Файл: Рабинович, Е. З. Гидравлика учебник.pdf

тельстве независимости гидростатического давления в точке от на­ правления давления. Очевидно, что если бы при выводе выражения ^2.3) мы рассматривали вертикальную призму и в качестве объем­ ных сил учитывали только силу тяжести (для этого следует положить Q — —pg), то вместо (2.3) получили бы (2.4).

Применяя такие же рассуждения к призме с горизонтальной осью, мы получим для суммы проекций всех сил на эту ось выра­ жение

р3 AF = Pi Д/\

т. е.

Рз = Pi,

где р3 и pt — давления на торцевые площадки призмы.

Таким образом, в случае покоящейся тяжелой жидкости давле­ ние во всех точках одной и той же горизонтальной плоскости будет одинаковым, и, следовательно, в формулах (2.4) и (2.4') значения р совпадают по величине с истинным давлением.

Также в силу этого величина гидростатического давления пол­ ностью определяется глубиной погружения рассматриваемой точки под свободной поверхностью жидкости или под поверхностью с из­ вестным на ней давлением, или, говоря иначе, изменяется в зави­ симости только от вертикальной координаты точки.

Особенно простым получается выражение для манометрического

путем следующих рассуждений. Выделим в жидкости призму таким образом, чтобы ее ось совпадала с направлением названной равнодействующей. Приращение давления при переходе на расстоя­ ние L вдоль оси призмы от точки А с давлением р 0 к точке В с давле­ нием Pi можно определить по формуле, полученной аналогично вы­ воду выражения (2.3), проектируя все приложенные к призме еилы

29

Если же призма выделена так, что ее ось нормальна к направле­ нию равнодействующей объемных сил, то при переходе от одной точки к другой вдоль этой оси давление не будет меняться, поскольку в этом случае Q = 0. Таким образом, поверхности, расположенные нор­ мально к направлению равнодей­ ствующей объемных сил, будут поверхностями равного давления.

В случае, когда объемные силы представлены только силами тя­ жести, поверхности уровня бу­ дут, очевидно, горизонтальными. Частным случаем таких поверх­ ностей является открытая поверх­

ность жидкости, на которой давление равно атмосферному (так на­ зываемая свободная поверхность).

Изложенное свойство поверхностей равного давления позволяет легко решать задачи по определению форм поверхностей жидкости в случае так называемого относительного покоя, т. е. покоя жидко­ сти относительно включающего ее сосуда, в то время как сам сосуд находится в движении. Из теорети­ ческой механики известно, что в этом случае при составлении уравнений равновесия относительно системы координат, движущейся вместе с те­ лом, к силам тяжести (весу) частиц тела должны быть добавлены силы инерции.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

В первом примере определим по­ верхности уровня в жидкости, на­ ходящейся в цистерне, движущейся по горизонтальному пути с постоян ным ускорением а (рис. 8). К каждой частице жидкости массы т должны быть в этом случае приложены ее сила тяжести (вес) G = mg и сила

инерции Ри, равная по величине та. Равнодействующая этих сил

R = Y (mg)2+ (та)2

направлена к вертикали под углом а, тангенс которого равен

tga = а g

Так как свободная поверхность ЪЪ как поверхность равного давления должна быть нормальна к указанной равнодействующей,

30

то она в данном случае представляет собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол а с горизонтом.

Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклонен­ ной к горизонту под углом а. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное и наклон свободной поверхности обра-. тился бы в другую сторону (см. рис. 8, пунктир).

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся на практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся

частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют

угловая скорость вращения сосуда. Поверхность жидкости также

где z — координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем

е_ dx

или

= х dx.

со2

Интегрирование последнего выражения приводит к зависимости

^ = +

т. е. к уравнению параболы.

§ 9. СООБЩАЮЩИЕСЯ СОСУДЫ

Предположим, (рис. 10), что имеются два сообщающихся сосуда А и В, заполненных различными жидкостями плотности pj и р2. Будем считать, что в общем случае сосуды закрыты и давления на свободных поверхностях жидкости в них соответственно равны

31

Гидростатическое давление в плоскости ab, в соответствии с урав­ нением (2.4), будет

P^Pi + PigK

где h2 — искомая глубина нагружения поверхности аЪ под уровнем жидкости в сосуде В. Отсюда получаем условие для определения величины h2

P i+P ighi= p2+p2gK

В частном случае, когда сосуды открыты (давления на свободных поверхностях равны атмосферному давлению) и, следовательно,

т. е. в сообщающихся сосудах при одинаковом давлении на свобод­ ных поверхностях высоты жидкостей, отсчитываемые от поверхности раздела, обратно пропорциональны плотностям жидкостей.

На принципе сообщающихся сосудов основано устройство весьма простого прибора для определения плотности жидкости, изображен­ ного на рис 11, состоящего из двух сообщающихся сосудов — верти­ кальных стеклянных трубок А и В, соединенных между собой изогну­ тым коленом С. Одна из вертикальных трубок заполняется исследу­ емой жидкостью, а другая — жидкостью известной плотности p t (например водой), причем в таких количествах, чтобы уровни жид­ костей в среднем колене С находились на одной и той же отметке прибора 0. Далее измеряют высоты стояния жидкостей в трубках над этой отметкой и h2 и, имея в виду, что эти высоты обратно

32

пропорциональны плотностям жидкостей (см. уравнение (2.5)), легко находят плотность исследуемой жидкости

в этих сосудах будут одинаковы. На этом основано устройство так называемых водомерных стекол А (рис. 12), применяемых для опре­ деления уровня жидкости h в закрытых сосудах, например резер­ вуарах, паровых котлах и т. д.

Принцип сообщающихся сосудов лежит, также в основе ряда других приборов, служащих для измерения давлений и имеющих весьма широкое применение на практике. Эти приборы рассматри­ ваются в следующем параграфе.

§ 10. ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ

Для измерения гидростатического давления применяются раз­ личные приборы, которые можно подразделить на две основные

измеряющий давление в жидкости высотой столба той же жидкости. Пьезометр пред­ ставляет собой стеклянную трубку неболь­ шого диаметра (обычно не менее 5 мм), от­ крытую с одного конца и вторым концом присоединяемую к сосуду, в котором изме­ ряется давление; схема пьезометра изобра­ жена на рис. 13.

Пусть давление р на поверхности жид­ кости в сосуде будет больше атмосферного. Тогда жидкость в трубке пьезометра под­ нимается выше уровня Дшдкости в сосуде на некоторую высоту hn. Гидростатическое дав­ ление в точке А жидкости, взятой у основа­ ния пьезометрической трубки на глубине h

от свободной поверхности жидкости в сосуде, определяется по ос­ новному уравнению гидростатики (2.4):

Р а = Ратм + Р£ {К + h)

и, следовательно,

hn 4 h = ■

пpg

Кроме того, имеем

P A = P + Pgh.