Файл: Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне.pdf

конечным. Если же кривизна больше нуля, то про­ странство, соответствующее радиусу кривизны, ока­ зывается конечным, как бы ни была мала кривизна, как бы ни был велик ее радиус.

«При распространении пространственных построе­ ний в направлении неизмеримо большего следует различать свойства неограниченности и бесконечно­ сти: первое из них есть свойство протяженности, вто­ рое — метрическое свойство» *.

Поразительно, до чего близко Риман, вероятно не знавший о гегелевской «истинной бесконечности», подходит к этому понятию. Бесконечность как мет­ рическое свойство — это бесконечность, определяю­ щая свойства своих конечных элементов, это беско­ нечность, входящая в определение каждой части рассматриваемого пространства. Это актуальная бесконечность.

Относительные положения частиц, образующие дискретное множество, могут быть зарегистрированы с абсолютной точностью; в принципе мы можем про­ извести столько же измерений, сколько степеней сво­ боды у рассматриваемых частиц. Но число экспери­ ментов, регистрирующих метрические отношения, всегда меньше числа точек, в которых мы допускаем существование определенной кривизны и определен­ ного мероопределения. Поэтому эксперимент дает принципиально неточную картину метрических отно­ шений.

Разграничив отношения протяженности и простые метрические отношения, «необходимым следствием которых являются все теоремы геометрии», Риман продолжает:

1 Сб. «Об основаниях геометрии», стр . 322.

285

«Остается еще выяснить, обеспечиваются ли опытной проверкой эти простые отношения, и если обеспечиваются, то в какой степени и в каком объ­ еме? Между отношениями протяженности и метри­ ческими отношениями с этой точки зрения имеются существенные различия: именно, поскольку для от­ ношений протяженности возможно лишь дискретное множество различных случаев, результаты опытной проверки не могут не быть вполне точными (хотя, с другой стороны, не могут быть вполне достовер­ ными), тогда как для метрических отношений мно­ жество возможных случаев непрерывно, и потому результаты опытной проверки — неизбежно неточ­ ные, какова бы ни была вероятность того, что они приближенно точны» *.

Далее Риман говорит о бесконечно малых обла­ стях пространства. В очень малых областях мы мо­ жем встретиться с геометрическими соотношения­ ми, которые отличаются от геометрических соотно­ шений в больших областях. Мы продвигаемся в глубь причинных связей в природе, и понятие бесконечно малого выражает это неограниченное продвижение.

«От той точности, с которой нам удается просле­ дить явления в бесконечно малом, существенно за­ висит наше знание причинных связей. Успехи в по­ знании механизма внешнего мира, достигнутые на протяжении последних столетий, обусловлены почти исключительно благодаря точности того построения, которое стало возможно в результате открытия ана­ лиза бесконечно малых и применения основных про­ стых понятий, которые были введены Архимедом,

’ Сб. «Об основан иях геометрии», стр . 322.

266

Галилеем и Ньютоном й которыми пользуется совре­ менная физика» *.

Риман говорит, что астрономические данные сви­ детельствуют о неискривленности мирового простран­ ства или, по крайней мере, о ничтожности областей, доступных телескопу, по сравнению со сферой ис­ кривленного пространства. Если даже кривизна про­ странства не равна нулю, то мы можем предполо­ жить, что пространство остается неискривленным в целом, несмотря на искривления в малых областях: «...в таком случае в каждой точке мера кривизны может по трем направлениям иметь какие угодно значения, лишь бы в целом кривизна доступных из­ мерению частей пространства заметно не отличалась от нуля» 2.

В бесконечно малом физические прообразы по­ стоянных метрических отношений, демонстрирую­ щие отсутствие кривизны (прямолинейное распро­ странение света) и инвариантность расстояний — неизменность формы и размеров тел от их положе­ ния в пространстве (существование твердых тел), теряют свою определенность. Поэтому у нас нет уве­ ренности в сохранении метрических соотношений при неограниченном уменьшении пространственных областей.

При переходе в бесконечно малые области может оказаться, что расстояния после определенной вели­ чины далее недробимы. Риман считал подобную недробимость, если она существует, проявлением свойства реальной субстанции, которая заполняет пространство и служит основой пространственных представлений.1

1Там же, стр. 323. ! Там же.

267

Ёсли существует последняя неделимая простран­ ственная ячейка, то число промежуточных ячеек между двумя данными ячейками будет естественным расстоянием между ними.

«Вопрос о том, справедливы ли допущения гео­ метрии в бесконечном малом, тесно связан с вопро­ сом о внутренней причине возникновения метриче­ ских отношений в пространстве. Этот вопрос, конеч­ но, также относится к области учения о пространстве, и при рассмотрении его следует принять во внима­ ние сделанное выше замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических от­ ношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного мно­ гообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообра­ зие, или нужно же пытаться объяснить возникнове­ ние метрических отношений чем-то внешним — сила­ ми связи, действующими на это реальное» *.

Что может служить реальной основой дискретно­ сти пространства, какие физические процессы устра­ няют возможность измерения пространства в мас­ штабах, меньших некоторой минимальной области?

Риман не дал ответа на подобный вопрос, он ждал его от новых фактов, которые не могут быть объяс­ нены в рамках классических концепций.

«Решение этих вопросов,— говорит Риман,— мож­ но надеяться найти лишь в том случае, если, исходя из ныне существующей и проверенной опытом кон­ цепции, основа которой положена Ньютоном, станем постепенно ее совершенствовать, руководясь факта-1

1 Сб. «Об основаниях геометрии», стр. 323—324.

268

ми, которые ею объяснены быть не могут; такие же исследования, как произведенные в настоящей рабо­ те, именно имеющие исходным пунктом общие поня­ тия, служат лишь для того, чтобы движению вперед и успехам в познании связи вещей не препятствова­ ли ограниченность понятий и укоренившиеся пред­ рассудки.

Здесь мы стоим на пороге области, принадлежа­ щей науке — физике, и переступать его не дает нам повода сегодняшний день» *.

Сейчас, сто с лишним лет после речи Римана, у нас есть некоторые основания для физических ги­ потез дискретного пространства и времени. Чтобы подойти к этим гипотезам и к их отношению к про­ блеме бесконечности и относительности, нужно пред­ варительно остановиться еще на некоторых тенден­ циях физико-математической мысли X IX в.

8

Пространство произвольного числа измерений с опре­ деленной кривизной и соответствующей метрикой представляет собой в общем случае множество, за­ данное позитивным образом, с ненулевыми разли­ чиями между точками. Физическим эквивалентом этого геометрического образа является силовое поле, по-разному, вообще говоря, определяющее поведение тел в различных точках пространства. До общей тео­ рии относительности Эйнштейна геометрическая кон­ цепция Римана не могла соединиться с концепцией однородного, негативно заданного пространства, в ко­ тором движение имеет относительный смысл.

1 Там ж е , стр . 324.

269

Подобная концепция лежала в основе знаменитой Эрлангенской программы Феликса Клейна («Сравни­ тельное обозрение новейших геометрических иссле­ дований»), представленной сенату Эрлангенского университета и философскому факультету этого уни­ верситета при вступлении молодого ученого в состав факультета в 1872 г .1

Клейн определил ряд многообразий — пространств (по существу любой размерности) — и соответствую­ щих геометрий, указав инварианты преобразований, образующих ту или иную непрерывную группу. По­ нятие инварианта алгебраической формы было вве­ дено за двадцать лет до этого Сильвестром. Клейн положил указанное понятие в основу классификации пространств и геометрий. Он исходил прежде всего из проективной геометрии, определив ее как учение 0 свойствах фигур, инвариантных при некоторых преобразованиях, образующих группу. Аналогичным образом всякая группа непрерывных преобразований определяет самостоятельную геометрию. В элемен­ тарной геометрии объектом изучения служат свой­ ства, инвариантные относительно преобразований образующих группу движений. Каждая группа пре­ образований определяет самостоятельную геометрию, для которой она служит фундаментальной группой. В такой самостоятельной геометрии преобразуемые фундаментальной группой переменные рассматрива­ ются как величины, определяющие точку простран­ ства, а инварианты группы — как геометрические объекты. Таким образом, группа преобразований

1 Ф. К л е й н . Сравнительное обозрение новейших гео­ метрических исследований («Эрлангенская програм­ ма»). В сб. «Об основаниях геометрии». М., 1956,

стр. 399—424.

270

определяет геометрию и соответствующее ей про­ странство; говорят о метрическом, аффинном,, кон­ формном, проективном и т. д. пространствах. Такие «эрлангенские», или клейновские, пространства од­ нородны, причем их однородность не означает ни­ чего иного, кроме инвариантности геометрических объектов при переходе от одних значений, преобра­ зуемых фундаментальной группой переменных (т. е. от одной точки пространства), к другим значениям этих переменных (к другой точке пространства). Эти значения, определяющие точки клейновского пространства, представляют собой обобщение коор­ динат эвклидова пространства, фундаментальные группы — обобщение группы движений в эквлидовом пространстве, инвариантные геометрические объекты — обобщение расстояний между точками движущейся фигуры, определенных теоремой Пифа­ гора. Отсюда видно, что клейновский характер гео­ метрии представляет собой обобщение известной из элементарной геометрии и классической физики ин­ вариантности внутренних соотношений движущейся системы при ее движении, т. е. относительности дви­ жения в однородном пространстве. Соотношения каж­ дой клейновой, эрлангенской, геометрии определяют неизменность геометрических объектов при переходе из одной точки соответствующего пространства в другую. Иными словами, эти соотношения опреде­ ляют негативным образом различия между точками пространства, проявляющиеся в состоянии геометри­ ческих объектов. Таких различий нет, и преобразо­ вание состоит только в изменении преобразуемых фундаментальной группой переменных (например, в изменении координат движущегося тела в некото­ рой трехмерной эвклидовой системе отсчета при

271

неизменности внутренних геометрических соотноше­ ний в теле), т. е. имеет лишь относительный смысл. Инвариантность относительно фундаментальной группы — более общее название относительности. Сопоставив изменение известных физических пере­ менных группе преобразований, обнаружив неизмен­ ность определенных величин при указанном измене­ нии и сопоставив эти величины инвариантам неко­

о преобразовании от одной инерциальной системы к другой, а инвариантным оказывается расстояние меж­ ду точками,— перед нами классический принцип от­ носительности Галилея — Ньютона. Если наблюде­ ния приводят к инвариантности четырехмерного интервала по отношению к лоренцовым преобразо­ ваниям, мы получаем специальный принцип относи­ тельности. Инвариантность четырехмерного интер­ вала с переменной метрикой по отношению к общей группе преобразований — геометрическая форма об­ щего принципа относительности Эйнштейна. Но во всех случаях речь идет об однородности некоторого пространства, т. е. о негативном задании бесконеч­ ного множества.

Исходные идеи Римана иные. Риман, не обобщая, как это было сделано двадцать лет спустя, понятие геометрического объекта, исследовал длину отрезка. Но эта длина, вообще говоря, не инвариантна.

Задача, решенная Эйнштейном в 1916 г., состоя­ ла в таком представлении риманова пространства, при котором оно оказывается однородным простран­ ством, т. е. негативно заданным бесконечным мно­ жеством. После того как задача была решена, появи­ лось новое обобщение, позволяющее для всякого не­

272

прерывного пространства вывести локальные законо­ мерности из заданных интегральных условий про­ странства в целом. Речь идет об упоминавшейся уже теореме Эммы Нетер.

В 1918 г. Э. Нетер1 доказала, что для каждого непрерывного преобразования координат, при кото­ ром вариация действия равна нулю, существует ин­ вариантная по отношению к этому преобразованию комбинация функций поля и их производных. Инва­ риантности такой комбинации соответствует закон сохранения. Инвариантности лагранжиана по отно­ шению к группе пространственных смещений, т. е. переносов начала координат, соответствует закон со­ хранения импульса. Инвариантности лагранжиана по отношению к сдвигам во времени соответствует со­ хранение энергии. Аналогичным образом из инва­ риантности лагранжиана по отношению к поворотам координатной системы, т. е. из изотропности про­ странства, следует сохранение момента количества движения, а из инвариантности -по отношению к по­ воротам в пространственно-временных плоскостях — обобщенный закон сохранения центра тяжести. Та­ ким образом, из однородности и изотропности про­ странства и времени вытекают фундаментальные за­ коны сохранения.

Нетер обобщила в своей работе идею инварианта, определяющего характер заданного пространства, и соответственно идею однородности последнего и исходные идеи вариационных методов механики и

273