ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 147
Скачиваний: 0
содержание изображенного кривой закона. Напри^ мер, кривая, по которой будет двигаться частица В заданном поле, определяется не как предел расту щего числа регистраций последовательных положе ний частицы, а сразу, исходя из характера поля, т. е. из интегрального закона, связывающего множе ство местопребываний частицы с множеством момен тов времени. Таким образом, кривая рассматривает ся в вариационных задачах. У Аристотеля актуально бесконечным называется чувственно воспринимаемое тело, бесконечное уже в момент восприятия. Траек тория частицы, определенная по содержанию изобра женного ею закона, не является телом, и в этом смысле задание траектории пока не разбивает соб ственно аристотелевского отрицания актуальной бес конечности. Но мы увидим в следующем разделе, что теория поля как физической реальности превра щает траекторию частицы в нечто реально, физиче ски существующее и уже определенное начальными условиями и пространственным распределением зна чений напряженности поля до фактического движе ния частицы по определенной таким образом траек тории.
Мы встречаем в математике второй половины X IX в. весьма фундаментальный аналог представле ния о естественнонаучном законе, однозначно свя зывающем элементы одного множества с элементами другого множества. Речь идет о теории Кантора. В своих работах, положивших начало новому перио ду в развитии учения о множествах, Кантор говорит о мощности множеств. Множество задано не перечис лением элементов, а по своему содержанию. Если каждому элементу множества может быть взаимно однозначным образом сопоставлен элемент другого
250
множества, то эти множества равномощны. Кантор обобщает понятие числа и вводит чйсла, измеряющие мощность различных актуально бесконечных мно жеств. Так называемые трансфинитные кардиналь ные числа, измеряющие мощность бесконечных мно жеств, отличаются от обычных чисел. Трансфинит ное число остается равным себе при прибавлении или вычитании из него какого-нибудь не равного нулю числа, например единицы, или при умножении на какое-нибудь не равное единице число, например на два. Иначе говоря, а — (5 = а (т. е. часть равна целому) и 2а = а. Мы видели, что эти свойства ак туальной бесконечности прямо вытекают из апорий Зенона.
По-видимому, нет нужды подчеркивать связь ак туальной бесконечности Кантора с истинной беско нечностью Гегеля. Истинная бесконечность Гегеля представляет собой логическую схему реальных за кономерностей, связывающих многообразия физи ческих свойств, а кцнторовская актуальная беско нечность — математическая схема таких закономер ностей. Гегелевская логическая схема истинной бесконечности и канторовская математическая схе ма актуальной бесконечности представляют собой различные аспекты пространственно-временного мира, в котором всеобщие законы связывают друг с другом конечные физические величины, поднимая их тем самым до ранга бесконечности, позволяют рассматривать их как элементы бесконечных мно жеств, как отдельные конечные объекты, подчинен ные всеобщим законам, устанавливающим соотноше ния бесконечных многообразий. Актуальная беско нечность Кантора связана с истинной бесконечностью Гегеля, она представляет собой математический
251
эквивалент этого понятия; ее физическим прообразом служит, как уже говорилось, всеобщий естественно научный закон.
Даже самое беглое изложение связей между по нятиями бесконечности и относительности позволяет думать, что и в данном случае крупное обобщение учения о бесконечности, каким является теория Кан тора, имело существенное значение для развития представления об относительности движения. Здесь действительно имеется некоторая существенная связь, правда неявная и обнаруживаемая лишь рет роспективно в свете идей Эйнштейна.
Обобщение понятия числа сделало более ощути мым тот известный с древности факт, что в актуаль но бесконечном множестве число точек не может служить мерой множества. Поэтому мера в таком множестве определяется не непосредственным сче том, а мероопределением, отысканием длины отрез ка по заданным разностям координат его концов. В древности этого, разумеется, не знали, но апория «стадион» уже показывала связь относительности скорости с отсутствием естественной меры проходи мого отрезка, если он состоит из актуально беско нечного числа элементов. Сейчас мы знаем, что мет рика пространства связана с его бесконечностью или конечностью, что характер бесконечного пространст ва в этом смысле указывает на характер мероопре деления. Все эти построения имеют дело с заданием общих, интегральных свойств бесконечных множеств, т. е. с актуальной бесконечностью, потерявшей связь с традиционным противоречивым образом сосчитан ного, законченного бесконечного ряда.
Физика X IX в., со своей стороны, подошла к по нятию бесконечного множества физических величин
252
одной мощности с множеством точек пространства при однозначном соответствии элементов обоих мно жеств. Таким понятием является поле.
6
Пространство может быть позитивно определено как актуальная бесконечность при существовании в этом пространстве силового поля. Точки пространства ста новятся физически различными, поскольку в них материальная частица ведет себя различным обра зом. Но причина различий — не какая-либо неодно родность пространства, а взаимодействия тел, т. е. силовые поля. В этом смысле понятие поля сил (подчеркнем; поля реальных сил, это весьма сущест венно) освобождает пространство само по себе от от ветственности за различия в поведении тел. Поэтому физическим прообразом актуальной бесконечности служит, собственно, не поле скоростей или поле уско рений, вообще не множество, заданное законами движения, а силовое поле, множество значений на пряженности поля.
Здесь, как уже говорилось, существенным этапом в развитии физической интерпретации актуальной бесконечности была идея реальности поля, вырос шая о электродинамике. В концепциях Фарадея и Максвелла напряженность поля — это не только определенная сила, действующая на единичную маг нитную массу или единичный заряд, если такие ока жутся в данной точке. В указанных концепциях на пряженность поля выступает как состояние среды, не зависимое от появление магнитной массы или электрического заряда.
253
Напомним то, что уже говорилось о двух эквива-' лентных, но принципиально различных методах, при меняемых в классической аналитической механике для определения траектории движущейся материаль ной точки, методах, которым соответствуют два по нятия бесконечного множества точек. Одна из них — множество точек, из которых состоит траектория. Другое — множество точек, через которые частица проходит. Дифференциальные уравнения движения частицы определяют траекторию частицы как мно жество точек (соответствующих предельным отноше ниям динамических переменных), через которые про ходит частица. Если спросить, какой реальный физи ческий процесс описан уравнением движения частицы при данных начальных условиях и при заданных по лях, то ответ будет таков: уравнение описывает дви жущуюся частицу, каждое произвольно взятое поло жение которой соответствует уравнению. Таких про извольно взятых фиксированных положений — всегда конечное число, но оно может беспредельно увели чиваться. Траектория движущейся частицы может быть определена и иначе — сразу, в целом, инте гральным образом. В каждой (не в любой, а в каж дой!) точке этой траектории существует определенное значение напряженности поля (именно существует реально, физически существует как состояние полясреды). Траектория как бы переходит при таком ее представлении из механики в теорию поля, становится понятием не механики частицы, а теории тяготе ния, электростатики, электродинамики и т. д. На траектории в момент, соответствующий начальному положению, частицу уже ожидают напряженности поля, определяющие ускорения, которые частица здесь получит. Распределение напряженности поля
254
задано до движения частицы. Координаты частицы при этом являются сами по себе лишь абстрактными, только предварительно вычисленными величинами, которым пока ничто реальное не соответствует, а на пряженности поля уже существуют как состояния среды. Поэтому именно теория поля как физической среды, представление о распределении реальных со стояний среды — значений напряженности поля на траектории, позволяет рассматривать эту траекторию как нечто физически реальное до движения частицы.
Мы можем рассматривать бесконечное множество значений напряженности поля в точках кривой как нечто бесконечное и вместе с тем существующее в данный момент, т. е. как актуально бесконечное. Выше, при изложении проблемы бесконечности в ньютоновой механике, уже было сказано, что распре деление значений напряженности поля и, следова тельно, ожидающих частицу воздействий можно счи тать бесконечным трехмерным бытием, а не беско нечным движением, если поле распространяется с бесконечной скоростью, если мы можем говорить о некотором едином для бесконечного множества то чек мгновенном распределении значений напряжен ности. Без этого пространственная кривая не может рассматриваться как мгновенное бесконечное мно жество точек, она не обладает одновременно-беско нечным бытием. Без этого, следовательно, мы не мо жем говорить об актуально бесконечной кривой, на которой реально распределены значения напряжен ности поля.
Поле, как это выяснилось, сначала для электро магнитного поля, а позже и для других полей, рас пространяется с конечной скоростью. Но все дело в том, что скорость V движения частицы и скорость с
255
распространения поля были несоизмеримы. По срав нению с V скорость с настолько велика, что ее мож но было принять за бесконечную скорость. Это соот ношение V < с — основное соотношение, определяю щее область применения механики мгновенных дальнодействий — позволяет ввести указанное выше определение кривой как актуальной бесконечности.
Все это относится к бесконечности как результату деления конечной величины. Такая бесконечность поля на каждом отрезке силовой линии имеет непо средственное отношение к проблеме относительно сти. Она исключает естественную метрику вдоль си ловых линий, заставляет вводить те методы меро определения, которые лежат в основе понятия инварианта метрического пространства.
Теория поля реальных сил резко разграничивает закономерности движения под действием сил и зако номерности свободного движения. Первые сводятся к взаимодействию тел, вторые — к свойствам самого пространства. Прямолинейное и равномерное движе ние не требует физического агента и если чем-либо объясняется, то только свойствами пространства — его однородностью. Реальное поле — взаимодействие тел — берет на себя всю вину лишь за ускорения. Но фиктивные силы не могут быть в пределах клас сической теории объяснены взаимодействием тел и должны быть отнесены за счет пространства. Имен но так и поступил Ньютон при объяснении природы центробежных сил и сил инерции вообще. Появление центробежных сил во вращающемся ведре и вообще всякое нарушение пропорциональности между реаль ными силами (взаимодействиями тел) и ускорениями в движущейся с ускорением системе не может полу чить в механике Ньютона объяснения, если не
256
ссылаться на движение системы по отношению к про странству,— не к другим телам, а к самому про странству как таковому. Если представить себе, что пространство искривлено и тело не отклоняется от свойственных такому искривленному пространству геодезических линий, мы снова приходим к однород
ному, но на этот раз искривленному |
пространству. |
В течение X IX в. теория поля все |
ближе подхо |
дила к понятиям пространственной кривизны и дви жения по геодезическим линиям искривленного про странства. С другой стороны, в геометрии вырастало учение о кривых поверхностях. Но о выяснении фи зической природы искривления пространства не было и речи. Электрические и магнитные поля можно рас сматривать как искривления пространства только условно. В электрическом или магнитном поле отчет ливо разграничивается движение заряда, обязанное взаимодействию с другим зарядом — источником поля, и свободное движение, обязанное формой своей траектории пространству как таковому — неискривленности последнего. Только в случае гравита ционного поля, единообразно искривляющего траек тории всех тел, можно отождествить действие поля с искривлением пространства как такового. Подобное отождествление лежит в основе общей теории отно сительности Эйнштейна, и о нем речь впереди. Сей час отметим, что в конце X IX в. уже были сделаны попытки геометризации поля, т. е. представления сил как искривлений пространства.
Они преемственно связаны с развитием вариаци онных принципов механики. Вариационные принци пы выражают интегральные закономерности, кото рым соответствуют дифференциальные законы, управляющие поведением тела от мгновения к мгно-
9 Б. Г, Кузнецов |
257 |