Файл: Журавлев, Ю. П. Системное проектирование управляющих ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 106

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П Р И Л О Ж Е Н И Е 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ ОШИБОК ОКРУГЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ

Ошибки однократных округлений бь 6 2 , бз, возникающие при

выполнении элементарных операций сложения (вычитания), умно­ жения, деления, соответственно определяются следующими соотно­ шениями (см. § 4.4):

 

 

 

 

( 1 )

 

 

*

* 0^+^*+^ 0°6s I ^ I)

(2)

 

 

* 2

— feoP

 

 

 

83= | / . - ^ n v | ) .

(3)

 

 

 

 

Ошибки 8 , , 8 2 , 8 3

являются функциями случайных величин | 0 , | Х| ,

M , | d s |, /„/*•

 

 

 

Значения

а ь о2,

<т3

среднеквадратических

ошибок округления

соответственно

операций

сложения (вычитания), умножения и де­

ления могут быть найдены, если известны дифференциальные законы распределения аргументов функций бь 6 2 , бз.

Интегральный закон распределения функций 61 определяется

многомерным интегралом

где f(gо, U, h. d u d2) — плотность распределения системы случайных величин go, h, li, d\, d2.

Для независимых случайных величин go, U, h, d \, d2 плотность распределения системы равна произведению плотностей распределе­ ния отдельных величин, входящих в систему.

В § 4.4 приведены плотности распределения ошибки однократ­ ного округления мантиссы g(£0), модулей мантисс первого и второго

чисел,

участвующих в операции, g'(ldil)

и g ( \ d 2\).

Там же приве­

дены

плотности распределения

модуля

мантиссы

произведения

^(| Я|)

и модуля частного £Г(М).

 

 

На основе анализа потока

информации для конкретной функции

управления, реализуемой с помощью ЦВМ, может быть определен закон распределения порядков чисел. Пусть распределение порядков чисел, участвующих в элементарных операциях, подчинено равномер­

ному закону —kzg:(l 1, h ) ^ k ,

где

максимальное значение

моду­

ля порядка. Тогда плотность распределения порядков чисел

равна:

g(U)=g(h) = U2k.

 

 

 

Область D интегрирования

выражения (4) определяется преде­

лами изменения аргументов функции 8 t,

значениями функции Е (| rfsr[)

и предельными значениями функции 8 ,.

 

 

Пределы изменения величин go, U,

/2, d 1, d2 известны.

 

Аргумент функции Е (| d x |)

ограничен и не превосходит числа 2.

Поэтому для функции Е (|'rf£ ()

возможны лишь два значения:

 

348

Это обстоятельство существенно упрощает отыскание области интегрирования выражения (4).

Элементарные выкладки показывают, что

inf 8, = _ — Р - Т ( Н - О

sup 8, = ~2 ~p_nph (Р

1).

Для определения распределения

G (Sj) диапазон изменения

функции 8,

 

 

------2-ph' n (l + Р ) < 8 1 <

- г

^ - « ( 1 +Р)

удобно разбить на 'промежутки:

 

 

и

В соответствии с таким разбиением диапазона изменения функ­ ции 6i на области отыскивается значение Р (Ai^6i) . Затем по найденному интегральному закону распределения определяются плотность распределения величины и ее числовые характеристики.

В частности, среднеквадратическое значение ошибки операции сложения — вычитания описывается выражением

а

 

P_p--» +i _ 1■(А + В + С)'

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ? ) 2 Г(1 — р-« — р-«) (1 + ? ) ( 3 №+ , - p + p - » - i ) -

 

— 2^-«+1 (2 6 Р + 2 —

 

— р

+ р -2*)];

 

 

В =? -75- (1 — р - " +

р-1) [2Щгк+ * — P2h+ 2 — 2k^k +

р2 +

 

+

2 р +

1 — 2 р-

г ' 1 + 1

— p~2ft];

 

 

( З 2 —

1)

 

-

0

(1 -

Р ~ " ) -

( Г 1 -

Р - " )

с = 2 ( i - p - n j p - . ) - ИР

2 ( 1 — Р ~ " — Р- 1 )

 

 

 

 

 

 

Х ( 2 _р-»_р->)](р2н-8_ р - !Л).

349

Для (5 = 2

и 2~п< 1

выражение для расчета среднеквадратиче­

ского значения

ошибки

операции сложения — вычитания принимает

вид

 

 

2~п

______________________ ______

o , s - д -

5/ 312-22|Ч-18й-22Ь— 16-2-“(6/e-22it—22* + 2 - 2ll)-f 144.2-fc.

Аналогичным образом могут быть получены выражения для

определения среднеквадратических значений ошибок округления, воз­

никающих

при

выполнении

операций

 

умножения

(6 2 )

и

деле­

ния (бз):

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{(1 — Р- ")* [In Р2 ( 1 - Р - я ) - 1 ]

+

2 К З (1 — р - « — |3-я ) (Р2— 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

+ р - 1 (1 -

In Р) + р - 2

[In

Р - 2 р - Ч п р (1

_

Р - » )

_ р - > _ 2 р - » +

IJ}

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Х ( Р ^ + * —

р - « + 2 +

р - ** —

 

 

+ 2/fep2 — 1}

8 ;

 

 

 

 

 

з „

--------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р-1

 

 

 

 

 

■57ГГр~‘-

 

п V [P4fc+t- p - tt-2P*iSojp*j .

 

 

 

 

 

 

’

 

 

 

 

1~0

 

 

 

 

В последнем выражении:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Г (1 - р - я ) г

Р - 2

 

dv

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2v2

( 1 _ Р - П _ Г

,)2

 

 

 

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

Г Г 0

— Р- " ) 2

Р " 2

 

 

 

 

 

 

 

 

-

J !

 

 

2 v 2

2

 

(1 _ _ р - П _ р - 1 ) 2

'

 

 

 

/ - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р В - Г ” )

 

( l - p - n ) 2

Р—2 •

dv

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 v 2

 

2

 

( l - p - * _ p - > ) 2

 

 

 

“

J

 

 

 

 

 

 

 

 

р- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При [5 = 2 и

2 - п- с 1

среднеквадратические

значения

 

ошибок

округления, возникающих при выполнении операции умножения и де­ ления, рассчитываются по формулам:

(16.2« — 3 - 2 - ^ — 24й— 1);

з

2

V 10 (16 - 24fe — 2~4h — 8)

12 \ГЪ

3 5 0

П Р И Л О Ж Е Н И Е 3

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОВЕРКИ МЕТОДОВ РАСЧЕТА РАЗРЯДНОЙ СЕТКИ

I. В § 4.9 описан искусственный прием исследования инструмен­ тальной ошибки ЦВМ с целью проверки гипотезы о независимости ошибок однократных округлений в элементарных арифметических операциях вычислительного процесса. В соответствии с этим при­ емом был проведен эксперимент на ЦВМ с запятой, фиксированной перед старшим из 44 двоичных разрядов, округление в которой про­ изводится путем отбрасывания младших разрядов, выходящих за пределы разрядной сетки.

Эксперимент, проведенный автором совместно с Л. В. Павлю­ ченко, заключался в вычислении определенных интегралов

■t

методом Симпсона, причем в

качестве подынтегральных функций

y i j = f i j ( x) были использованы

случайным образом выбранные 100

кубических парабол, 100 квадратных парабол и 1000 прямых, для каждой из которых искусственным приемом, описанным в § 4.9, осуществлялась выборка 32 различных разультатов за счет слу­ чайного изменения величины свободного члена dij.

Коэффициенты a,-, bt, с,-, dij, пределы а< fn и шаг интегрирова­ ния hi выбирались случайным образом из некоторых диапазонов

сучетом следующих ограничений.

1)Величины а%, bu с,, dij, at, ^ должны быть кратными цело­

численной отрицательной степени двойки при условии, что модуль этой степени не превышает 44. Другими словами, эти величины должны представляться в 44-разрядной сетке машины без ошибок.

На величину шага интегрирования /г,- наложено дополнительное ограничение, заключающееся в том, что значения h i /З должны пред­

ставляться в разрядной сетке машины также без ошибок. Это озна­ чает, что должно выполняться условие:

ft/3=M-2-\

где М — целое, положительное число.

2) Поскольку на каждом шаге интегрирования методом Симп-

351

Смотрите также файлы