Файл: Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне.pdf

каких-либо выделенных точек. Земля не может быть абсолютным телом отсчета для движущихся тел: в пространстве рассеяно бесконечное число других миров, и каждый из них с равным правом служит телом отсчета. Может ли «великая пустота» служить космологическим эквивалентом понятия бесконечно­ сти как результата бесконечного сложения конечных величин? Да, движущиеся атомы могут неограничен­ но увеличивать пути, пройденные ими от какой-либо начальной точки, и в этом смысле космология Демо­ крита является прообразом потенциальной бесконеч­ ности как результата сложения пройденных телом ко­ нечных отрезков. Заметим только, что во Вселенной Демокрита нет каких-либо естественных, привилеги­ рованных, абсолютных начальных точек и естествен­ ной меры конечных отрезков проходимого телом пу­ ти. Атом нигде не наталкивается на абсолютную гра­ ницу пространства, которая могла бы служить естест­ венным началом отсчета. Связь между бесконеч­ ностью пространства и относительностью движения совершенно прозрачная. Но у Демокрита не было физических эквивалентов бесконечности как резуль­ тата последовательного деления конечной величины на все меньшие части. Вещество состоит из далее неделимых атомов; что же касается бесконечной де­ лимости пространства, времени и движения, то здесь характерное для античной науки отсутствие строгих дефиниций не позволяет сказать о взглядах Демо­ крита что-либо вполне определенное. Вряд ли можно с полной достоверностью утверждать, что у Демокри­ та существовало представление о дискретном прост­ ранстве и времени. Быть может, оно появилось позд­ нее, например у Эпикура. Во всяком случае, ни в древней Греции, ни в эллинистический период непре­

224

рывность и бесконечная делимость пространства и времени не защищались представителями античной атомистики и, более тою, оспаривались, по крайней мере, некоторыми из них.

Здесь сказалась подвижность понятий, наивных и в то же время с гениальной глубиной улавливающих действительные соотношения реального мира,— то, что придает такую своеобразную прелесть и свежесть страницам античных работ, и то, что так радикально упорядочил, систематизировал и догматизировал всеиссушающий гений средневековой схоластики. Древ­ негреческая мысль смотрела на мир как бы в первый раз, без установившихся исходных понятий, без жест­ кой матрицы, определенным образом систематизи­ рующей эмпирический материал. В пределах одного направления, одной школы, в пределах творчества одного мыслителя и иногда в одной и той же фразе мы встречаем зачаточные формы концепций, кото­ рым предстоит развиться в определенные, застыв­ шие, противостоящие друг другу и исключающие друг друга научные системы.

В этом живом переплетении идей мы встречаем исторические прообразы наиболее радикальных тен­ денций современной физики. Античная атомистика уже увидела — разумеется, в той же неустановившейся, наивной и вместе с тем гениально глубокой форме — возможность локальных процессов, не зави­ сящих от «интегральных», общих, предсуществующих закономерностей.

Речь идет об уже известных нам идеях спонтан­ ных отклонений «исотахии» и движения, как резуль­ тата локальных исчезновений и появлений частицы. Нас здесь не должно интересовать, кому именно из античных атомистов принадлежали подобные идеи,

в какой форме и с какой степенью определенности они были высказаны. Эти крайне важные для исто­ рии науки вопросы не решают проблемы физи­ ческих прообразов бесконечности в античной ато­ мистике. При любом ответе на указанные вопросы остается несомненным, что античная атомистика, не допуская бесконечной делимости вещества, не посту­ лировала также, а может быть не допускала, беско­ нечной делимости пространства, времени и движения. Бесконечность не появлялась при делении конечной величины на части даже как потенциальная, посколь­ ку существовал предел такого деления. Вселенная Демокрита, Эпикура и Лукреция бесконечна только в одну сторону — в сторону увеличения масштабов, суммирования конечных величин. Этот односторон­ ний характер бесконечности заставляет нас взять в кавычки слово «интегральная» по отношению к об­ щей закономерности, управляющей «великой пусто­ той». По сравнению с бесконечной Вселенной конеч­ ные расстояния порядка размеров атомов могут рас­ сматриваться как точки, но все же исторически сло­ жившийся в X V II в. смысл слова «интегральный» требует, чтобы интегральная закономерность непре­ рывно действовала через дифференциальные законо­ мерности от одного бесконечно малого (в пределе — непротяженного) отрезка к другому. Поскольку в областях пространства и времени, в которых их мож­ но считать непрерывными, поведение атомов, предо­ ставленных самим себе, определяется общими свой­ ствами бесконечной Вселенной, речь идет об актуаль­ ной бесконечности. Поведение атомов определено не­ гативно, поэтому пространство Демокрита, Эпикура и Лукреция однородно, а положение и движение в этом пространстве относительно.

С течением времени практические задачи и все

226

большее число теоретических построений приводили к представлению о непрерывном движении на конеч­ ных расстояниях. Таким образом, в науку постепен­ но входило понятие бесконечности как результата деления.

Такое понятие было навеяно, в частности, задачей определения площади криволинейных фигур. Если площадь прямолинейной фигуры равна сумме конеч­ ного числа площадей элементарных квадратов, тре­ угольников и т. д „ то для определения площади кри­ волинейной фигуры приходится брать сумму беско­ нечно увеличивающегося числа бесконечно умень­ шающихся площадей.

Подобных задач было достаточно, чтобы античная мысль пришла к ряду понятий, логически вытекав­ ших из представления о бесконечном делении конеч­ ной величины, в частности к противоречивому в сво­ ей основе понятию законченного бесконечного деле­ ния — актуально бесконечного множества непротя­ женных элементарных величин, из которых состоит конечная протяженная величина.

Зенон воспользовался апориями — парадоксами, связанными с этим понятием, для отрицания субстан­ циальности движения. Но в историю науки вошли не столько метафизические выводы Зенона, сколько свя­ занные с апориями вопросы, противоречия и подхо­ ды к проблеме непрерывности движения.

Остановимся на пяти наиболее известных апориях Зенона: 1) меры, 2) дихотомии, 3) Ахиллеса и черепа­ хи, 4) стрелы и 5) стадиона.

Первая апория указывает на невозможность со­ ставить протяженную величину из непротяженных. Если элементы непротяженны, тогда и сумма этих элементов равна нулю. Если же элементы имеют не­

8* 227

нулевую протяженность, то сумма бесконечного мно­ жества таких элементов будет бесконечной.

Зенон рассматривает актуально бесконечное мно­ жество элементов. Он констатирует, что подобное представление приводит к противоречию, и приходит к выводу, что субстанция не может быть множествен­ ной. Нас интересует не этот вывод, ответ, решение, нас интересует здесь, как и во всей древнегреческой науке, поиск, вопрос, нерешенное противоречие. С' подобной точки зрения апория меры обращена в будущее, и для ее исторической оценки нужно взгля­ нуть, как решалась проблема меры континуума в те­ чение последующих веков и как она решается сей­ час. В этом очерке будут даны лишь некоторые от­ рывочные наброски эволюции подобных решений.

Вторая апория Зенона — апория дихотомии. Сло­ во это означает последовательное разделение вели­ чины на две равные части, затем каждой из них сно­ ва на две части и т. д. Речь идет о некотором кон­ кретном механизме деления протяженной величины. Пределом такого деления служит актуально беско­ нечное число частей.

Движущееся тело, прежде чем пройти весь свой путь, должно пройти половину пути, до этого 1/4, до этого '/в и т. д. Сумма ряда таких дробей никогда не будет равна единице, и, следовательно, сумма частей пути, пройденных телом, никогда не станет равной всему пути. В этой апории речь идет не столько о том, что движение тела к цели не может закончиться, сколько о том, что оно не может начаться. Мы ищем первую элементарную часть пути и не находим ее. Чтобы показать невозможность достижения цели, более естественно было бы искать последний элемент пути, т. е. излагать апорию так: тело проходит сна­

228

чала половину оставшегося пути, потом четверть его и т. д. В этом случае мы не нашли бы последнего элемента пути.

Недостижимость последней точки бесконечного множества доказывается третьей апорией. Ахиллес не догонит черепаху. Прежде чем догнать ее, быстро­ ногий герой должен оказаться в точке, где черепаха находилась в начале состязания. Но пока Ахиллес достигнет этой точки, черепаха продвинется дальше. Ахиллесу снова предстоит предварительно добежать до точки, куда продвинулась черепаха. Но пока Ахил­ лес достигнет этой точки, черепаха продвинется еще дальше. Ахиллесу снова предстоит предварительно добежать до точки, где черепаха находится в данный момент, но за это время черепаха снова продвинется на некоторое расстояние. Сколько бы раз ни повто­ рялась подобная ситуация, расстояние между Ахил­ лесом и черепахой уменьшится, но никогда не до­ стигнет нуля. Таким образом, невозможно достичь последнего элемента Непрерывного пути.

Кроме отсутствия первого и последнего элементов пути, мы встречаемся еще с одной особенностью ак­ туальной бесконечности. На всем пути состязания Ахиллеса с черепахой число элементарных отрезков, пройденных Ахиллесом, совпадает с числом отрез­ ков, пройденных черепахой, так как каждому элемен­ ту пути Ахиллеса соответствует элемент пути чере­ пахи. Но Ахиллес проходит больший путь, чем чере­ паха, ведь он начал свой бег из пункта, отстоящего дальше от места встречи, чем начальный пункт пути, черепахи. Таким образом, неравные отрезки содер­ жат равные числа элементов.

В четвертой апории — апории стрелы — движе­ ние отрицается в особенно непосредственной форме.

229

Летящая стрела неподвижна, она занимает неизмен­ ное положение в каждый момент. Сумма таких мо­ ментов — время движения стрелы. В течение этого времени стрела неподвижна в каждый момент, т. е. неподвижна в течение всего времени своего полета.

Следующая апория — «стадион» — исходит из от­ носительности скорости. Скорость относительно од­ ного тела не совпадает со скоростью относительно другого тела, если эти тела отсчета движутся одно по отношению к другому.

са проходит неделимое расстояние. В ином случае, при возможности разделить это расстояние можно было бы соответственно разделить на части и эле­ ментарный интервал времени. Однако пройденное данным телом элементарное расстояние зависит от выбора тела отсчета: оно будет различным в зависи­ мости от того, к какому ряду — неподвижным мас­ сам А или движущимся массам В — отнесено дви­ жение масс С. По отношению к движущимся навстре­ чу массам В массы С пройдут вдвое большее рас­ стояние, чем по отношению к неподвижным массам А . Если по отношению к массам А массы С прошли элементарное неделимое расстояние, то по отноше­ нию к массам В они в течение того же элементарно­ го, т. е. неделимого элементарного, времени пройдут два элементарных расстояния. Но два элементарных расстояния — это уже делимое пространство, соот­ ветственно и временной интервал делится на две ча­

230