Файл: Журавлев, Ю. П. Системное проектирование управляющих ЦВМ.pdf

тогда среднеквадратическое значение результирующей ошибки достигает минимума при том значении N*o, кото­ рое является решением уравнения

при условии, что вторая производная

при подстановке в нее найденного значения N*o стано­ вится положительной. В том, что это действительно так, нетрудно убедиться на простых примерах.

Пример. Пусть необходимо методом Симпсона вычислить опреде­ ленный интеграл

ь

y = \ f (х) dx,

а

где

f(x)=c^xP + c2x P - i + . . . + c s- 1x + c s, 0 < а < 6 < 1 , Ci>0, 4,

целое, положительное.

Абсолютная погрешность Д„ метода Симпсона имеет вид:

|ДиК(*>—a)V№(2ky-M,

где

М — шах | fIV (х) |.

Для нашего случая

шах | flv (х ) | > О,

и поскольку диапазон интегрирования зафиксирован, то

M =const>0,

и, следовательно, можно записать:

max(Aj,) =Л/£4,

где

А — (Ь—а)5 • М • 180 ■16>0.

Для любого закона распределения случайной величины суще­ ствует связь между ее максимально возможным и среднеквадра­ тическим значениями:

0= d - m a x ( A „ ) , d > 0.

В тех случаях, когда появление сколь угодно большого значения случайной величины не исключено, под шах (А„) подразумевается такой предел, что появление случайной величины большего значе­ ния имеет достаточно низкую вероятность. Например, в случае нор­ мального закона распределения случайной величины вероятность появления последней, превышающей значение Зет, -менее одного про-

3 2 9

цента (закон «трех сигма»), В случае равномерного распределения d= V 3 и т. д. Поэтому можно записать:

<Тм = ^м • |тах(Л „) | = й ыА/к1.

Для среднеквадратического значения тги инструментальной ошиб­ ки справедливо выражение:

°и = °окР V^V/12.

ошибками однократного округления имеет вид:

0окР= max (ДокР)/2 К Т = 1/2 V T '2 * 4

поэтому

0И= 2~К°П/\2-VN.

Последнее соотношение выражает величину среднеквадратиче­ ской инструментальной ошибки в единицах младшего разряда опе­ рационного устройства. Для того, чтобы можно было объединить под знаком суммы величины сгм и ая, последнюю необходимо пред­ ставить в размерности результата:

ии= 2~R°a-T /l2 V ¥ .

Здесь Т — вес младшего разряда операционного устройства в размерности результата вычислений.

Поскольку N —k - m, то окончательно имеем

аи= 2~^оп-Г• VnT/12Vk,

или va = В Vk , где

B = 2~R°*-T- V m / 1 2 .

Таким образом, для отыскания оптимального количества шагов разбиения интервала интегрирования с целью уменьшения резуль­ тирующей ошибки необходимо решить уравнение

{dм А2/к° + В = 0

относительно величины k. Поскольку

dM> О, А>0, В>0, k>0,

то вторая производная всюду положительна и, следовательно, суще­ ствует единственный минимум суммы квадратов ереднеквадратиче-

330

ских значений инструментальной ошибки и ошибки численного ме­ тода. Таким образом,

° m i n = З т + m I n ( 0м + аи ) .

ошибки результата в данном случае будет иметь место, если диа­ пазон интегрирования разбить на 65 интервалов. Длина цепочки округлений будет при этом равна 455.

С увеличением разрядной сетки уменьшается величина инстру­ ментальной ошибки и поэтому для уменьшения среднеквадратиче­ ской ошибки результата необходимо повышать точность численного метода, т. е. уменьшать шаг интегрирования. Количество шагов ин­ тегрирования для рассматриваемого примера в зависимости от раз­ рядности операционного устройства приведено в табл. 8.4.

Рассмотренный пример преследует чисто иллюстративные цели, поскольку нет никакой необходимости вычислять методом Симпсона определенный интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Однако практическое значение этого примера заключается в том, что он наглядно демонстрирует необходимость предъявления вполне обоснованных требований к точности того или иного численного метода.

331

§8.7. БЛОК-СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАД АЧ СИСТЕМНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Глава 7, в которой рассматривается порядок выбора и расчета основных технических характеристик управля­ ющих ЦВМ на этапе системного проектирования, пре­ следует, в основном, чисто иллюстративные цели и ориентирует читателя на последовательное решение задач этого этапа. Материалы этой главы могут служить пособием по дипломному и курсовому проектированию, которые, как правило, характеризуются узкой постанов­ кой задачи и ограниченным числом часов отводимого учебного времени. В действительности, как об этом уже указывалось в § 1.1, задачи системного проектирования управляющих ЦВМ из-за взаимной зависимости основ­ ных технических характеристик машин должны решать­ ся комплексно, что вызывает вполне объяснимые труд­ ности.

Один из возможных вариантов блок-схемы решения задач системного проектирования управляющих вычис­ лительных средств приведен на рис. 8.2. Отдельные блоки помечены номерами, а стрелки, соединяющие блоки, указывают на влияние результатов, полученных в одних блоках, на характер работы других блоков.

Блоки 1—8 отражают последовательность решения задач при выборе внутреннего языка машины, которые достаточно подробно описаны во второй главе. Отно­ сительно третьего блока необходимо сделать следующее замечание. Известны трансляторы, переводящие выра­ жения с языков высокого уровня на внутренние языки конкретных ЦВМ. Это дает основание полагать, что можно построить транслятор, переводящий выражения с языков верхнего уровня на внутренний язык некоторой абстрактной ЦВМ, обладающей выбранной системой операций и адресностью. Для работы такого трансля­ тора последнему необходимо задать конструкцию фор­ мата команд этой машины. Здесь возникает трудность, связанная с тем, что разрядность адресной части коман­ ды не известна, поскольку не определена емкость ОЗУ, которая, в свою очередь, зависит от объема программы в битах, т. е. в том числе и от разрядности адресной части команды. Эта трудность может быть относительно легко преодолена, если заведомо завысить значения разрядностей адресов. Внесенная здесь ошибка будет

332