для Ленинграда, то ряды Эджворта 'будут иметь вид (с учетом того, что при построении эмпирического зако на распределения весь диапазон возможных значений температур воздуха 'был разбит на зоны по 2 °С каждая):
Проверка по критерию %г показала, что во всех трех случаях эмпирические плотности вероятностей могут быть аппроксимированы одномерным рядом Эджворта вида
( 8- 12) .
В [Л. 8-20] были рассчитаны детальные статистиче ские характеристики еще одного внешнего фактора — относительной влажности приземного слоя воздуха. Исходный материал был взят по данным метеофондов Северо-Западного управления Гидрометеорологической службы и сведен в таблицы, аналогичные таблицам для температуры. Был рассчитан и построен суточный ход V и S ' для отдельных дней года.
Ѳі |
öé |
На |
рис. 8-3 приведен суточный ход этих оценок для |
1 мая в Ленинграде [Л. 8-15]. В этой же работе были построены гистограммы. Относительная влажность в от личие от температуры или абсолютной влажности явля ется величиной существенно положительной и физически ограниченной сверху и снизу, так как она не может быть менее 0 или более 100%. В связи с этим закон рас пределения для относительной влажности заведомо отли чается от нормального закона и может быть аппрокси мирован с помощью ряда Лагерра [Л. 2-9, 8-14].
Анализ полученных почасовых статистических харак теристик показал, что рассматриваемый процесс измене-
ния влажности также не может быть признан статисти чески стационарным. Из анализа гистограмм видна силь ная изменчивость закона распределения вероятностей относительной влажности как в течение суток, так и в течение года.
В [Л. 8-16] проводилось исследование корреляцион ных функций относительной влажности воздуха, а также функций взаимной корреляции температуры и влажно-
Рис. 8-3. Суточный ход выборочных оценок ма тематического ожидания и дисперсии влажно сти приземного слоя воздуха 1 мая в г. Ленин граде.
сти воздуха. Знание этих функций позволяет не только делать некоторые выводы о внутренней структуре н вза имосвязанности рассматриваемых случайных процессов, но и анализировать совместное влияние внешних факто ров на аппаратуру. Более подробные данные о резуль татах обработки временных рядов метеорологических параметров в различных географических точках Совет ского Союза, к сожалению, нет возможности привести в данной книге, так как они занимают чрезвычайно большой объем. Работа проводилась на ЭЦВМ «Раз- дап-ІІ», БЭСМ-4 и М-220М в ряде учреждений. Частично результаты обработки опубликованы в [Л. 8-2, 8-3, 8-5, 8-6, 8-16, 8-24].
8-3. ЗАВИСИМОСТЬ ПОГРЕШНОСТИ АППАРАТУРЫ
ОТ ВНЕШНИХ ФАКТОРОВ
Следующим этапом в процессе изучения влияния внешних условий на процесс измерения служит получение функции влияния, т. е. функциональной зависимости нормируемых метрологических характеристик прибора
Рис. 8-4. Зависимость погрешности от температуры для приборов Е767 (кривая 1), Е762 (кривая 2) и Е763 (кривая 3).
от .параметров внешней среды тіри различных значениях измеряемой величины. Эта функция первоначально опре деляется при испытаниях головного образца и должна являться основной характеристикой для типа приборов. Проверка ее должна производиться при контрольных испытаниях. В связи с возможными различия ми в работе приборов из-за случайного раз броса параметров в пределах одной техно логической серии в ря де случаев необходимо подвергнуть исследова нию достаточно пред ставительную партию приборов.
Согласно принятой в первом параграфе данной главы модели воздействия на прибо
ры в виде многомерного вектор-процесса запишем нор мируемую 'метрологическую характеристику прибора в виде
У* (0 = ф [* і(0 , x2( t ) , ........... *»(*)]. (8-16)
где ср — функция влияния (случайная функция п аргу ментов); хі — измеряемая величина (входной сигнал при описании отдельного блока); х2, .. ., хп — параметры, внешних воздействий на прибор, характеризующие окру жающую среду, напряжение питания, наводки и т. д. Вообще говоря, рельеф любой численной характеристики функции влияния не-может быть охарактеризован с по мощью сечения по одному аргументу при фиксированных значениях других. Однако в некоторых случаях один или два аргумента оказываются доминирующими.
В.качестве примера рассмотрим влияние темпера туры окружающего воздуха на погрешности аппаратуры при условии .пренебрежения переходными процессами от изменения температуры, т. е. в статике.
Врезультате испытаний в термокамере получается кривая зависимости г/=ср(Ѳ) в виде плавной кривой или совокупности экспериментальных точек, где у — погреш
ность прибора, Ѳ— температура. В случае получения
значений у в ограниченном числе точек, т. е. при фикси рованных температурах Ѳі, 02, Ѳп производится ин терполяция погрешности по шкале температур. Затем производится аппроксимация экспериментальной кривой.
В качестве примера рассмотрим общепромышленную серию первичных измерительных преобразователей — датчиков ВНИИЭП (Е708 и др.) и серию приборов заво да «Вибратор» (Ml 131 и др.). На рис. 8-4 приведены за висимости математического ожидания погрешности от температуры.
Основные выявленные в этом примере типы зависи мостей:
1. Линейная
|
|
|
y= a(Q —Ѳ0), |
|
(8-17) |
где |
а —постоянная |
для |
данного |
прибора |
величина, |
1/°С; |
|
Ѳо — начальная |
температура. |
Например, для |
при |
бора |
Е767 эта зависимость выражается формулой |
|
|
|
0,057(0—30), |
|
|
|
т. е. а=0,057 1/°С; Ѳ0=ЗО°С. |
|
|
|
2. |
|
Параболическая |
|
|
|
|
|
|
|
у = а(Ѳ—Ѳо)2+b, |
(8-18) |
где а |
имеет размерность |
1/(°С)2; |
Ъ— постоянная |
для |
каждого прибора безразмерная величина. |
Например, |
для прибора Е762 имеем: |
|
|
|
|
І/=0,0017(0—25)2—0,05,
т. е. а = —0,0017 1/(°С)2; 0О=25°С ; 0= 0,05.
3. Экспоненциальная
у = а е х р (—kQ)+b, |
(8-19) |
где а и b — безразмерные величины; k — постоянная для каждого прибора величина, 1/РС. Например, для прибо ра Е763 имеем:
у = 2 ехр (—0,0350) —0,3,
т. е. а = 2; Ь = —0,3; £ = 0,035 1/°С.
В общем случае температурная погрешность зависит
•от самой измеряемой величины, т. е. от нагрузки для датчиков (рис. 8-5). Поэтому снятие кривой і/(Ѳ) долж но производиться при различных значениях измеряемой
величины X, что мы отразим, применив обозначение yx(Q))- Характеристики температурных погрешностей необходимо усреднить по плотности -вероятности измеряе мой величины. Практически, поскольку при температур ных испытаниях устанавливается лишь некоторое конеч ное число точек по шкале измеряемой величины, усред нение следует вести не ин
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тегрированием |
функции |
|
|
|
|
yx (Q)w(x), |
где |
w(x) — |
|
|
|
|
распределение плотности |
|
|
|
|
вероятности |
измеряемой |
|
|
|
|
величины, |
а |
суммирова |
|
|
|
|
нием |
функционалов |
тем |
|
|
|
|
пературной |
|
погрешности |
|
|
|
|
в |
фиксированных точках, |
|
|
|
|
умноженных |
на |
соответ |
|
|
|
|
ствующие |
вероятностные |
|
|
|
|
веса. |
|
|
|
|
образом |
|
|
|
|
|
Аналогичным |
|
|
|
|
могут |
|
быть |
получены |
|
|
|
|
функциональные |
зависи |
|
|
|
|
мости погрешностей аппа |
|
|
|
|
ратуры от влажности |
ок |
Рис. 8-5. Зависимость |
погрешно |
|
ружающего |
воздуха, |
іІІЗ- |
|
сти от температуры при различ |
|
менения |
напряжения |
пи- |
ных значениях нагрузки. |
|
тания и т. |
д. |
|
|
|
/ — прибор Е727, |
нагрузка |
100%; 2 — |
|
|
Как |
указывалось |
ра- |
прибор Е727, нагрузка 50%; |
3 — прибор |
|
|
Е715, нагрузка 100%; 4 — прибор Е715, |
|
нее, |
зависимость |
допол |
нагрузка 50%. |
|
|
|
нительной |
|
погрешности |
|
|
|
|
от |
совокупности |
внешних факторов во многих слу |
|
чаях |
не |
является суммой |
воздействий |
от |
каждого |
фактора в отдельности. Действительно, многомерная поверхность отклика, может иметь частные или даже глобальные экстремумы в точках, не совпадающих с уз лами сетки выбранных нами секущих плоскостей. По этому при раздельном определении влияния внешних факторов может быть получена картина внешне благо получная, в то время как при реальной работе прибора могут иметь место недопустимо большие погрешности. Определение поверхности отклика в многомерном про странстве может и должно производиться в камерах, допускающих одновременную имитацию совокупности факторов.-В мировой практике известны камеры, одновре менно имитирующие до семи влияющих величин. Есте-
ственно, что эффективное применение такой камеры возможно только в рамках применения современного аппарата планирования эксперимента. При этом необхо димо применять рациональные методы поиска экстрему мов, например метод наискорейшего спуска, метод гра диентов, метод оврагов и т. д. Насколько известно, применительно к данному вопросу планирование экспе римента разработано недостаточно, хотя можно со слаться на выполненные на высоком уровне работы [Л. 8-23, 8-25]. Даже краткий обзор имеющихся работ выходит за рамки данного исследования и заслуживает самостоятельного рассмотрения. Отметим лишь, что по лученные выше зависимости были получены при помощи применения линеаризующего преобразования с после дующим использованием уравнений регрессии на основе метода наименьших квадратов.
S-4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ
Зная статистические характеристики внешних факторов и зависимость погрешности аппаратуры от из менений внешних условий, можем найти статистические характеристики погрешности. В случае, если известна плотность вероятности для внешних факторов, можно найти плотность вероятности дополнительной погреш ности по правилам нахождения характеристик функций от случайных аргументов. Однако при многих видах за конов распределения внешних факторов вычисления по лучаются весьма громоздкими. Если требуются только первые моменты распределения в одномерном случае, то они могут быть получены непосредственно через мо менты распределения влияющего фактора. В общем ви де начальные моменты распределения погрешности У вычисляются в статистике по формуле
тк-= £ а,- (іщ) |
(8-20) |
/—і |
|
где гщ — априорно известные моменты распределения внешних факторов, полученные в результате обработки исходного статистического материала, например приве денного в § 8-2; йі — коэффициенты аппроксимирующего полинома; k — порядок момента распределения У. Мето-
ззо
