p Q - f - |
|
|
Однако |
|
|
2 9у 2 ф Y |
Qvh- |
|
Объясняется это тем, что величина hqv2представляет собой ариф метическую сумму произведений расходов отдельных элементарных струек (q) на квадраты их действительных скоростей (п2), в то время как Qv%р есть произведение суммарного расхода потока (Q = 2 q) на квадрат средней скорости потока (Нср), представляющей среднее
арифметическое из величин v в первой степени ( vcp= —^ — , где п —
число струек / .
Поэтому, чтобы произведенная замена не внесла изменений в ве
личину кинетической энергии потока, |
в выражение |
необ |
ходимо ввести некоторый поправочный |
коэффициент, |
называемый |
к о э ф ф и ц и е н т о м К о р и о л и с а |
и обозначаемый через а. |
|
Таким образом, коэффициент Кориолиса представляет собой отно шение действительной кинетической энергии жидкости, протека ющей через поперечное сечение потока в единицу времени, к кинети ческой энергии, которая имела бы место при том же расходе, если бы все частицы жидкости обладали одинаковыми скоростями, рав ными средней скорости, т. е.
Уqv2
С учетом того, что q = vAF и Q = vcpF, последнее выражение |
|
можно представить также и в виде |
|
г, — |
У и*AF |
_____ |
|
Обычно коэффициент Кориолиса определяется опытным путем.
Он зависит от |
степени |
неравномерности |
распределения |
скоростей |
в поперечном |
сечении |
потока и всегда |
больше единицы; |
для так |
называемого ламинарного режима (см. стр. 115) в цилиндрической трубе а = 2 , а для так называемого турбулентного режима а = = 1,045-ИДО.
Рассмотрим теперь выражение второго члена уравнения (3.21), представляющего собой потенциальную энергию потока.
При медленно изменяющемся движении, которое главным обра зом и рассматривается в гидравлике, распределение давлений в живых сечениях потока подчиняется основному закону гидроста тики (см. § 22, стр. 67).
Поэтому можно принять, что величина gz-fp /p во всех точках сечения такого потока будет одинакова, и, следовательно,
2p^2+i) =p(gz+i)29=p<?(^+i)-
Третий член уравнения (3.21) выражающий сумму работ сил со противления, можно представить (подразумевая под э ^ 2 осредненное значение потерь удельной энергии) в виде
2 Р 9 3 1-2 = Р @ Э1-2-
Подставляя полученные выражения в уравнение (3.21), будем иметь
РQ |
+ р<? (gz2+ -J-') + р(tei-a = р<? |
+ р<? (gZi + -^ -) |
78
или после сокращения на рQ и перегруппировки слагаемых
Sz |
1 |
+ |
S4 + |
£l |
(3.22) |
|
Р |
|
Это и есть уравнение Бернулли для потока реальной жидкости. При практических расчетах коэффициентом а часто пренебре гают и считают его равным единице, тем самым полагая, что все струйки как бы движутся с одной и той же средней скоростью, что и будет приниматься нами везде, за исключением отдельных, особо оговариваемых, случаев. В дальнейшем мы будем также опускать индексы «ср» при vcp, подразумевая везде, что речь идет о средних значениях этой величины. Тогда форма записи уравнения Бернулли для целого потока становится идентичной его записи для элемен
тарной струйки
(3.23)
или
(3.24)
В таком виде уравнение Бернулли обычно и применяется при решении практических задач для потоков однородной несжимаемой капельной жидкости при установившемся движении, происходящем под действием одной силы тяжести.
Ввиду особой важности этого уравнения подчеркнем, что оно составляется для различных живых сечений потока, вблизи которых движение жидкости должно удовлетворять условиям медленно изменяющегося движения, хотя на пути между этими сечениями движение может и не удовлетворять указанным условиям.
Как уже отмечалось, член h ^ 2 в уравнении (3.24) учитывает потери напора на преодоление сопротивлений движению жидкости. При этом в гидравлике различают два основных вида сопротивлений:
с о п р о т и в л е н и я , |
проявляющиеся |
п о в с е й д л и н е |
п о т о к а , обусловленные |
силами трения |
частиц жидкости друг |
о друга и о стенки, ограничивающие поток; соответствующие им
потери напора (линейные потери) будем |
обозначать через hn п; |
м е с т н ы е с о п р о т и в л е н и я , |
обусловленные различ |
ного рода препятствиями, устанавливаемыми в потоке (задвижка, кран, колено), приводящими к изменениям величины или направления
скорости течения |
жидкости; |
соответствующие |
им |
потери напора |
|
(местные потери) будем обозначать через hMп. |
между двумя сече |
||||
Поэтому п о л н а ц по. т е р я |
н а п о р а |
||||
ниями потока при |
наличии |
сопротивлений обоих |
видов будет |
||
|
^1 - 2 |
— ^л. п + |
^; |
|
(3.25) |
Определение потерь напора при движении реальных жидкостей является одной из основных задач практической гидравлики.
79
§ 28. ГРАФИК УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
График уравнения Бернулли для потока реальной жидкости может быть построен на основании изложенного в § 26, с учетом
паличия дополнительного члена |
в правой части этого уравнения. |
|||
В качестве примера |
рассмотрим |
построение такого |
графика |
|
для случая истечения жидкости из |
сосуда с постоянным |
уровнем |
||
по горизонтальной трубе |
переменного |
сечения *. Посмотрим, какой |
||
.вид имел бы этот график в случае идеальной жидкости. В этом слу чае полный напор по всей длине трубы сохраняет постоянное зна чение и напорная линия изображается горизонтальной прямой аа
(рис. 57).
Пусть известная по условиям истечения средняя скорость жид кости в начальном сечении трубы 1—1 равна vp, вычислим скорост ной напор v\/2g и, отложив в масштабе графика его величину от напорной линии (отрезок ab), получим величину пьезометриче ского напора в этом сечении pjpg. При постоянном диаметре на участке трубы между сечениями 1—1 — 2—2 величина v12/2g, а сле довательно, и p/pg сохраняют постоянное значение, чему на чертеже будет соответствовать участок пьезометрической линии в виде отрезка горизонтальной прямой Ъс. В сечении 2—2 в связи с резким уве личением диаметра трубы скорость резко уменьшается, а давление, как это следует из уравнения Бернулли
Pi |
| |
V1 _ |
Р2 | у\ |
Р? |
' |
2g |
pg "r 2g ’ |
1 Ввиду того что труба горизонтальна, геометрический напор г для всех сечений одинаков и поэтому не принимается во внимание. Рассуждая иначе,
,мы можем принять в этом случае за плоскость сравнения горизонтальную пло скость, проходящую через ось трубы; в таком случае по всей длине трубы z = 0.
80