Файл: Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений.pdf

но принять за математическое ожидание погрешности. Если прибор в некоторой точке шкалы х имеет только систематическую погрешность у, то это означает, что распределение вероятностей выродилось в дельта-функ­ цию Дирака

Щ{у\х)=&{у— у).

Дельта-функция Дирака определяется условиями

8(9) , оо нр,, , = 0;

I 0 при у ф 0.

Пользуясь заимствованной из теории связи термино­ логией, будем различать погрешности а д д и т и в н ы е , т. е. такие, вероятностные распределения которых не за­ висят от значения измеряемой величины:

где уо — значение погрешности при х = 0, а k — постоян­ ная. Естественно, что в измерительных устройствах воз­ можен и другой характер зависимости погрешности от

Рис. 1-4. Зависимость математического ожидания погрешности от шкалы прибора.

измеряемой величины, но аддитивные и мультипликатив­ ные погрешности могут служить весьма полезной мо­ делью, охватывающей значительную часть реальных си­ туаций. В соответствии с этим формулами определяются различные моменты от распределения вероятности в каждой точке шкалы. Например, на рис. 1-4 показано

математическое ожидание погрешностей по шкале при­ бора от 0 до L для одного из частных случаев (сплош­ ная линия); пунктиром показана ломаная, получающая­ ся при восстановлении исходной зависимости по резуль­ татам измерений в дискретных точках шкалы, как это часто делается.

Для каждого значения х можно оценить максималь­ ную погрешность укакс(х), среднее значение

и среднеквадратическое

°у (х ) = ] / Л J [У (х) - У (дс)] wy (у IX) dy (л-) =

Перейдем далее к описанию множества всех возмож­ ных значений погрешности по шкале прибора. Естествен­ но, что при этом нужно учитывать распределение веро­ ятностей X, обозначаемое ниже как шД.ѵ). Моменты этого распределения соответственно равны:

среднее значение

максимальное значение

yMaKc = sup sup у(х).

X У

Здесь {хь хг] — диапазон существования измеряемой величины.

Перечисленные три характеристики являются усред­ ненными по всей шкале. Например, при равномерном распределении вероятностей измеряемой величины

50

wx(x) = (1/L) ХП(х/Ь), где П — функция, равная 1 при значениях аргумента между 0 и 1 и 0 при всех осталь­ ных его значениях (Л. 1-14], и равномерном распределе­

являются, во-первых, абсолютными погрешностями (т. е. имеют размерность измеряемой величины), во-вторых, являются-частными значениями более общей характери­ стики—среднего риска (Л. 1-13].

Для перехода к относительным значениям необхо­ димо введение весовой функции gi(x), на которую необ­ ходимо умножить характеристику погрешности в ранее

Возможно также взвешивание_на более позднем эта­ пе, например, путем умножения У на g2 (x) = 1/хмаКс-

Введение весовых функций оправдано в тех случаях, когда по условиям измерений необходимо учитывать от­ носительные отклонения или сравнивать между собою приборы, предназначенные для измерения разнородных величин.

Приведем еще один показатель, сконструированный по тому же принципу, что и разъясняемый ниже пока­ затель для динамических погрешностей, предложенный Гловером {Л. 1-15]. Запишем этот среднеквадратический

Основные достоинства этого показателя следующие:

1)в равной мере пригоден для оценки в тех слу­

чаях, когда г/мако^х и максимальной погрешностью в знаменателе можно пренебречь, и для оценки измере­ ний с большим удельным весом погрешности;

51

2)не зависит от знака измеряемой величины и по­ зволяет учесть удельный вес измерений в области х~0;

3)соединяет достоинства среднеквадратических по­ казателей и относительных погрешностей.

Покажем далее, следуя методике, изложенной в [Л. 1-13], что средний риск г является некоторой общей функцией от перечисленных выше функционалов. На­ пример, в конкретной точке шкалы

где л[г/(.ѵ)] соответствует риску при конкретном частном

погрешности в данной точке шкалы). Аналогичным об­ разом при

ности превышения по абсолютной величине границ поля допусков (доверительной вероятности). Зона 2еі есть интерквантильный интервал, т. е. область, в которой ле­ жит заданная доля генеральной совокупности.

В ряде случаев различные по величине ошибки при­ водят к различному ущербу. Например, функция риска может иметь вид:

А,у2(х) при у'(х) < а (х);

(1-49)

А2у2(х) при у ( х ) ^ а(х).

В частности, а может равняться нулю.

Вместо понятия «риск» в ряде работ используется равнозначное ему понятие «функция штрафов».

Все изложенные выше соображения касались оценки приближения к истинному значению измеряемой вели­ чины, причем последняя предполагалась заданной с не­ ограниченной точностью. Другими словами, не учитыва­ лось квантование по уровню измеряемой величины. Меж­ ду тем квантование либо автоматическое (в цифровых

52

Этот подход .связан с ошибкой r принятии решения о том, в каком из интервалов ди­ скретности лежит измеряе­ мая величина.

Другой подход соответст­ вует утверждению, что даже в случае вынесения правиль­ ного суждения о том, в ка­ ком интервале дискретности лежит измеряемая величи­ на, мы имеем так иазываевую погрешность дискрет­

ности, связанную с тем, что всему интервалу присваива­

что значение погрешности квантования ук обусловлено не только X, но и у. Поэтому неверны попытки считать

довать взаимную корреляцию ук и У и только после это­ го решать вопрос о моментах их композиции. Иногда имеется возможность сложения дисперсий. Подробнее этот вопрос решен в § 3-2 настоящей книги и в [Л. 1-15].

Все приведенные выше характеристики относились к отдельному прибору. Для оценки технологической се­ рии приборов необходимо усреднить полученные погреш­ ности по ансамблю возможных значений в рамках этой серии. Даже математическое ожидание погрешности в каждой точке шкалы внутри технологической серии есть величина случайная.

В противном случае следует говорить о браке про­ изводства. Получение распределения погрешности внутри серии возможно как методом непосредственных испыта­ ний достаточно представительной партии, так и на осно­ вании расчетов исходя из особенностей принятой техно­ логии. В первом случае необходимый объем выборки оценивается на основании известных формул статистики

(см., например, [Л. 1-55]).

53