Файл: Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне.pdf

венного расстояния больше определенной величины, так же как на двумерной поверхности сферы расстоя­ ние между двумя точками, откладываемое по окруж­ ности большого круга, проходящей через эти точки, не может превышать длину этой окружности. В та­ кой Вселенной исчезает' физический пространствен­ ный прообраз бесконечности как результата сложе­ ния конечных величин. Пространственно-временной образ сохраняется — время неискривлено и четырех­ мерные мировые линии могут быть бесконечны, так же как бесконечна, например, спираль, опоясываю­ щая цилиндр.

11

В картине эволюции принципа относительности не­ релятивистская квантовая механика представляется некоторым предварительным частным аспектом более широкой, релятивистской квантовой теории. Развитие квантовой механики в 1925 — 1926 гг. и последую­ щее .развитие нерелятивистских квантовых идей слу­ жит с этой точки зрения как бы предысторией начав­ шегося в самом конце 20-х годов развития реляти­ вистской теории электрона, квантовой электродина­ мики и намечающейся сейчас общей теории кванто­ ванных полей и элементарных частиц. Такая точка зрения совершенно естественна в истории релятивиз­ ма. Но, по-видимому, она имеет смысл и в истории квантовых идей.

В наше время основные принципы нерелятивист­ ской квантовой механики приобретают новое освеще­ ние и раскрывают свой действительный смысл при переходе в релятивистский мир высоких энергий, при которых изменение массы становится существенным

290

для движения частицы, и при переходе в ультрарелятивистский мир еще более высоких энергий, доста­ точных для превращения данной частицы в иную.

Квантовая механика, созданная в 1925 — 1926 гг., исходит из наличия корпускулярных и волновых свойств у частицы. Такое соединение исключает воз­ можность одновременного неограниченно точного определения сопряженных переменных: координат точки и компонент импульса частицы в этой точке, а также другой пары сопряженных переменных — времени и энергии, измеренной в это время. Чем точнее определены координаты, тем менее точно оп­ ределен импульс, и наоборот. Таково же соотноше­ ние неопределенностей между временем и энергией. Произведение неопределенностей сопряженных пе­ ременных (координаты и компоненты импульса или времени и энергии) имеет размерность действия и связано простым соотношением с элементарным кван­ том действия — постоянной Планка. Этот принцип неопределенности иллюстрируется обычно мыслен­ ными экспериментами, например, диафрагмой, через отверстие которой проходит частица: чем уже отвер­ стие, тем точнее можно определить координаты ча­ стицы при ее прохождении, но при этом волновые свойства частицы сильнее проявляются в дифракции и изменении импульса; импульс может быть измерен подвижной диафрагмой за счет соответствующего уменьшения точности определения координат в силу сдвига диафрагмы. Напомнив эти соотношения, обра­ тим внимание на само понятие определенности ре­ зультатов измерения координат, времени, импульса и энергии. При попытке уяснения этого понятия на сцене снова появляются бесконечные множества и ха­ рактеризующие их интегральные закономерности.

10* 291

В пространстве, в котором задано некоторое (в ча­ стном случае нулевое) поле, определено позитивным образом (в частном случае негативным) поведение ча­ стицы — ее импульс — в бесконечном множестве то­ чек. Во времени, в котором задано это поле, также определено поведение частицы — ее энергия — в бес­ конечном множестве моментов. Эти два определения могут быть соединены; тогда речь будет идти об ак­ туально бесконечном множестве мировых точек. Квантовая механика в собственном смысле не поку­ шается на существование такой мировой линии как актуально бесконечного множества мировых точек.

Но кроме заданного в пространстве-времени пове­ дения частицы существует еще проблема пребывания частицы в каждой мировой точке на некоторой миро­ вой линии. Проблемой в прямом смысле это пребы­ вание становится в квантовой механике. В классиче­ ской теории закон движения однозначным образом выводит из заданного поля и начальных условий пре­ бывание частицы в каждой точке мировой линии, оп­ ределенной требованием наименьшего действия, т. е. интегральной закономерностью. В квантовой механи­ ке закон движения частицы задан в виде волнового уравнения для волновой функции, определяющей лишь вероятность нахождения частицы в данной ми­ ровой точке (измеряющей квадратом своего модуля вероятность нахождения).

Мы можем судить о пребывании частицы, о том, что частица находится в данной мировой точке, если она взаимодействует в этой точке (т. е. в данном ме­ сте и в данный момент) с некоторым телом, которое не изменяет своего положения в результате взаимо­ действия. Роль такого тела играет, например, непод­

292

вижная диафрагма с неограниченно сужаемым отвер­ стием. Мы можем далее судить о поведении частицы по взаимодействию с телом, позволяющим зарегист­ рировать энергию и импульс частицы.

Теперь рассмотрим множество таких регистраций. Они вовсе не определены заранее. Идея реальности поля приводит, как мы видели, к разграничению двух понятий: 1) поля, существующего независимо от на­ личия пробных тел и определенного интегральным законом, и 2) пробного тела, в отношении которого может быть произведена проверка: соответствует ли его поведение напряженности поля в данной мировой точке. Классическая теория исходит из того, что каждая проверка неизбежно дает точное совпадение значений динамических переменных со значениями, определяемыми интегральной закономерностью. В данном случае слово «определяемые» и означает, что измерения поведения (импульса и энергии) ча­ стицы дадут в каждой мировой точке результаты, в точности совпадающие с результатами, предсказан­ ными решением вариационной задачи. Число подоб­ ных проверок всегда остается конечным, но оно мо­ жет неограниченно возрастать. Речь идет, очевидно, о потенциальной бесконечности проверок и соответ­ ственно результатов. Классическая презумпция — совпадение этих результатов, элементов конечного, но неограниченно растущего, потенциально беско­ нечного множества с предвычисленными значениями динамических переменных, образующими актуально бесконечное множество.

Принцип неопределенности Гейзенберга не отка­ зывается от подобной презумпции. Но она не допу­ скает бесконечного множества таких проверок, при которых определяются состояния, характеризующие­

293

ся сопряженными динамическими переменными: координатами и импульсом или временем и энергией. Этой ценой квантовая механика получает возмож­ ность сохранить классическую презумпцию для каж­ дой из сопряженных переменных в отдельности.

Если точность измерения одной сопряженной пере­ менной не стремится к нулю, точность измерения другой переменной не может неограниченно возра­ стать. Например, в интервале значений координат частицы в пределах размеров диафрагмы нельзя производить все более точные измерения, последова­ тельно переходя к более узким отверстиям, если не отказаться от измерения импульса. Значит ли это, что траектория частицы перестает быть актуально бесконечным множеством точек, определенных ин­ тегральными закономерностями? Нет, траектория ча­ стицы и в этом случае может рассматриваться как актуально бесконечное множество точек, но при этом требуется некоторое обобщение понятия определения элементов множества его интегральной структурой. До сих пор речь шла о непосредственном определе­ нии мировой линии (т. е. положения каждой мировой точки в некоторой четырехмерной системе отсчета) и поведения частицы в каждой мировой точке. Это один тип определения, позволяющий рассматривать поле, а вслед за ним и пространство-время, в кото­ ром задано поле, как актуальную бесконечность. Но может быть и другой тип определения положения мировых точек и поведения частиц. Интегральные закономерности определяют непосредственно лишь вероятность пребывания частицы в мировой точке и вероятность определенного поведения ее в этой точ­ ке. Вероятность определяется для точки и служит от­ личием одной точки от другой. Поэтому определение

294

Вероятности (например, определение ее через квадрат модуля амплитуды волновой функции) для положений частицы в пространстве-времени и ее энергии и импульса не заставляет нас отказаться от представления о поле и пространстве-времени как об актуально бесконечных множествах.

В свое время принцип неопределенности казался апорией квантовой физики. Теперь к апориям (при­ чем во многом напоминающим зеноновы апории) ве­ дет собственно не определенность динамических пе­ ременных, а, напротив, возможность получить сколь угодно точное значение каждой переменной за счет соответствующей неточности переменной, сопряжен­ ной с данной. Эта возможность применить указанную Еыше классическую презумпцию точного определе­ ния к каждой отдельно взятой переменной — «недонеопределенность» нерелятивистской квантовой ме­ ханики, постулат непрерывного поля, постулат клас­ сического объекта, не претерпевающего изменений при взаимодействии с частицей,— ведет к апориям бесконечной энергии.

Представим себе фазовое пространство, в котором координатами служат пространственные координаты частицы и составляющие импульса. Фазовое прост­ ранство состоит из ячеек, объем которых равен кубу элементарного кванта действия — постоянной План­ ка. Принцип неопределенности состоит в утвержде­ нии, что объем фазовой ячейки не меняется (дискрет­ ность действия), а ее величина в одном измерении может уменьшаться неограниченно за счет соответст­ вующего увеличения другой величины. В фазовом пространстве такого рода бесконечность как резуль­ тат деления в одном измерении связана с бесконеч­ ностью как результатом сложения в другом измере­

295

лении времени ведет к бесконечной энергии, а пред­ положение о точном определении энергии — к воз­ можности бесконечного времени, протекающего при измерении энергии. Этот последний вывод содержит­ ся в сущности в апории Зёнона, где невозможность достижения цели стрелой означала, что стреле пона­ добится бесконечное время, чтобы пройти бесконеч­ ное число точек. Аристотель легко опроверг эту мысль Зенона (другие стороны апории потребовали для опровержения иных аргументов), сославшись на то, что при делении пространственной траектории соответственно делится время и, чтобы пройти бес­ конечное число точек, тело имеет бесконечное число мгновений в пределах конечного временного интер­ вала. Аристотель, таким образом, сослался на одно­ типность бесконечности пространства и времени. В фазовом пространстве бесконечность сопряженных переменных разнотипна: бесконечно малому Дг соот­

ности, бесконечности в старом противоречивом смыс­ ле сосчитанного неисчислимого множества, так же как бесконечно большое значение Дг; ведь внутри этого интервала ничто не определено. Это как раз и есть интервал неопределенности, так что здесь не­ применимо рациональное понимание актуальной бес­ конечности.

296

1 2

Квантовая механика пользуется классическими по­ нятиями и классической презумпцией бесконечного ряда все более точных измерений, потому что она в известной мере игнорирует взаимодействие дискрет­ ного поля частиц с дискретным электромагнитным полем, т. е. радиационные, ультрарелятивистские эффекты. В электродинамике такое игнорирование было законным для большой области явлений в силу малости постоянной Зоммерфельда и соответствен­ ной незначительности радиационных поправок. Но в других, а именно мезонных, полях переход и большая величина константы связи между полями не допуска­ ют такого игнорирования. Оно перестает быть допу­ стимым и в электродинамике в случае очень высоких энергий.

Когда мы начинаем учитывать ультрарелятивист­ ские эффекты, перед нами возникает новый образ пустого пространства, в котором движется частица. Этот образ был исходным для представления об относительном движении. Двигаясь в пустоте, тело проходит на каждом конечном отрезке своего пути бесконечное число бесконечно близких положений, которые отличаются одно от другого только расстоя­ ниями от произвольной начальной точки отсчета. Из­ менение положения сводится к изменению этих рас­ стояний. Таково движение частицы, предоставленной самой себе. Когда частица движется в гравитацион­ ном поле, можно отождествить это поле с кривизной пространства, и тогда в данном (с заданной кривиз­ ной) пространстве частица движется как бы в пусто­ те, без взаимодействий с другими телами, не меняя своего поведения и создавая возможность лишь нега-

207

тивного определения актуально бесконечного множе­ ства точек — пространства, в котором движется ча­ стица. Интегральное определение такого пространст­ ва гарантирует движение частицы, соответствующее кратчайшей мировой линии, которую можно найти вариационными методами.

Пространство, в котором, тело не взаимодействует с другими телами, называется вакуумом силового поля.

В свое время слово «вакуум» употреблялось как равнозначное словам «пустое пространство». Теперь смысл этого слова изменился. В вакууме имеется множество флюктуаций поля, т. е. излучений и по­ глощений квантов, не нарушающих нулевого в сред­ нем значения поля в макроскопических областях. Таким образом, негативное определение актуально бесконечного множества (поле равно нулю, частица предоставлена самой себе, она движется по геодези­ ческой) оказывается макроскопически усредненным результатом динамических процессов, приводящих к ненулевым значениям напряженности поля в микро­ скопических областях пространства-времени.

В случае электрона, находящегося в вакууме электромагнитного поля, эти процессы вносят свой вклад в собственную электромагнитную энергию электрона, причем учет этого вклада приводит к бес­ конечному значению энергии. Мы можем представить такой физически абсурдный вывод следующей каче­ ственной схемой. Вакуум электромагнитного поля — это пространство, в котором вектор-потенциал поля равен нулю. В квантовой электродинамике такое зна­ чение вектор-потенциала рассматривается как нуле­ вое число фотонов. Нулевое поле при отсутствии ре­ альных фотонов существует в виде статистических

398