Файл: Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне.pdf

сти — одну часть, когда пройдено Первое элементар­ ное расстояние, и другую часть, когда пройдено вто­ рое элементарное расстояние. Следовательно, интер­ вал времени будет делим или неделим в зависимости от того, к какому ряду отнесено движение тела.

Актуально бесконечное число временных интерва­ лов умножается на два, если движение тела отнесе­ но к иному по сравнению с предыдущим ряду тел от­ счета. При этом число элементарных интервалов остается равным самому себе.

Таким образом, апория «стадион» указывает еще на одну особенность актуальной бесконечности. Из апории Ахиллеса и черепахи вытекает, что беско­ нечное число обладает парадоксальным свойством: если от числа элементов отрезка (путь Ахиллеса) от­ нять некоторое второе число таких элементов (путь Ахиллеса до исходного пункта движения черепахи), то число не изменится (разность — путь черепахи — состоит из того же числа элементов, что и путь Ахил­ леса). Иными словами, а —•(5= а. Теперь из апории «стадион» мы узнали, что 2а = а.

Из указанных свойств актуальной бесконечности следует весьма существенный вывод. Мерой отрезка, состоящего из актуально бесконечного числа непро­ тяженных точек, не может быть число точек (если не обобщить и не модифицировать существовавшего с древности понятия меры). Оно бесконечно в каж­ дой части отрезка и не меняется, если отрезок разде­ лить или отнять от него меньший отрезок. Мера от­ резка не является суммой мер его элементарных ча­ стей. Поэтому меру отрезка, состоящего из беско­ нечного множества точек, устанавливают иначе — оп­ ределяют положение концов отрезка относительно тел отсчета и затем сопоставляют числам, указываю­

231

щим положение концов отрезка, некоторое положи­ тельное число, которое мы называем расстоянием между ними, или длиной отрезка. Такое определение меры отрезка называется относительным мероопре­ делением. Если бы число частей отрезка не могло превысить любое конечное число, мы могли бы счи­ тать число частей мерой отрезка. Подобное мерооп­ ределение является абсолютным мероопределением, оно не требует тел отсчета.

Здесь и находится самый кардинальный пункт свя­ зи между бесконечностью и относительностью. Вме­ сте с тем этот пункт является самым существенным для современного развития теории относительности. Мы уже упоминали о нем, а подробнее остановимся на нем позже, в связи с идеями Римана.

Сейчас относительность мероопределения и тот факт, что мера отрезка не совпадает с суммой акту­ ально бесконечного множества его элементов, не ка­ жутся парадоксальными. Но в древности метрические соотношения конечных величин переносили на бес­ конечные величины, не обобщая метрических поня­ тий, не расширяя таких понятий, как число, не при­ сваивая числу неизвестных ранее свойств, выражаю­ щихся в формулах а — ,р = а, 2<х = а и т. д. В этом исходный пункт парадоксов движения.

3

Космология Аристотеля, в которой изотропная Все­ ленная была представлена чрезвычайно стройной конструкцией, отошла от идеи однородности и бес­ конечности пространства, фигурировавшей в космо­ логии Демокрита. Понимание изотропности простран­ ства, отсутствия абсолютного «верха» и «низа», воз­

232

можности существования антиподов было куплено ценой отказа от однородности пространства; послед­ нее приобрело центр — Землю с обращающимися во­ круг нее небесными сферами, причем наиболее уда­ ленная сфера служит границей конечного мирового пространства.

Мы увидим вскоре, что эта картина неоднородной, конечной, изотропной Вселенной тесно связана с аристотелевой трактовкой бесконечности и лежит в основе понятий абсолютного и относительного дви­ жения у Аристотеля.

Начнем с понятия бесконечности как результата сложения конечных величин. Вводя это понятие, Аристотель сразу же отбрасывает бесконечность про­ странства. Но время бесконечно. С указанным раз­ личием связаны понятия актуальной и потенциаль­ ной бесконечности. Аристотель отвергает возмож­ ность чувственно воспринимаемого бесконечного по размерам тела (актуально бесконечного тела), но до­ пускает существование потенциальной бесконечности. Ее нельзя понимать в том смысле, в каком, напри­ мер, статуя потенциально содержится в меди. Такой взгляд означал бы, что потенциальная бесконечность в конце концов превращается в актуальную. Потен­ циально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго.

«Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и раз­ ным» *.1

233

Актуальная бесконечность — это бесконечные размеры тела в тот момент, когда оно фигурирует как чувственно воспринимаемый объект. Иными сло-- вами, это бесконечное пространственное расстояние между пространственными точками, связанными в единый объект в некоторый момент времени. Это чи­ сто пространственное одновременное многообразие. Таким одновременным многообразием бесконечных размеров реальное тело, по мнению Аристотеля, не может быть. Реальным эквивалентом бесконечности может быть бесконечное движение, процесс, происхо­ дящий в бесконечном времени и состоящий в беско­ нечном возрастании некоторой величины, все время остающейся конечной. Таким образом, реальным эк­ вивалентом обладает понятие потенциальной беско­ нечности, протекающей во времени. Нет бесконечно­ го «теперь», но есть бесконечная последовательность конечных «теперь».

Итак, аристотелевская концепция потенциальной бесконечности и отрицание актуальной бесконечно­ сти связаны с высказанным в «Физике» и в других трудах Аристотеля представлением о пространстве и времени и их связи. Актуальная бесконечность — это некоторая обладающая реальным физическим бы­ тием величина, достигшая бесконечного значения в данный момент. Если выражение «данный момент» понимать буквально, то под актуально бесконечным объектом следует подразумевать мир, существующий в течение мгновения, иначе говоря — пространствен­ ное многообразие. Аристотель, говоря об актуальной бесконечности, имеет обычно в виду бесконечное про­ странство, вернее бесконечную протяженность реаль­ ного, чувственно постигаемого тела. Отрицание акту­ альной бесконечности связано с физической идеей —

234

отрицанием бесконечности мира в пространстве й бесконечности самого пространства. Напротив, потен­ циальная бесконечность развертывается во времени. Каждое конечное значение возрастающей величины связано с некоторым «теперь», и это значение, оста­ ваясь конечным, меняется по мере того, как меняется «теперь».

Конечность пространства и существование центра Вселенной создают опору для системы абсолютных мест и понятия абсолютного движения. Вообще для Аристотеля характерно представление о движении, происходящем всегда из чего-то во что-то, направлен­ ном из естественного начала движения к естествен­ ному концу его. Эти «что-то» и определяют движение. Они могут быть связаны с качественными и субстан­ циальными изменениями. Как известно, Аристотель включал в понятие движения наряду с пространст­ венным движением (фора) количественное движение, т. е. рост (аи ^ ле), и качественное изменение (аААо 1шз1£ ). Для определения исторических прообразов тех современных концепций, где исходным понятием служат трансмутации элементарных частиц, сущест­ венно включение в понятие движения субстанциаль­ ного движения, т. е. возникновения (т^г|31д) и уни­ чтожения (фдора).

Но независимо от качественных изменений, воз­ никновения и уничтожения тела пространственное движение может иметь абсолютное начало отсчета, если тело движется к своему естественному месту. Естественное место тяжелых тел, находящихся внут­ ри ближайшей к Земле лунной сферы,— Земля. Ког­ да тяжелое тело падает на Землю, оно стремится к своему естественному месту, где достигает абсолют­ ного покоя. Таким образом, точки на радиальной пря­

235

мой, вдоль которой тело движется к своему естествен­ ному месту, неравноправны, пространство вдоль этой прямой неоднородно, и движение имеет абсолютный характер.

Какое же относительное движение может иметь место в пространственно-ограниченной и бесконечной во времени Вселенной Аристотеля? Сказанное рань­ ше позволяет задать тот же вопрос в иной форме: где во Вселенной Аристотеля можно найти прообра­ зы однородного пространства и бесконечного движе­ ния?

В конечном пространстве бесконечным может быть, например, циклическое движение, а отсутствие выделенных точек на траектории движущегося тела заставляет думать о круговом движении. В космоло­ гии Аристотеля естественное круговое движение при­ суще неразрушаемым и неуничтожаемым телам над­ лунного мира. На круговых орбитах, окружающих Землю, точки равноправны и движение относительно. Если бы у Аристотеля было понятие пространства, противостоящее понятию вещества, то можно было бы сказать: концентрические сферы, окружающие центр Вселенной,— это исторический прообраз одно­ родного искривленного пространства. Но, несмотря на отсутствие у Аристотеля прямых эквивалентов та­ кого чисто современного понятия, оно позволяет нам увидеть внутреннюю, неявную, но несомненную ло­ гическую связь между ограниченной Вселенной Ари­ стотеля и аристотелевыми концепциями пространст­ ва, времени и бесконечности.

В искривленном пространстве с положительной кривизной любое расстояние между точками ограни­ чено максимальным значением. На поверхности сфе­ ры движение не наталкивается на ограничивающую

236

его последнюю точку, но две различные точки не могут находиться одна от другой на расстоянии, пре­ вышающем половину геодезической окружности. Ко­ нечные размеры Вселенной Аристотеля, конечная длина радиальных траекторий тяжелых тел и огра­ ниченность расстояний на кривых поверхностях кон­ центрических сфер мироздания исключают реальное существование сколь угодно больших пространствен­ ных расстояний. Вселенная и все составляющие ее тела не могут быть физическими прообразами бес­ конечности. Следовательно, бесконечность как бес­ конечное бытие, как нечто достигнутое и существую­ щее в данный момент не может существовать. Но это не значит, что понятию бесконечности не соответству­ ет реальный прообраз. Движение — именно круговое движение — может быть бесконечным, потому что время у Аристотеля, в отличие от пространства, од­ нородно, не имеет начального и конечного моментов. Повторение одной и той же пространственной траек­ тории в течение бесконечного времени позволяет из­ мерять время, делить его на равные конечные части, которые бесконечно прибавляются к уже отсчитан­ ному конечному числу конечных интервалов.

Обратимся теперь к бесконечности как результа­ ту деления конечной величины. В отличие от про­ странства Эпикура пространство Аристотеля непре­ рывно и бесконечно делимо. Поэтому Аристотель мог сопоставить пространство потенциальной бесконеч­ ности. Но служит ли бесконечно делимое тело про­ образом актуальной бесконечности? Может ли вооб­ ще существовать в природе актуально бесконечная величина? Чтобы ответить на вопрос, имелись ли в учении Аристотеля об абсолютном и относительном движении прообразы актуальной бесконечности как

237

результата деления конечных величин, нужно пред­ варительно остановиться на проблеме интегральных закономерностей в перипатетической космологии и физике.

В картине непрерывного вещества и непрерывного движения Аристотель фактически исключал законо­ мерности, действующие от точки к точке и от мгно­ вения к мгновению. Поэтому бесконечное деление конечной величины лишалось физического смысла. Движение тела по круговой орбите определяется (не­ гативным образом, в смысле отсутствия каких-либо' различий в поведении тела) однородностью простран­ ства вдоль орбиты, равноправием точек. Но для Ари­ стотеля в точке не только ничего не происходит, но и ничего не может произойти. Движение тела, падаю­ щего на Землю, определено неоднородностью прост­ ранства в радиальном направлении, существованием выделенных, естественных мест. Но определяющие (в данном случае позитивным образом) движение тела суммарные, общие закономерности не превращаются в закономерности, действующие от точки к точке. Для Аристотеля каждый процесс идет из «чего-то» во «что-то» и эти «что-то» разделены конечным от­ резком: в точке («здесь») и в мгновении («теперь») ничто происходить не может. Понятия скорости в точке или мгновенной скорости, мгновенного ускоре­ ния и т. д. чужды динамике Аристотеля.

Из сказанного следует, что у Аристотеля не мог­ ло быть физических эквивалентов актуальной беско­ нечности не только как результата сложения, но и как результата деления конечных величин. Отсюда простое опровержение парадоксов Зенона: первой точки движения (апория стрелы) и его последней точки (апория Ахиллеса и черепахи) нет, потому

238

что путь движущегося тела вообще не состоит из то­ чек, а время движения из мгновений.

Уже в эллинистических государствах начался про­ цесс преобразования научной картины мира, вклю­ чавший возврат к идее бесконечного неискривленного пространства. В частности, этот возврат опирался на развитие геометрии. Постулаты Эвклида соответ­ ствуют бесконечному неискривленному однородному пространству Ньютона, а если говорить о прошлом — пространству Демокрита, в большей степени, чем конечной и неоднородной Вселенной Аристотеля. В общем наука эволюционировала в сторону идеи од­ нородного непрерывного пространства, но вместе с тем появлялись все новые концепции минимальных протяженных элементов пространства и времени.

4

Классическое ньютоново представление о пространст­ ве исходит из его однородности. Однородность про­ странства — стержневая и исходная физическая идея X V II в., последовательно развивавшаяся в трудах Коперника, Бруно, Галилея, Декарта и, наконец, Ньютона. Ее развитие разрушило аристотелев мир — изотропный, но неоднородный, с границами, центром и системой естественных мест.

Коперник заменил естественные движения, на­ правленные к Земле как центру мирового простран­ ства, естественными движениями, направленными к Земле как телу, движущемуся в пространстве. Далее в X V II в. отказались от неподвижного Солнца в центре мира и объявили Вселенную бесконечной. Тем самым мировое пространство стало однородным,

239