Файл: Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 116

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2]

НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

17

Отсюда находим:

t

с = $ е~т b(t)dt = x t + \ e ~л(т) Ь (т) dx,

<9

где лг0 — константа интегрирования.

 

 

П р и м е р ы

 

1. Решим уравнение

 

 

 

■ * = /(0 £(■*).

 

называемое уравнением с разделяющимися

переменными. Будем

предполагать, что функция f(t) определена

и непрерывна на интер­

вале rt

t <[ г2,

а функция g(x) определена,

непрерывна и не об­

ращается

в нуль

на интервале q i< ^x <^qt. Рассматриваемое уравне­

ние есть уравнение в полных дифференциалах. Именно, оно может быть записано символически в виде:

- 4 r — fQ )d t = 0.

g ( х )

w

Соответствующая функция F(t, х)

задается формулой^'

F<‘-*4 it-W "'-

•*■ 0 tа

Здесь лг0 принадлежит интервалу

qi< ^x< ^q it а х

изменяется

на

том же интервале; t0 принадлежит

интервалу

r i < ^ < V 4,

a

t изменя­

ется на том же интервале. В силу предложения

А),

все

решения

нашего уравнения

получаются как

неявные функции из соотношения

 

 

 

*о

tа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Решим уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

котором

правая

часть

зависит

лишь

от

отношения

переменных

х

и t. Уравнение это называется однородным.

 

 

 

 

 

 

 

Будем

предполагать, что функция h (у) определена

и непрерывна

на интервале а, < ^ у < ^ а 4

и что на этом

интервале

функция

h(y) — у

не обращается в нуль. Наше уравнение решается

путем

замены

пе­

ременных. Именно,

вместо неизвестной функции х мы введем неизвест­

ную функцию у, положив х — y t.

Производя

эту

подстановку,

мы

 

 

 

 

 

 

 

|

 

Гос. щбЛ‘

няп

18

ВВЕДЕНИЕ

[Гл. 1

получаем для новой неизвестной функции у уравнение

 

j/t-\-y — h{y)

 

или, что то же,

h (у) — У .

 

л

 

J

t

 

Полученное уравнение с

разделяющимися переменными

решается

по способу, указанному в примере 1.

 

3. Решим уравнение

х — х* cos t

(10)

 

с разделяющимися переменными. Множеством Г для него

является

вся плоскость (t, х). При

и при лг<^0 уравнение это можно ре­

шать по способу, указанному в примере 1. Для каждой из этих полуплоскостей мы имеем:

S£=$cosi<rt

или, иначе,

• *

1

------ =

sin ^ — с.

х

 

Таким образом, получаем:

 

Кроме решений, описываемых этой формулой, мы имеем очевидное решение

.X = 0.

(12)

Покажем, что формулы (11) и (12) охватывают совокупность всех решений уравнения (10). Пусть (<0, х 0) — произвольные начальные вначения. Если jcn==0, то решение (12) имеет эти начальные значения. Если же х 0 Ф 0, то указанные начальные значения имеет решение (11) при

 

 

 

 

с — sin

-j- — •

 

 

 

 

 

 

Решение

(12)

определено

на

интервале ( — оо,

+ о о ) и

потому

не-

продолжаемо. Точно так же

при

| с| ^>1

формула

(11)

определяет

одно непродолжаемое

решение,

заданное

на

интервале (— оо, -j- оо).

При фиксированной константе с, удовлетворяющей неравенству | с j ^

1,

формула

(11)

задает

не

одно

решение, а

б е с к о н е ч н о е

мно ­

ж е с т в о

р е ше н и й .

Каждое

отдельное решение в этом случае

определено на

интервале

rt < ^t< ^rb где

rt и г, — два соседних

нуля

функции

sin t — с (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Покажем, что если правая часть уравнения не имеет непр

рывной

производной,

то

вторая

часть

теоремы

1

(единственность)

§21

НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

19

может не иметь места. Рассмотрим

уравнение

 

 

 

 

2_

(13)

 

 

 

"з ,

 

х = Зх

 

Правая

часть уравнения (13)

определена и непрерывна для

всех

 

 

_

_i_

 

значений

х, но ее производная

2х

з

 

терпит разрыв при * = 0. Если

принять

за

Г множество

всех точек

плоскости Р, удовлетворяющих

неравенству

д г ^ О ,-то

к уравнению (13)

применима теорема 1, и в

каждой

из

полуплоскостей

х < ^0

уравнение (13) можно

20 ВВЕДЕНИЕ ГГл 1

решать по способу, указанному

в примере 2.

Решая уравнение (13)

этим способом, мы получаем: х

1

 

— t — с, или

 

x =

(t — cf.

(14)

Часть графика функции (14) (при t<^c) проходит в полуплоскости jc<^0, часть же (при <^>с) — в полуплоскости лг^>0. Непосредст­ венно проверяется, однако, что функция (14) является решением

х

уравнения

(13) при

вс е х

значениях t на интервале — oo<^t<^-]-c>o.

В то

же

время

х = 0

также

является

решением

уравнения

(13).

Таким образом, через каждую

точку

лс = 0, t ^

c

прямой

лг=

0

проходят уже два

решения (рис.

4): решение (14)

и решение х =

0.

Мы видим, что вторая часть теоремы

1

(единственность) не

имеет

места

для

уравнения (13).

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3 | ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 21

§3. Формулировка теоремы существования

иединственности

В§ 1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение пер­

вого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения. Теория обыкновенных диф­ ференциальных уравнений имеет дело и с более общими системами уравнений. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравне­ ний состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвест­ ных функций; при этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же независимого переменного. Во всех случаях те­ орема существования и единственности является основным теорети­ ческим положением, дающим возможность подойти к изучению дан­ ной системы дифференциальных уравнений.

Теорема существования и единственности формулируется и до­ казывается применительно к системе уравнений, по внешнему виду имеющей несколько частный тип. В действительности же к этой си­ стеме уравнений сводятся системы сравнительно общего типа. Систе­

мы дифференциальных уравнений

того

частного типа,

о

котором

здесь идет речь, мы будем называть в дальнейшем нормальными.

Система

 

 

 

 

 

 

± l = f l {t, х \ х*.......... х");

1 =

1...........п,

 

(1)

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

называется

нормальной.

В этой системе

t — независимое переменное, х 1, . . . , х п — неизвестные

функции этого переменного, а /* ,..., / л — функции от п -|- 1

перемен­

ных, заданные на некотором открытом множестве Г

пространства

размерности

п —|—1, в котором координатами точки являются

числа t,

х 1, . . . , х я. В

дальнейшем всегда

будет предполагаться,

что

функции

 

х 1, х 2, ... , х"),

п,

 

(2)

непрерывны на открытом множестве Г; точно так же будет пред­ полагаться, что и их частные производные

dfl (t, х ‘, ха, ..., Xя)

I, j = 1, — ,

п,

( 3)

дх!

 

 

 

существуют и непрерывны на множестве Г. Следует заметить, что частные производные (3), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным х 1, .... х", а не по независимому переменному t.

Решением

системы

уравнений (1) называется система непрерыв­

ных функций

х г =

ср'(0.

1 = 1 ,..., п,

(4)

 

определенных

на некотором

интервале rl < ^t< ^ri и

удовлетворя­

ющих системе

(1). Интервал

называется

интервалом

Смотрите также файлы