Файл: Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 0
Т а б л и ц а 1-2'
Связь автокорреляционных функций и спектров
№ Автокорреляционная функция |
Дисперсия |
Энергетический спектр Ож(ш) |
|
п/п. |
|
О Д = 02 |
|
1 |
С23= (т) |
0 |
С2 |
Характеристика процесса |
Примечание |
Белый шум (несингуляр |
— |
ный, физически нереализуе |
|
мый процесс) |
|
2С2
—sin СОсТ
3С2 exp (— о 1г 1), где а s= /?КСК;
здесь и Ск—сопро тивление и емкость кон денсатора
С2сос |
С2 |
при |
1СО1 < со0 |
|
0 |
при |
1ш 1> шс |
С2 |
|
2С2а |
|
|
|
а2 |
со2 |
Результат прохождения бе лого шума через идеальный (физически нереализуемый) фильтр нижних частот. Син гулярный процесс
Несингулярный |
процесс. |
Первая |
про |
|
Имеет разрывы первого |
рода |
изводная от |
||
для первой производной. |
По |
автокорреля |
||
лучен при прохождении белого |
ционной |
|||
шума через ЛС-фильтр |
|
функции |
||
|
|
|
имеет |
раз |
|
|
|
рыв первого- |
|
|
|
|
рода |
при |
|
|
|
т = |
0 |
4 |
С2 ехр (— ах2) |
С2 |
|
Сингулярный процесс, полу |
|
|
|
С2 |
ехр(—0)2 (4а)_І) |
ченный при прохождении бело |
|
|
|
го шума через |
гауссовский |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
низкочастотный |
фильтр |
№ Автокорреляционная функціи |
Дисперсия |
Энергетический спектр G^t“ ) |
||||
п/п. |
|
£>[X]=a2 |
||||
5 |
С2 |
C2 |
0 |
при |
1со 1< |
со, |
|
(sin cö2t:— sin cö^) |
— (C02—CO,) |
С2 |
при a>i< | со | < со2 |
||
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
при |
1со 1> |
со. |
6 |
C2 cos px exp (— о 1T 1) |
C2 |
С2“ [а 2+ (Р + |
со)2 + |
||
|
|
|
||||
+ а2 + (Р — со)2]
Продолжешіе табл. 1-2
Характеристика процесса |
Примечание |
||
Сингулярный |
процесс, по |
|
|
лученный |
при |
прохождении |
|
белого шума через идеальный |
|
||
(физически |
нереализуемый) |
|
|
полосовой фильтр |
|
||
Несингулярный процесс, по |
См. приме |
||
лученный |
при |
прохождении |
чание к п. 3. |
белого шума через колеба тельный контур
7
8
C2 ^cos to0x +
+ ^ 7 sin“ o h i ) x
Xexp (— a 1X1)
Гa2x2 "] C2I 1 + a 1X 1+ — X
Xexp (— a 1X1)
C2
C2
4С2а(сс2 + и*) |
Несингулярный процесс, по |
См. приме |
|
[со2 —(со0 + а)2]2 + 4а2со2 |
лученный |
при прохождении |
|
белого шума через колеба |
чание к п. 3. |
||
|
тельный |
контур |
|
16С2а6 |
Процесс, |
полученный |
при |
3(а2 + со2)3 |
прохождении |
белого |
шума |
|
через тройной /?С-фильтр |
||
№ Автокорреляционная функция |
Дисперсия |
Энергетический спектр Сж((і>) |
||
п/п. |
**<*> |
D[X}=а? |
||
|
|
|
|
|
9 |
С2(1 + « Ы ) Х |
С2 |
4а3С2 |
|
|
X exp (—а 1X1) |
|
(а2 + |
(о2)2 |
10 |
С2 cos со0х |
С2 |
С23(со — ш0) |
|
|
|
|
||
11 |
П |
0,5 f С2 , |
п |
|
|
0,5 2 С \ cos ave |
0,5 У] |
5(со — соЛ) |
|
|
k— \ |
А=1 |
А=1 |
|
12 |
0,5C2^(x) cos со0т |
0,5С2 |
|
|
Продолжение табл. 1-2
Характеристика процесса |
Примечание |
Процесс, полученный из бе |
— |
лого шума путем пропускания |
|
через двойной ЯС-фильтр |
|
Периодический случайный — сингулярный процесс со слу чайной фазой с фиксированной частотой cd0 и амплитудой А
Сумма п |
процессов вида, |
— |
указанного |
в п. 10 |
|
Синусоидальный процесс, |
При |
посто |
модулированный по амплитуде |
янстве на |
|
случайным процессом | (t) |
чальной фа |
|
|
зы |
процесс |
периодически нестациона рен
«флюктуируют» корреляционные функции (спектры) от дельных реализаций. Если реализации достаточно длин ные и справедлива эргодическая гипотеза, то «флюктуа ции» относительно малы и в результате обработки одной реализации получается среднее значение корреляцион ной функции или спектра. Для «коротких» реализаций более уместно говорить о текущем спектре и текущей функции корреляции, а для нестационарных процессов — о среднем, текущем и мгновенном спектрах [Л. 1-4]. Так для нестационарного процесса справедлив следующий аналог теоремы Винера — Хинчина:
00
= |
J G xH cosco-dco; |
(1-19) |
____ |
О |
|
оо |
|
|
Gx (ш) = |
2 j" Rx(т) cos штdt, |
(1-20) |
|
о |
|
где Rx (т) и Gx(co)— соответственно средние |
значения |
|
автокорреляционной функции и средний спектр на одном и том же интервале времени.
Представляет также интерес связь между так назы
ваемой |
обобщенной спектральной |
плотностью |
процесса |
G 0 ( cöi, |
юг) и автокорреляционной |
функцией |
[Л. 1-48, |
1-52]. Нестационарный случайный процесс Х(і) может
быть записан в виде |
преобразования |
Фурье — Стиль- |
тьеса |
|
|
|
ОО |
|
X (0 = |
2^ I ехр ЦЫ) dG (cd), |
(1-21) |
|
•J |
|
|
— 00 |
|
где G(о)) — некоторая функция частоты.
Определим обобщенную спектральную плотность про цесса как
|
Go(°V ш2) |
дВх (cab со2) |
|
dcO,(?CÜ2 ’ |
|
|
|
|
где Вх (он, |
со2) = G (ecu) G (со2) . |
|
Тогда |
аналог теоремы Винера — Хинчина |
|
случае принимает форму |
|
|
( 1-22)
в данном
|
00 |
00 |
* |
Rx{v, |
j |
j exp [ - j Kf, - |
шЛ-шах)] X |
|
— 0 0 — CO |
|
|
|
X Go H , «oj dwl dm2\ |
(1-23) |
|
41