Файл: Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне.pdf

и все вообще сигналы, распространяющиеся при оФсутствии тяготения по прямой,— становятся физиче­ скими прообразами кривой линии. Если так, естест­ венной становится мысль о гравитационном поле как искривлении пространства-времени в целом.

Здесь решающий пункт перехода от позитивно заданной актуальной бесконечности пространства-вре­ мени к негативно заданному бесконечному множест­ ву мировых точек. В неискривленном пространствевремени, т. е. в рамках специальной теории относи­ тельности, однородность четырехмерного континуума выражалась в том, что мировые линии были прямы­ ми. В искривленном пространстве его однородность выражается в том, что мировые линии совпадают с геодезическими,— это понятие является естествен­ ным обобщением понятия прямой. При движении тела вдоль геодезической линии пространства мы от­ носим кривизну его траектории за счет кривизны пространства. Это и значит, что в данном простран­ стве с заданной кривизной состояние тела, движуще­ гося по геодезической, не меняется. Мировые точки, расположенные на геодезической четырехмерного мира, не имеют различий в смысле поведения нахо­ дящихся в них тел. Мы приписываем мировым точ­ кам, разным по поведению находящихся в них тел, одинаковое поведение тел, считаем эти точки равно­ правными, потому что выбираем точки, образующие криволинейное пространство-время. Каждый отре­ зок мировой линии, совпадающей с геодезической данного пространства, представляет собой актуаль­ ное бесконечное множество мировых точек, в кото­ рых поведение тел определяется негативным обра­ зом — однородностью пространства вдоль указанной мировой линии.

282

Эйнштейн отождествил потенциалы гравитацион­ ного поля со значениями составляющих фундамен­ тального метрического тензора, а напряженности поля — с коэффициентами Кристоффеля, составлен­ ными из производных метрического тензора. Под гравитационным полем следует понимать не то, что происходит в пространстве, а то, что происходит с пространством. Такая геометризация поля особенно отчетливо видна в понятии ковариантной производ­ ной. Обычная производная вектора, описывающая его поведение при переносе, указывает на изменение, зависящее от того, что происходит в пространстве, и на изменение, которое может зависеть от того, что происходит с пространством,— от искривления и со­ ответствующего изменения метрики. Если вычесть вторую, зависящую от метрики часть общей произ­ водной, то разность — ковариантная производная — будет соответствовать процессу, происходящему в пространстве и не зависящему от пространства. Дей­ ствие гравитационного поля на тела исключается из числа таких процессов. Под влиянием гравитационно­ го поля тело движется по геодезической, на которой ковариантная производная равна нулю. При этом из­ меняется положение тела на геодезической мировой линии относительно события, принятого за начало че­ тырехмерной системы координат, но не изменяется состояние тела — ковариантная производная, харак­ теризующая это состояние векторов, остается равной нулю.

Мы можем сопоставить подобное положение с дви­ жением по окружающим Землю концентрическим сферам и с радиальным движением к Земле как цент­ ру мира в космологии Аристотеля. Вернее было бы говорит*, о сопоставлении с проблемами, вытекающи­

283

ми из космологии Аристотеля. На «совершенной» круговой орбите движение тела объясняется не ка­ кой-либо неоднородностью пространства, как при радиальном движении, а, наоборот,— его однород­ ностью. Кривизна орбиты — результат не неоднород­ ности пространства, а его кривизны. Это первона­ чальное, чисто качественное и связанное с фантасти­ ческой схемой Вселенной представление содержит уже в зародыше прообразы последующего развития понятий однородности и кривизны. Сейчас мы распо­ лагаем достоверной количественной теорией, в кото­ рой однородность пространства куплена ценой его кривизны, обобщения понятия прямой. На геодези­ ческих пространство однородно.

Понятие однородности бесконечного (в том числе абстрактного) пространства может быть сопоставлено с понятием негативно определенной актуальной бес­ конечности. Разумеется, только конкретные, установ­ ленные экспериментом свойства множества значений физической величины позволяют представить эти зна­ чения в качестве характеристик неизменного состоя­ ния при движении в каком-то пространстве, перейти к негативному определению такого пространства как актуальной бесконечности, найти инвариант фунда­ ментальной для данного пространства группы преоб­ разований и т . д .— геометризиронать поле, под влия­ нием которого происходит указанное движение. Та­ ким множеством, как это выяснилось в X V II в., яв­ ляется упорядоченное множество положений тела, т. е. значений его координат, если эти значения ли­ нейно зависят от времени. В подобном случае изме­ нение координат не является изменением состояния тела; движение последнего не позволяет найти какиелибо различия мщкду состояниями тела, о движении

284

можно судить только ио изменению координат, трак­ товать его только в относительном смысле и опреде­ лять актуально бесконечное множество точек прост­ ранства негативным образом, как множество, предоп­ ределяющее своей однородностью сохранение со­ стояния предоставленного себе тела. В специальной теории относительности на основе эксперимента в по­ нятие неизменного состояния тела вошла неизменная скорость распространения света в теле, не зависящая от его движения без ускорений. Негативно опреде­ ленным актуально бесконечным множеством оказа­ лось множество четырехмерных мировых точек на прямых мировых линиях псевдоэвклидова пространст­ венно-временного континуума. В общей теории отно­ сительности также на основе эксперимента (старого, показавшего пропорциональность массы и веса, и но­ вого, предсказанного теорией и показавшего откло­ нение луча в поле тяготения) подобным же множест­ вом оказалось множество мировых точек на геодези­ ческих неэвклидова континуума.

Переход от однородных прямых к однородным, вообще говоря кривым, геодезическим линиям позво­ лил заменить формулу: «предоставленное себе тело движется по геодезической эвклидова пространства (т. е. по прямой)» формулой: «тело, как свободно дви­ жущееся, так и находящееся под действием поля тя­ готения, движется по геодезической, вообще говоря, риманова пространства (частным случаем которого является эвклидово пространство)». Такое обобщение позволяет перейти к обобщенному понятию однород­ ности: однородным мы называем пространство, точки которого при переходе тела из одной в другую остав­ ляют равной нулю ковариантную производную векто­ ров, описывающих поведение движущегося тела.

285

ном случае эвклидова пространства,— нулевой кри­ визны. Переходя к проблеме физических эквивален­ тов бесконечности как результата сложения конечных величин, нужно включить в поле зрения и гипербо­ лическое пространство Лобачевского. Если «Вселен­ ная как целое» обладает постоянной кривизной, то она может иметь положительную кривизну и быть конечной либо нулевую или отрицательную кривиз­ ну и быть бесконечной. Возьмем модель Вселенной с положительной кривизной, т. е. конечное сфериче­ ское пространство. Нас не должна здесь смущать не­ однозначность релятивистской космологии — возмож­ ность иных моделей. Для развития представления о бесконечности существенны, как уже говорилось, не только реализованные и закрепленные концепции. Самая возможность конечного пространства дала толчок математическим обобщениям. Они пошли по линии полного отрицания правомерности понятия ак­ туальной бесконечности, Которое, впрочем, уже давно было не в чести у математиков. Некоторому возврату к античным прообразам конечной сфериче­ ской Вселенной соответствовал возврат к аристоте­ леву неприятию бесконечности. Возврат этот очень условен — Вселенная Аристотеля была не только конечной, но и ограниченной. Вселенная Эйнштей­ на — неограниченна. Релятивистская космология Эйнштейна отказывается от бесконечности простран­ ства, приписывая последнему кривизну. Такое пред­ положение не колеблет постулата неограниченности пространства. Напомним риманово разграничение понятий неограниченности и бесконечности.

«При распространении пространственных пост­ роений в направлении неизмеримо большего следу­ ет различать свойства неограниченности и бесконеч-

287

ности: первое иЗ них Ость свойство протяженности, второе — метрическое свойство. То, что пространство есть неограниченное трижды протяженное многообра­ зие, является допущением, принимаемым в любой концепции внешнего мира; в полном согласии с этим допущением область внешних восприятий постоянно расширяется, производятся геометрические построе­ ния в поисках тех или иныХ объектов, и допущение неограниченности ни разу не было опровергнуто. По­ этому неограниченности пространства свойственна гораздо большая эмпирическая достоверность, чем какому бы то ни было другому продукту внешнего восприятия. Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства; напротив, если допустим независимость тел от места их нахождения, т. е. при­ пишем пространству постоянную меру кривизны, то придется допустить конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны, лишь бы она была по­ ложительной. Если бы мы продолжили кратчайшие линии, начальные направления которых лежат в не­ котором плоскостном элементе, то получили бы не­ ограниченную поверхность с постоянной положитель­ ной мерой кривизны, т. е. такую поверхность, которая в плоском трижды протяженном многообразии приня­ ла бы вид сферы и, следовательно, является конеч­ ной» '.

Подобное разграничение поможет нам найти ан­ тичные прообразы современных понятий. В отличие от других построений Римана это разграничение не находит применений в наиболее актуальных вопросах физики, быть может, пока не находит. Мы сейчас уже не можем сказать, как Риман: «Для объяснения природы вопросы о неизмеримо большом — вопросы1

1 Сб. «Об основаниях геометрии», стр. 322—323.

288