Файл: Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы.pdf

Р '

min

&hIn Aft = (v + 1) [(р + 1 — /) In <7+

In Д + In (v +

1)].

9

k=0

(23)

Введем обозначение

(0= ( v + l ) ( ( p + l —/)In <7+ In Л+l n

(v+1)].

(24)

ставив

полученные значения

в (23),

можно

было

бы найти

min 5УЛ/с In Ал. Однако р

нам неизвестно;

в этих условиях для опре­

деления

min 2 ' Д/, In Aft

можно

поступить

таким

образом:

придавая

<7

'

р

min

As In A,t+: inf со,

q l ( q - \ ) - i P + l ) l ( q r +l - \ ) = l .

(28)

((7Р -и_1)2/((7_ 1)2+ (;э+|1 )2?р= ;[((7р+)_ 1) _ ,( р+1)(7Р+1

\nq]pq'.

(29)

Для любых значений q, кроме q= 1, знак производной

p'q совпадает

со знаком выражения

(30)

dl

=

— ( P + . l ) l n q.

(31)

dqv+ 1

Несложный анализ показывает, что функция £,(qp+l) при любых

положительных

значениях

qp+l имеет отрицательное значение;

в точке

<7 = 1 она достигает

максимума, равного нулю.

Следовательно,

и производная

p ' q

для всех значений

q, кроме

<7=

1,$

отрицательна. С учетом

этих

замечаний можно утверждать,

<7со

для значений 0 <;<7 <

1 имеет отрицательное значение, а при

что -т—

dq

Р* <7со

[см. формулу (27)].

Значит

нижняя грань со не может

Я>

dq > 0

достигаться ни при каком q,

отличном от 1. Уравнения (19),

(20) для

<7 = 1 превращаются

в

равенства:

(р-|-1)Л =1,

Ар(р+ 1)/2=р + 1—I,

решением которых

является

р + 1 = 2 / —1,

Д=1/(2/ —1).

После под­

становки этих равенств в (24) получим

o>(<7 = l )

=

(v + l ) l n [ ( v + l ) / ( 2 / - l ) I .

Можно

показать,

что

Нш со — lini со =

со (<7 =

1),

поэтому

inf w «=

<7 - > I — 0

< 7 -> l+ 0

9

= ( v + l ) l n [ ( v

+ l)/(2 / - l ) J

'

v -j- 1

S &h In ift -.j ( v + l )

Injjpzry-

*=o

Возвращаясь к (12), получаем [выражение для g (п):

g (п) >

е ~ *v+1>(v -f- 1),+ |/(2 / — 1 )v + l

(32)

Правую часть неравенства

(32) можно несколько преобразовать;

р - ( » + 1 )

+ ± Д ) ’*' е*'и <«'>Х

_________1______

_____

р —0/12 ( v + l )

=

Х

K2*B(v +

I) (2/ —

1)v + l

с

(у+ 1)!

____о -6/12(4-1),

0 <

0 <

1.

K2it(v + l)(2f— l)v+1

Поэтому

g («) >

_______ (v +

1)?________ e-8/12(v+ l)

(33)

V2n(v+

1) (2/ — 1)V+ I

О<

0 <

1

для любого п,

большего некоторого п0. Итак, лемма 3

доказана. При

совместном рассмотрении формул (10), (33) получим

зависимость

0 5 .;, <

Cb~l K 2* ( v + 1 ) е0/12 tv+1> (^2

- 1 J V+‘ =

- Сь~1 V2iz (v +

1) е0' 12 <v+1>(21 -

1),+1,

(34)

v =

p2", b = 2n/2,

/ = a/(g + 2-»),

O < 0 < 1 .

c a -

(, + '')|v V

- , ')rlli:L±1) <

*2» ‘ = ^ f ' 2^ "

' 2,

V 2 k (v +

1) = /2тс([<2и + 1) < V

Щ 2 п = 2 К^р2"/2,

ее/ 1 2 (v+i)< 2> о < 0 < 1 ,^(2 / — i )v+1 =

— ( 2

1+ 2 -

?2я+1 < 2

а

\р2я+*

( 2

Поэтому

<?ь,л

; 4

-----1^

V ^ 2 nl \ w f nl2 2n2n,i ^2 - j ------\ J - n-

(35)

больше Si/r, где г — некоторое

число,

заключенное в

пределах

1< г< 0,5 -2'!/2. В этом варианте все

преобразования сводятся к за­

мыканию дополнительных входов и выходов

между собой.

Произво-

-

-

- -

„

-

а

$

6

Рис.

7.

линии нового покрытия, а через ASj, Avj обозначим

A S;=S;*—S i ,

(36)

Avi=Vi*—v,-.

(37)

0s£ASisS6 • ]S,-/r[+9 • 2ft/2 < 6 (S i/r) + 9 • 2ft/2 + 6,

(38)

OsSAvi < 8 • ]Si//-[+6<8(Si/r) +14.

(39)

2. Число дополнительных входов в i'-й большой квадрат больше

Si/r.

*> На рис. 10 показан случай, когда главный выход расположен

на стороне рассматриваемого большого квадрата. Если

главный

выход

из рассматриваемого большого квадрата находится внутри

этого большого квадрата, то сначала точка главного выхода соеди­

няется

с какой-либо его стороной, а затем к средней линии добав­

ляется

участок, проходящий по всем

сторонам,

как

это

показано

на рис.

10. Увеличение длины средней

линии при

этом

не

превосхо­

дит величины

5 • 2h/2, а число точек излома средней линии возра­

стает не более,

чем на 6.