Файл: Рабинович, Е. З. Гидравлика учебник.pdf

где 0 — угол , определяемый из вы раж ения

я

а 0,611,

я + 2

весьма хорошо согласующаяся с опытными данными.

При истечении через большие отверстия в стенках значительной толщины коэффициенты расхода получают более высокие значения, чем приведенные в табл. 40 для истечения через отверстия с острой кромкой. Так, при расчете больших отверстий гидротехнических сооружений (например, отверстий шлюзов и плотин) Н. Н. Павлов­ ским рекомендуются следующие значения коэффициента расхода, приведенные в табл. 41.

§ 59. ИСТЕЧЕНИЕ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ

Задача об истечении жидкости при переменном напоре обычно сводится к определению времени опорожнения или наполнения всего или некоторой части сосуда в зависимости от начального наполнения, формы и размеров сосуда и отверстия. Задачи подобного рода встре­ чаются при расчетах наполнения и опорожнения резервуаров, цистерн, водохранилищ, бассейнов, шлюзовых камер и т. п.

Необходимо иметь в виду, что в отличие от рассмотренных ранее задач во всех указанных случаях вследствие непрерывного измене­ ния напора, а следовательно, и непрерывного изменения скоростей и давлений всегда имеет место неустановившееся движение жидкости, что делает неприменимым обычное уравнение Бернулли. По­ этому при решении таких задач разделяют полное время истечения на бесконечно малые промежутки, в течение каждого из которых напор считают постоянным, а движение жидкости независимым от времени, т. е. установившимся. Это позволяет использовать для

192

решения полученные выше зависимости и весьма просто приводит к достаточно точным результатам.

Рассмотрим в качестве простейшего случай истечения в атмосферу через донное отверстие площадью / из открытого вертикального цилиндрического сосуда одинакового по всей высоте поперечного

в сосуде опустится на величину dHи объем жидкости в нем изменится на

Меняя пределы интегрирования в правой части, принимая до­ пущение ц = const и вынося постоянные за знак интеграла, будем иметь

*Знак минус здесь взят потому, что с течением времени Я уменьшается

иследовательно, dH будет отрицательно.

что после интегрирования приведет к следующему окончательному выражению:

гр___ 2F У н н

(5.22)

р/ V 2g‘

Попутно отметим, что при сохранении постоянного уровня в со­ суде тот же объем жидкости пройдет через отверстие за время Т' вдвое меньшее Т. На самом деле, так как полный объем жидкости в со­ суде V = FHH, а секундный расход при # н = const

(> = р / ]/2gIIu,

то, очевидно,

v f V h ^

(5.23)

Q nf VIg ’

и следовательно,

T = 2Tl.

Формула (5.22) применима, очевидно, также и к случаю истече­ ния из отверстия в боковой стенке сосуда; в этом случае напор Нв отсчитывается от центра тяжести отверстия.

Если нужно определить время, необходимое не для полного опо­ рожнения сосуда, а для понижения уровня жидкости в нем на не­ которую величину от Н г до # 2, исходят из того же уравнения (5.21), интегрируя его в пределах от Н х до # 2. При этом

так как в исходном уравнении (5.21) F представляет собой уже не постоянную, а переменную величину. В этом случае необходимо знать закон F = ср (Я) изменения поперечного сечения сосуда в зависимости от величины Н; уравнение (5.21) приводится при этом к виду

Ф (Я) dH

(5,25)

и/УШ '

194

В простейших случаях для сосудов геометрически правильной формы (шар, горизонтальный цилиндр) интегрирование уравнения (5.25) выполняется без особых затруднений. Если же сосуд имеет неправильную форму, интегрирование производится числовыми или графическими методами.

В качестве примера задачи на опорожнение сосудов переменного по высоте сечения определим время опорожнения железнодорожной цистерны (рис142), имеющей сливное отверстие А сечением/. Приняв указанное на рисунке распо­ ложение координатных осей, получим

р/ V2gz

Врассматриваемом случае площадь поперечного сечения сосуда F пред­ ставляет собой горизонтальную площадь свободной поверхности жидкости,

находящейся в цистерне, соответствующую некоторому уровню z и равную

F — 2Lx,

где L — длина (цистерны), которую мы будем полагать постоянной, а величина % является переменной величиной, зависящей от ординаты z — уровня жидкости в цистерне.

Установим эту зависимость.

Вертикальное поперечное сечение цистерны представляет собой окружность; ее уравнение, отнесенное к началу координат, будет

Ж2+ (z — т-)2 = т-2 ;

отсюда

X— Ylrz — z2,

и, следовательно,

F = 2 L У 2rz — z2.

Подставив полученное значение F в уравнение (5.25')> найдем

J r r — 2 L У 2 r z — z2 d z

Вынесем далее постоянные за знак интеграла, переменим пределы

о_______

зований в результате интегрирования получим следующее окончательное выра­

195

§60. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ ЗАТОПЛЕННОГО ОТВЕРСТИЯ

Внекоторых случаях на практике приходится иметь дело с исте­ чением жидкости не в газообразную среду, как это рассматривалось выше, а в жидкость, уровень которой расположен также выше отвер­

стия; при этом отверстие может быть расположено как в дне, так и в боковой стенке сосуда. Такой случай истечения жидкости носит название истечения под уровень, или из затопленного отверстия, и встречается, например, при спуске воды через щитовые окна и при­ донные отверстия в воротах шлюзов.

Предположим (рис. 143), имеется открытый сосуд, разделенный перегородкой на два отделения А и В, причем уровни жидкости в этих отделениях различны; пусть в перегородке сделано отверстие С, через которое жидкость из отделения А с более

-___

ни и площадь сечения отверстия / мала по сра­ г г внению с площадью сечения самого сосуда. Тогда для определения скорости истечения можно вос­ пользоваться установленными ранее зависимо­ стями. При этом ввиду того, что в данном случае

истечение происходит в среду с давлением, отличным от атмосфер­ ного давления на свободной поверхности, для определения теорети­ ческой скорости истечения следует применить формулу (5.2)

„ , = / 2 , ( * , + - £ - а . ) ,

где Hi — глубина погружения центра тяжести отверстия под сво­ бодной поверхностью жидкости в той части сосуда, из которой про­ исходит истечение; р t — давление на свободной поверхности жид­ кости, равное здесь атмосферному давлению; р 2 — давление в центре тяжести отверстия со стороны жидкости, в которую происходит истечение; р — плотность жидкости.

Так как по условию задачи (сосуд открыт) р у = ратм, а по основ­ ному уравнению гидростатики

Р2 Ратм 4“

(здесь Н 2 есть глубина погружения центра тяжести отверстия под свободной поверхностью жидкости в той части сосуда, куда проис­ ходит истечение), то исходная формула принимает вид

где

д Н = Н 1- Н 2.

196

Таким образом, при истечении жидкости из затопленного отвер­ стия скорость истечения не зависит от глубины погружения отвер­ стия под свободной поверхностью, а определяется по разности двух уровней жидкости.

Опыты показывают, что коэффициент расхода при истечении из затопленного отверстия получается несколько меньшим, чем при истечении в атмосферу. Однако разница оказывается настолько незначительной, что при расчетах ею обычно пренебрегают и при­ нимают те же значения коэффициента расхода, что и для незатопленных отверстий.

Если истечение жидкости из затопленного отверстия происхо­ дит при переменном уровне, время, необходимое для полного

где F i и Fz — площади поперечных сечений сосудов, а АН = Н i —

— Н2 —■разность уровней жидкости в них в начальный момент вре­ мени.

Время, необходимое для изменения разности уровней от АН до (АН)', определяется по уравнению

р/ V ‘2g

В частном случае, когда F { есть величина весьма большая (напри­ мер, наполнение сосуда происходит из большого водоема),

\blV2g

§ 61. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ НАСАДКОВ

Выше были рассмотрены различные случаи истечения жидкости из отверстия в тонкой стенке. При значительной толщине стенки характер явлений, наблюдаемых при истечении, существенно изме­ няется вследствие направляющего влияния, оказываемого на струю толстой стенкой. Те же самые явления будут наблюдаться и при истечении из отверстия в тонкой стенке, снабженной короткой труб­ кой того же диаметра, что и отверстие, и имеющей длину, равную толщине стенки в первом случае. Такие трубки называются насад­ ками и имеют весьма широкое применение на практике.

197