Файл: Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне.pdf

а движение лишилось естественной системы отсчета. Галилей дал первый исторический прообраз пре­ вращения позитивно-определенной закономерности в негативно-определенную, представления о перемен­ ной скорости в представление о постоянной скорости. Движение точки Земной поверхности при вращении Земли или обращение Земли вокруг Солнца Галилей считает неизменным состоянием, т. е. движением по инерции. Таким образом, космическое движение по инерции — криволинейно. Галилей отказывается объ­ яснить круговую орбиту Земли притяжением ее к Солнцу. Можно проследить непрерывную линию раз­ вития этой идеи, идущую от естественных круговых движений Аристотеля. Криволинейное космическое инерционное движение, исключавшее при своем объ­ яснении взаимодействие тел, остававшееся инерцион­ ным движением, не требующим физических причин, переносит вопрос в сферу свойств пространства как такового. Подобная геометризация, уподобления дви­ жения по замкнутой кривой движению без физиче­ ского агента, движению, заданному свойствами про­ странства, была основой релятивирования движения точки земной поверхности. Уже у Декарта движение по инерции рассматривается как прямолинейное, и, наконец, у Ньютона достигает относительного завер­ шения картина бесконечного однородного и изотроп­ ного, всюду неискривленного пространства. В силу его однородности изменяется понятие абсолютно­ го движения. Пока речь шла о неоднородном прост­ ранстве с центром и границами, абсолютное движе­ ние было кинематическим понятием: тело испытыва­ ет абсолютное движение, если изменяется расстоя­ ние между телом и абсолютно неподвижными гра­ ницами и центром мирового пространства или естест­

240

венным местом тела. В однородном пространстве критерий абсолютного движения иной — динамиче­ ский: тело движется в абсолютном смысле, если в нем возникают силы инерции. Это локальный крите­ рий; он порывает связь с той или иной абсолютной системой естественных мест; ньютонова теория абсо­ лютного движения рассказывает о событиях, проис­ ходящих на бесконечно малых элементах пути дви­ жущейся частицы. Таково ускорение, которое может быть определено в общем случае лишь как мгновен­ ный процесс в точке, как предел отношения прира­ щений скорости и времени. Ускорение вызывает силы инерции, демонстрирующие абсолютный харак­ тер ускоренного движения. Силы инерции не возни­ кают при отсутствии ускорений, прямолинейное и равномерное движение не дает локальных динамиче­ ских эффектов; смысл такого движения сводится к изменению расстояния между данным телом и про­ извольно выбранным телом отсчета, прямолинейное и равномерное движение является относительным.

Локальный критерий абсолютного движения тесно связан с идеей относительности. Если локальные эффекты нарушения единообразного хода событий (например, единообразной однозначной связи между взаимодействиями тел и силами — появление сил инерции), и только они, свидетельствуют об абсолют­ ном характере процесса, то при отсутствии таких эффектов процесс нельзя считать абсолютным. Если ускоренное движение демонстрирует свой абсолют­ ный характер появлением сил инерции, то при отсут­ ствии сил инерции не остается никакого абсолютного критерия движения. Такое соотношение легко аксио­ матизируется, т. е. приобретает вид фррмальной схе­ мы, оставляющей возможность только эксперимен­

241

тального решения вопроса, подходит ли данный фи­ зический процесс под эту схему. Если внутренний эффект процесса (например, движения) зависит толь­ ко от его изменения (ускорения), то мы не можем судить о самом процессе по внутренним эффектам. Уже в X V II—X V III вв. была создана универсальная математическая схема, очень рельефно демонстри­ рующая такое соотношение. Неопределенный интег­ рал не может быть однозначно указан по производ­ ной: он включает произвольную аддитивную постоян­ ную. Это наиболее абстрактная схема соотношения между абсолютным движением с локальным крите­ рием и относительным движением. Зная ускоре­ ние — производную по времени от скорости, нельзя получить однозначную величину скорости; к ней мо­ жет быть прибавлена произвольная постоянная ско­ рость, т. е. может быть произведено произвольное преобразование от одной галилеевой инерциальной системы к другой, и это преобразование не отразится на ускорениях и их эффектах. Именно это и доказы­ валось на всех страницах галилеева «Диалога», где речь шла о движении по инерции. Если бы оказалось, что движение по инерции дает некоторый внутрен­ ний эффект (хотя бы не механический, а физический: например, изменилась бы скорость света в опыте Майкельсона), ничего нельзя было бы сказать о по­ ложении движущихся тел: преобразование от одной неподвижной системы координат к другой неподвиж­ ной системе (т. е. прибавление произвольного прост­ ранственного расстояния при интегрировании скоро­ сти по времени) не изменило бы эффектов движения.

Отсутствие внутренних эффектов движения по инерции означает однородность пространства, про­ являющуюся в каждой точке в единообразном дейст­

242

вии некоторого закона. Однородность ньютонова про­ странства гарантируется не последовательным при­ бавлением все новых и новых конечных расстояний к пройденному пути без встречи с границами прост­ ранства и не безграничным делением пройденного пути на все меньшие конечные элементы, а естест­ веннонаучным законом, сопоставляющим множество положений частицы множеству мгновений, незави­ симостью вида функции, связывающей пространство со временем, от пространства как такового, зависи­ мостью вида этой функции только от взаимодействия тел. Мировое пространство всюду характеризуется однозначной зависимостью ускорения от сил или (не­ гативное определение, нулевой случай той же зави­ симости) отсутствием ускорений при отсутствии сил. В этом и состоит актуальная бесконечность простран­ ства как заданного определенным условием множе­ ства точек. Отсюда вытекает и классическая относи­ тельность движения инерциальной системы: в ней не нарушается определяющая пространство как актуаль­ ную бесконечность однозначная зависимость ускоре­ ний от взаимодействий. Нарушение такой однознач­ ной зависимости каждый раз прорывает рамки клас­ сического релятивизма, свидетельствует об абсолют­ ном ускорении системы.

Пространство Ньютона — это область определе­ ния функции, связывающей пространство со време­ нем, а физические величины (в общем случае различ­ ные), характеризующие точки пространства,— со­ ставляющие скорости движущихся в пространстве частиц, производные координат по времени. Беско­ нечность множества точек, в которых определены скорости, состоит не в возможности неограниченного увеличения их числа, а во всеобщем характере закона,

243

управляющего движением частицы. Это новое по­ нятие актуальной бесконечности, отличающееся от античного понятия. Закон, указывающий вид функ­ ции, связывающей координаты и время, как бы во­ площается в актуально бесконечном множестве то­ чек, в которых действует один и тот же закон, опре­ деляющий ускорения тел по заданным взаимодейст­ виям.

Существование такого множества — одна из ос­ нов ньютоновой механики. Важно отметить, что это множество трехмерно. Пространство как таковое представляет собой актуальную бесконечность про­ странственных точек, заданную уже в данный момент поведением частицы в каждой точке. Предпосылкой такого взгляда служит представление о мгновенной передаче взаимодействия. С утратой этого представ­ ления уже нельзя было говорить о множестве про­ странственных точек как о заданном в данный мо­ мент бесконечном множестве. Картина мира стала картиной четырехмерной актуальной бесконечности.

5

Понятие бесконечного множества, заданного опреде­ ленным законом, разорвало связь актуальной беско­ нечности с противоречивым понятием исчисленного неисчислимого множества. Тем самым были преодо­ лены (чтобы смениться новыми!) античные парадок­ сы движения.

Уже в X V II в. появилось представление о законе, однозначно связывающем бесконечные физические многообразия и выражающемся в функциональной зависимости физических величин с бесконечной об­ ластью определения функции. В X IX в. Гегель по­

244

номии Канта были антиномиями актуальной беско­ нечности и в сущности повторяли апории Зенона. Кант хотел использовать противоречия актуально бесконечного пространства и времени для доказа­ тельства априорного характера этих категорий. Он определяет пространство и время как актуально бес­ конечные и затем показывает противоречивость ак­ туальной бесконечности, невозможность ее реально­ го существования. Мы вспомним только одну из антиномий, относящуюся к бесконечности мира во времени.

«В самом деле,— пишет Кант,— если мы допу­ стим, что мир не имеет начала во времени, то до всякого данного момента времени протекла вечность и, следовательно, протек бесконечный ряд следую­ щих друг за другом состояний вещей в мире. Но бесконечность ряда именно в том и состоит, что он никогда не может быть закончен путем последова­ тельного синтеза. Следовательно, бесконечный про­ текший ряд в мире невозможен, значит начало мира есть необходимое условие его существования, что и требовалось доказать» *.

Разумеется, Кант получает лишь те противоре­ чия, которые он вложил в первоначальное определе­

245

нечность существования Мира Означает наличие бесконечного числа прошедших лет. Если, подобно древним, не расширять понятие числа при переходе к бесконечности, то ото понятие требует начала отсче­ та, первою члена, начального момента существова­ ния мира. Но понятие бесконечности исключает су­ ществование такого начального момента. Дело не изменилось бы, если бы мы рассматривали сущест­ вование мира в будущем. Проблема осталась бы той же и при переходе к актуальной бесконечности мно­ жества непротяженных элементов ¡времени: тогда выявилась бы принципиальная тождественность ан­ тиномий Канта и парадоксов Зенона. Все дело в не­ совместимости определений актуальной бесконечно­ сти как чего-то сосчитанного и в то же время как объекта который, будучи бесконечным, не может быть сосчитан.

Но наука нашла иной путь к понятию актуальной бесконечности мира и иное понимание актуальной бесконечности. Этот путь и это понимание были ука­ заны в гегелевской критике антиномий Канта и в гегелевском понятии «истинной бесконечности».

Неограниченный переход ко все новым конечным величинам, простое прибавление тождественных объ­ ектов Гегель называл «дурной бесконечностью. Она противостоит конечным величинам как нечто со­ вершенно изолированное от них, она не влияет на конечные величины, не взаимодействует с ними, не определяет их. Переходя от одного числа к другому в бесконечном ряде натуральных чисел 1, 2, 3, ..., мы рассматриваем бесконечность как нечто внешнее, абсолютно оторванное от каждого элемента этого ряда. Бесконечное время как таковое представляет собой «дурную бесконечность», бесконечный пере­

246

ход от одного конечного «теперь» к новому конечно­ му «теперь». «Точно так же обстоит дело с простран­ ством, бесконечность которого доставляет любящим назидания астрономам материал для многих бессо­ держательных и напыщенных декламаций» *.

Это неожиданное нападение служит началом од­ ного из тех ясных и остроумных отрывков, на кото­ рых читатель отдыхает от темных и тяжеловесных периодов «Науки логики». Гегель смеется над тра­ диционным представлением о бесконечности, недо­ ступной мышлению в силу своего величия. В «дур­ ной бесконечности» перед нами «то постоянное выхождение количества и, в частности, числа за пределы самого себя, которое Кант называет страшным, но в котором страшна, .пожалуй, лишь скука, вызывае­ мая в нас никогда не превращающимся поочередным полаганием границы и уничтожением ее, так что в конце концов не двигаешься с места»2.

Истинная бесконечность отнюдь не находится за пределами конечного. Для ее определения мы долж­ ны отказаться от последовательного нагромождения колоссальных цифр, областей или сроков, поражаю­ щих ужасом воображение и мысль, по мнению боль­ шинства философов, и навевающих страшную скуку, по словам Гегеля. Истинная бесконечность не проти­ востоит конечному как нечто изолированное, отдель­ ное от него. Напротив, она-то и определяет истинный смысл конечного, его соотношение с другим конеч­

1 Там же, стр. 180,

247

бесконечности и нового, более общего и широкого по­ нятия числа.

В заметке по поводу доклада Негели «Границы естественнонаучного познания» Энгельс говорит, что познание конечных предметов требует представления о бесконечности *. Мы «констатируем конечное в бес­ конечном». Естественнонаучный закон констатирует, например, что при известных условиях хлор и вода соединяются со взрывом, «а раз мы это знаем, то мы знаем также, что это происходит всегда и повсюду, где имеются налицо вышеуказанные условиях, и со­ вершенно безразлично, произойдет ли это один раз или -повторится миллионы раз и на скольких небес­ ных телах»2. Всеобщность естественнонаучного за­ кона означает, что он относится к бесконечному мно­ жеству случаев. Бесконечность этого множества — актуальная бесконечность, но, разумеется, здесь и речи нет о сосчитанной бесконечности. В естествен­ нонаучном законе сопоставляются два множества: бесконечное множество некоторых механических, физических, химических и других условий (напри­ мер, определенных распределений тяжелых масс) и множество величин, зависящих от этих условий (например, множестве сил, действующих между тя­ желыми массами).

Энгельс говорит, что естественнонаучный закон осуществляется всегда и везде, где налицо причины, вызывающие указанные законом следствия. Это «всегда и везде», независимость закона от изменения пространственных координат и времени, постоянство1

248

действия закона представляют собой пока еще каче­ ственное, исходное понятие для ряда фундаменталь­ ных количественных понятий — преобразования, ин­ вариантности, относительности.

Если речь идет о количественном законе, мы мо­ жем представить его в виде кривой. Пусть перед нами кривая, изображающая движение частицы. Каждая точка кривой соответствует определенному «здесь» и «теперь». Закону движения частицы соот­ ветствует определенный ¡вид кривой. Когда мы рас­ сматриваем вид кривой, последняя фигурирует в ка­ честве актуально бесконечного множества точек. Но это не просто повторение точек — «дурная бесконеч­ ность» Гегеля, это актуальная бесконечность, опре­ деляющая поведение тела в каждом «здесь» и «те­ перь». Перед нами синтез интегрального и диффе­ ренциального представления о движении. Такой синтез прорывает аристотелевскую нерасчлененную непрерывность движения, так как каждая точка кри­ вой приобретает определенный физический эквива­ лент. Благодаря этому кривая становится множест­

сматривать двояким образом. Частица проходит че­ рез точку, служащую ее местопребыванием в одно мгновение, затем через точку, служащую ее место­ пребыванием в другое мгновение, и т. д. Чем точнее мы хотим определить траекторию частицы, тем боль­ шее число точек мы должны зафиксировать в каче­ стве пройденных мгновенных местопребываний ча­ стицы. Но число это остается все время конечным, и мы можем здесь говорить лишь о потенциальной бесконечности ряда конечных чисел. Можно рассмат­ ривать кривую как множество точек, заданное через

249