Файл: Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне.pdf

ской геометрией, когда Эйнштейн нашел собственно физический переход от условий, при которых про­ странство-время обладает эвклидовыми свойствами, к условиям, при которых оно обладает неэвклидовы­ ми свойствами. Это был переход от областей, где можно пренебречь гравитационными полями, к об­ ластям, в которых их необходимо учитывать.

Аналогичным образом дискретная геометрия ста­ новится физической геометрией, когда известны не только физические условия ее применимости, но также физический переход к условиям применимо­ сти континуальной геометрии.

В сущности, в общей теории относительности, описывающей, вообще говоря, переменные гравита­ ционные поля, нашла физическое воплощение гео­ метрия, если можно так выразиться, «переменной аксиоматизации», геометрия, в которой отступление от аксиомы параллельных становится переменным и измеримым параметром. Соответственно дискретное пространство-время на световом конусе, переходя­ щее в макроскопически непрерывное при скоростях,

идет о генезисе самого понятия га-мерности и самого понятия метрики, следовательно, не о математиче­ ских, а о метаматематических понятиях.

Речь идет о переходе от нульмерного простран­ ства к ненульмерному. Схема элементарных регене­ раций применима и к непротяженным частицам, и, собственно, нет оснований возвращаться к идее про-

202

тяЖёйного шарика, занимающего на этот раз про­ странственно-временную клетку. Достаточно предпо­ ложить, что непротяженная частица регенерирует на расстоянии р через интервал времени т. В этом слу­ чае пространство регенерирующих частиц — точеч­ ное пространство, т. е. нульмерное. Отсюда вытекает ряд выводов, относящихся к логическим и матема­ тическим проблемам теории относительности.

Процесс измерения пространства, в отличие от счета дискретных точек, придает смысл понятию не­ нулевой размерности. Измерение оперирует расстоя­

т. е. какое-либо мероопределение пространства. При неисчислимом множестве промежуточных точек та­ кая формула должна существовать, включая посто­ янные (как в специальной теории относительности) или переменные (как в общей теории относительно­ сти) параметры. Напомним, что уже Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геомет­ рии» различал абсолютную метрику дискретного и относительную метрику непрерывного многообра­ зия *.

Можно показать, что аксиоматизация теории от­ носительности должна исходить из инфинитезималь-1

1 См. «Об основаниях геометрии». Сб. классических ра­ бот. М„ 1956, стр. 323—324. Подробнее об этом — ниже,

стр. 261—269.

203

ных понятийО тсю да можно определить характер аксиоматизированной схемы перехода от ультрарелятивистской причинности на световом конусе к ре­ лятивистской причинности в непрерывном простран­ стве-времени. Речь идет о переходе от множества дискретных регенераций на световом конусе к мно­ жеству положений частицы, непрерывно движущей­ ся внутри светового конуса. Появление такого мно­ жества связано с понятиями измерения, метрики, инвариантности по отношению к непрерывным груп­ пам, т. е. с основными понятиями геометрии ненуль­ мерных пространств. Самый же переход аксиомати­ зируется с помощью понятий более общих, чем ис­ ходные понятия измерения несчетных множеств.

3

Мы попытаемся сейчас показать, каковы эти поня­ тия. Для этого отойдем от абстрактных связей меж­ ду математическими и логическими категориями и коснемся одной историко-научной проблемы.

Физика Аристотеля была прообразом качествен­ но-логических понятий. В X V II в. физика стала про­ образом количественно-математических категорий. В аристотелевой космологии движение и покой тела объяснялись его пребыванием в «естественном» месте или же в ином месте пространства. Движения (помимо «совершенных», круговых обращений) соот­ ветствовали граничным условиям, они происходили из чего-то во что-то, причем «что-то» определялось не какими-либо координатами, а чисто качествен-402*

1См. «Бесконечность и относительность», стр. 218—308

204

ным противопоставлением «естественных» и «неесте­ ственных» мест.

Переход от такой качественно-логической концеп­ ции движения к иной, содержавшей в зародыше клас­ сическое представление о неисчислимом множестве точек пребывания и скоростей в каждой точке, был высказан в удивительной по общности форме Кеп­ лером.

«Там, где Аристотель видит между двумя вещами прямую противоположность, лишенную посредствую­ щих звеньев, там я, философски рассматривая гео­ метрию, нахожу опосредствованную противополож­ ность, так что там, где у Аристотеля один термин: „иное“ , у нас два термина: „более" и „менее“ » *.

Кеплерова «опосредствованная противополож­ ность» может означать, что между каждыми «двумя вещами» (в концепции движения — между каждыми двумя значениями координат частицы) имеется бес­ численное множество «посредствующих звеньев» (промежуточных значений). Термины «больше» и «меньше» могут приобрести при этом метрический смысл: достаточно сопоставить бесконечное множе­ ство положений частицы числовому ряду. Но это сопоставление будет физически содержательным,

если известен закон движения, определяющий поло­ жение и скорость частицы от точки к точке и от мгновения к мгновению. Подобное дифференциаль­ ное представление движения содержалось по суще­ ству в динамике Галилея и достигло законченной формы в аналитической механике.

Таков исторический переход от чисто логической

'Л. К е р 1е г. Орега о т т а , Т. I. РгапкГшЧ, 1958,

р. 423.

205

Концепций движения к КоЛйчествённо-матёматичё- ской. В абстрактном виде этот переход оказывается переходом от конечного числа оценок логического суждения к бесконечному числу.

Концепция естественных мест была характерным примером суждений, допускавших применение логи­ ки с двумя оценками — «истинно» и «ложно», т. е. основанной на принципе исключенного третьего

бивалентной логики. Суждение «тело находится в его естественном месте» могло быть либо истинным, либо ложным. Но этого мало: в динамике Аристо­ теля такое суждение и его оценка полностью опре­ деляли движение. Бивалентная логика полностью сохраняет свои позиции и в классической концепции Галилея — Ньютона — Лагранжа. Но теперь движе­ ние определено, если оценки «истинно» и «ложно» относятся к п суждениям: «в момент Н частица на­ ходится в точке ач,» «в момент г2 частица находится в точке яг,»..., «в момент гп частица находится в точке х п » .

При этом на каждом конечном отрезке п = оо. Число оценок каждого из этих суждений остается тем же, логика по-прежнему бивалентная, но число суждений становится бесконечным и приобретает мощность континуума. Все эти суждения объедине­ ны тождеством субъекта (речь идет об одной и той

/

носительности Галилея — Ньютона в той же мере, как и к принципу относительности Эйнштейна. Раз­ личие между указанными принципами выражается в еще одной характеристике предикатного многооб­ разия помимо валентности и мощности. Возьмем са­ мый простой пример — движение частиц по коорди­

себе частица не может выйти за пределы светового конуса и ее себетождественность гарантируется пре­ дикатным многообразием, состоящим наряду с про­ странственными положениями из моментов времени. Предикатное многообразие теории относительности Эйнштейна — это не многообразие пространствен­ ных точек и моментов времени. Это многообразие четырехмерных пространственно-временных точек — мировых точек. Обобщая эти категории, мы прихо­ дим к понятию размерности предикатного многообра­ зия. Мировые линии, о которых говорит теория от­ носительности Эйнштейна, представляют собой в логическом аспекте четырехмерные бесконечно-би­

валентные предикатные многообразия.

Обратимся теперь к логическим основам кванто­ вой механики. Они освещены в многочисленных ра­ ботах 30—50-х годов *. Мы здесь ограничимся крат-1

307