Файл: Приближенные методы решения задач теории упругого режима фильтрации.docx

Рисунок 3 – Кривая распределения давления в прямолинейно-параллельном потоке по методу А. М. Пирвердяна

Рассмотрим прямолинейно-параллельный фильтрационный поток упругой жидкости (рисунок 3). В горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины B пущена в эксплуатацию галерея с постоянным дебитом Q. К моменту времени t после пуска граница возмущенной области продвигается на величину

, при этом кривая распределения давления в этой области задается в виде параболы так, что в точке

касательная к параболе горизонтальна, т.е.

(1.3.1)

Дебит галереи определяется по закону Дарси:

. (1.3.2)

Учитывая (1.3.1), находим выражение для дебита галереи:

(1.3.3)
Закон движения внешней границы возмущенной области определяется из уравнения материального баланса (как и при методе ПССС) и имеет вид:

(1.3.4)

Распределение давления (1.3.1) в возмущенной области пласта с учетом (1.3.3) и (1.3.4) принимает вид:

(1.3.5)

Расчет депрессии

по формуле (1.3.5) дает погрешность по сравнению с точным решением примерно 9%, т.е. в 2,5 раза меньше, чем метод ПССС.

Аналогичным образом строится решение и для случая плоскорадиального потока. В этом случае распределение давления в возмущенной области пласта задается в виде:

(1.3.6)

где R(t) – радиус внешней границы возмущенной области пласта.

Заметим, что отбросив последнее слагаемое в уравнении (1.3.6), получаем закон распределения давления при методе ПССС [1].

1.4 Метод интегральных соотношений

Метод интегральных соотношений, предложенный Г.И. Баренблаттом, по аналогии с методами пограничного слоя в потоке вязкой жидкости позволяет получить приближенные решения некоторых задач нестационарной фильтрации упругой жидкости с нужной точностью. Метод основан на следующих предпосылках:

1. В каждый момент времени пласт делится на конечную возмущенную область и невозмущенную область, где движение отсутствует.

2. В возмущенной области распределение давления представляется в виде многочлена по степеням координаты х или r (в случае радиального потока добавляется еще логарифмический член) с коэффициентами, зависящими от времени, так что:

для прямолинейно-параллельного потока:

(1.4.1)

для плоскорадиальной фильтрации:

(1.4.2)

где число членов n выбирается в зависимости от желаемой точности решения.

3. Коэффициенты многочлена а₀, а₁, а₂, ..., а_n, а также размер области возмущения l(t) (или R(t)) находятся из условий на галерее (или на забое скважины), из условий непрерывности давления и гладкости кривой давления на границе области возмущения, а также из особых интегральных соотношений. Число этих интегральных соотношений зависит от показателя степени n, а следовательно, от числа членов многочлена, входящего в уравнение. Показатель степени n в свою очередь выбирается в зависимости от желательной степени точности решения задачи. Чем больше число n, тем выше точность решаемой задачи. Интегральные соотношения находятся следующим образом.

В случае притока к галерее правая и левая части уравнения пьезопроводности (1.4.3) умножаются на х^k(где k=0, 1, 2, ...) и интегрируются по всей возмущенной области:

(1.4.3)

(1.4.4)

Для случая притока к скважине берется дифференциальное уравнение (1.4.5), его правая и левая части умножаются на r^k (где k = 1, 2, ...) и проводится интегрирование по всей возмущенной области:

(1.4.5)

(1.4.6)

Если в уравнения (1.4.4) и (1.4.6) подставить соответственно выражения (1.4.1) и (1.4.2) и проинтегрировать, то получатся недостающие соотношения для определения коэффициентов а₀(t), а₁(t),... и l(t) или R(t).

Первое из этих интегральных соотношений (при k =0, если рассматривается приток к галерее, и при k =1 для притока к скважине) представляет собой уравнение материального баланса и из него находится координата границы возмущенной области

l(t) или R(t).

Если принять в формуле (1.4.1) n =1, а в формуле (1.4.2) n =0, то получатся решения, соответствующие методу ПССС (1.2.3), (1.2.8), в зависимости от условий на галерее или на забое скважины; если же n = 2 в (1.4.1), то из метода интегральных соотношений вытекает, как частный случай, метод А. М. Пирвердяна [2].

ГЛАВА 2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

2.1 Исследование прямолинейно-параллельного установившегося фильтрационного потока однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте (приток к галерее)
Задача

Определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит галереи, закон движения частиц жидкости и средневзвешенное по объему порового пространства.

Таблица 2.1.1 – Исходные данные

МПа	МПа	км	, мкм		, м	, м	,%
9,4	6,9	8,5	0,7	2,5	160	7	17

Рисунок 2.1.1 - Схема прямолинейно-параллельного фильтрационного потока в пласте

Закон распределения давления при установившейся фильтрации жидкости в полосообразном пласте:

(2.1.1)

Рисунок 2.1.2 - График распределение давления по длине пласта

Таблица 2.1.2 – Распределение давления

P(x), МПа	9,4	9,106	8,812	8,518	8,224	7,929	7,635	7,341	7,047	6,9
x, м	0	1000	2000	3000	4000	5000	6000	7000	8000	8500

Закон распределения градиента давления:

(2.1.2)

Рисунок 2.1.3 - График распределения градиента давления по длине пласта

Закон распределения скорости фильтрации:

(2.1.3)

Рисунок 2.1.4 - График распределения скорости фильтрации по длине пласта

Дебит галереи:

(2.1.4)

5. Закон движения частиц жидкости:

(2.1.5)

6. Средневзвешенное по объему порового пространства давление:

(2.1.6)

Вывод: при прямолинейно-параллельной фильтрации несжимаемой жидкости в однородном пласте давление падает согласно линейному закону, скорость фильтрации и градиент давления остаются неизменными на протяжении всего пласта согласно закону Дарси, средневзвешенное пластовое давление по объему пор равно среднему арифметическому давлению контура и галереи [3].

2.2 Исследование плоскорадиального установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте (приток совершенных скважин)

Задача

Определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит скважины, закон движения частиц жидкости и средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление при следующих исходных данных:

Таблица 2.2.1 – Исходные данные