Файл: Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 1
ДОБАВЛЕНИЕ 11
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В этом добавлении излагаются те результаты линейной алгебры, которые используются в некоторых, наименее элементарных парагра фах книги. Следует отметить, что § 36 опирается только на резуль таты § 34 и совсем не использует результатов § 35.
§ 34. Минимальный аннулирующий многочлен
С о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я и с о б с т в е н н ы е в е к т о р ы
А) Каждой квадратной матрице
А = ( а р , /, у = 1, 2, . . . , п,
порядка и, элементами которой являются действительные или комп лексные числа, соответствует линейное преобразование А векторного координатного пространства R размерности и; именно: вектору
х = ( х \ . . . , х п)
пространства R ставится в соответствие вектор
А х = у = (у\ . . . . у"),
определяемый соотношением
Нулевой матрице 0 (все элементы которой равны нулю) соответствует при этом нулевое преобразование 0, переводящее каждый вектор в нуль. Единичной матрице
0 при I ф j,
Е = ( Ь ‘)
1 при i — j
соответствует единичное, или тождественное преобразование Е про странства R:
Е х — х.
310 ДОБАВЛЕНИЕ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Если в пространстве R введены |
новые координаты х л.........а/", свя |
||
занные |
со старыми координатами |
х 1, . . . , х п формулами перехода |
|
|
х ’1 — ^ |
s j x ‘, |
|
или в |
матричной записи |
|
|
|
х' = |
Sx, |
|
то преобразованию А в новой системе координат будет соответство
вать матрица |
(1) |
Л' = ,9М£-‘. |
|
Докажем соотношение (1). Мы имеем: |
|
у = Sy — 5 А х = S AS~ V . |
|
Б) Пусть А — линейное преобразование и А — матрица, |
соот |
ветствующая преобразованию А в некоторой системе координат. Отличный от нуля вектор ft называется собственным вектором пре
образования |
А, а число X— собственным |
значением |
этого преобра |
||
зования, соответствующим вектору |
ft, если |
выполнено |
соотношение |
||
|
Ah |
Xft. |
|
|
(2) |
Детерминант |
матрицы (а) — со,): |
|
|
|
|
|
D(z) — \ а) — zb‘j | — | Л — zE\ |
|
|
||
называется характеристическим |
многочленом матрицы |
А. Оказы |
|||
вается, что коэффициенты многочлена D(z) не зависят от выбора системы координат, а полностью определяются преобразованием А. Поэтому многочлен D(z) называется также характеристическим мно гочленом преобразования А. Далее, число X тогда и только тогда является собственным значением преобразования А, когда оно есть корень многочлена D(z).
Докажем независимость многочлена D (z) от выбора системы коор динат. В новой системе координат преобразованию А соответствует
матрица S AS~l, |
где 5 — некоторая |
невырожденная матрица (см. (1)). |
||
Мы имеем: |
|
|
|
|
| S A S ' — zE\ = |
| S AS"1— zSES~' \ = | S(A — zE) S~l \ = |
|||
= | 5 | - | A |
|
A - z E \ . |
||
Запишем теперь в координатной форме соотношение (А — Х£) ft = 0, |
||||
равносильное |
соотношению (2): |
|
||
|
|
П |
|
1 = 1, . . . , п. |
|
|
2 (« /-Х 8 ,)й ' = 0, |
||
|
|
j™| |
|
|
Эта система |
однородных |
уравнений |
тогда и только тогда допускает |
|
ненулевое решение /г1, , , , , |
hn, когда детерминант ZX(X) этой системы |
|||
§ 341 |
МИНИМАЛЬНЫЙ АННУЛИРУЮЩИЙ МНОГОЧЛЕН |
|
|
|
311 |
|||||||||
равен нулю. Таким образом, каждый корень |
X многочлена |
D(z) |
яв |
|||||||||||
ляется собственным значением преобразования А |
и обратно. |
|
|
|
||||||||||
В) Если собственные значения Х1; |
... , |
X* преобразования А попарно |
||||||||||||
различны, |
то |
соответствующие им |
собственные |
векторы |
h it |
... , |
ft* |
|||||||
линейно независимы. |
|
|
|
|
к. |
|
|
k = |
\ |
|
||||
Доказательство |
индуктивное — по |
числу |
При |
это |
||||||||||
утверждение очевидно. Допустим, что оно верно |
для |
к — 1 |
вектора, |
|||||||||||
и докажем его для к векторов. Допустим, что |
-f- ... 4-я*й* = |
0. |
||||||||||||
Применяя к этому |
соотношению преобразование А, получим: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
«jX,/!, |
|
|
я*Х*Л* — 0; |
|
|
|
|
|
|
||
с другой |
стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X* (alh l |
|
akhk) = |
0. |
|
|
|
|
|
|
||
Составляя |
разность |
найденных |
соотношений, |
получаем: |
|
|
|
|
|
|||||
|
а \ (^1 — |
^ к ) ftl ~Ь • • • |
а к - \ Q k - 1— |
^ к ) h k - 1= |
0-' |
|
|
|
|
|||||
Отсюда, по предположению |
индукции, следует, что о, = |
... = я*_(= |
0, |
|||||||||||
и исходное соотношение сводится к |
akhk — 0, откуда |
я* — 0. |
|
|
||||||||||
Таким |
образом, если все корни |
характеристического |
многочлена |
|||||||||||
D(z) различны между собой, то мы |
можем принять |
за |
базис про |
|||||||||||
странства |
R |
собственные |
векторы |
ft,......... |
hn |
преобразования |
А. |
|||||||
В этом базисе |
преобразованию |
А соответствует диагональная матрица. |
||||||||||||
В общем случае приведение матрицы преобразования к диагональной форме невозможно, и возникает необходимость построения сравни
тельно сложной теории, к |
изложению которой мы и переходим. |
М и н и м а л ь н ы й |
а н н у л и р у ю щ и й м н о г о ч л е н |
Г) Квадратные матрицы порядка п по известным правилам могут складываться и перемножаться между собой, а также умножаться на числа; этим операциям над матрицами соответствуют те же операции над преобразованиями. Таким образом, если
f(z) = a*zm-\- a{zm-l -\- ... - f ат
— многочлен с действительными или комплексными коэффициентами относительно переменной г, то, подставляя вместо z в этот много член матрицу А, мы получаем матрицу
/(А ) = а«Ат ci^Am |
-\-атЕ, |
являющуюся многочленом от матрицы А. Аналогично определяется многочлен /( А ) от преобразования А. Если / ( г ) ф 0 , а матрица /(Л ) является нулевой (в этом случае преобразование/(А) также, оче видно, является нулевым), то многочлен / ( z) называется аннули рующим матрицу А и преобразование А. Оказывается, что характе
312 |
ДОБАВЛЕНИЕ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
ристический многочлен D(z) матрицы А аннулирует матрицу А:
D(A) = 0.
Для доказательства рассмотрим я-мерное векторное пространство R с базисом
•• • »
ирассмотрим соответствующую этому базису координатную систему, так что
|
|
«у = (0......... 1............0), |
|
|
|
|
где координата 1 стоит на ]-м месте. Обозначим |
через |
А преобра |
||||
зование, которому в выбранном базисе соответствует |
матрица |
А. |
||||
Тогда |
мы имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
Aej = |
X aSies |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
или, что |
то же, |
|
|
|
|
|
|
|
£ ( « * £ _ |
8М)е. = 0. |
|
|
(3) |
|
|
S |
|
|
|
|
Положим: |
|
|
|
|
||
|
|
IJ (г) — а' — Ъ*г. |
|
|
|
|
Здесь |
Lsj(z) есть многочлен относительно z |
степени |
нуль |
или |
||
единица, |
а |
|
|
|
|
|
|
|
(*■;(*)) |
|
|
|
|
— матрица, составленная из многочленов. Алгебраическое дополнение элемента L*(z) в этой матрице обозначим через M's (z), так что имеет место соотношение
£ M { (z )L } (z ) = VD(z). |
(4) |
Умножая соотношение (3) слева на многочлен М[(А) и суммируя полученное соотношение по /, получаем, согласно (4):
£ М { ( Л ) (а]Е - 8)А) |
= 2 |
А>LJ (») е, = £ *\D (Л) es = |
s. i |
*. / |
s |
|
|
= D(A) et — 0. |
Таким образом, преобразование D (Л) переводит все базисные векторы пространства R в нуль и потому является нулевым, а значит и соот ветствующая преобразованию Ь(А ) матрица D(A) также является нулевой:
|
D(A) = 0. |
Д) В множестве |
всех многочленов, аннулирующих матрицу А |
(или преобразование |
А), имеется единственный, с точностью до чис* |
§ 34] |
МИНИМАЛЬНЫЙ АННУЛИРУЮЩИЙ МНОГОЧЛЕН |
313 |
||
лового |
множителя, |
многочлен |
Д (z) минимальной степени; этот |
много |
член Д (z) является |
делителем |
всех остальных многочленов, |
аннули |
|
рующих матрицу А; он называется минимальным многочленом, анну лирующим матрицу А. В дальнейшем будет предполагаться, что коэф фициент при старшей степени многочлена Д (г) равен единице. В слу чае, если матрица А действительна, многочлен Д (г) действителен.
Для |
доказательства предложения Д) |
напомним, |
что |
если / (z) и |
|||||
g ( z ) — два |
произвольных |
многочлена, |
a |
d{z) — их |
общий наиболь |
||||
ший делитель, |
то имеет место тождество: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
d(z) = |
p (z)f(z)-}- q(z)g (z), |
|
(б) |
|||
где p(z) |
и |
q (z) — подходящим образом |
выбранные |
многочлены. |
|||||
Существование |
тождества |
(5) доказывается при помощи алгоритма |
|||||||
деления многочленов. Из соотношения (5) следует, что |
если много |
||||||||
члены f |
(г) |
и ^(г) аннулируют матрицу |
А, |
то их общий |
наибольший |
||||
делитель d(z) также аннулирует матрицу А. Из Г) следует, что мно гочлены, аннулирующие матрицу А, существуют. Пусть теперь Д (г)— многочлен минимальной степени, аннулирующей матрицу А, и f (z) — произвольный многочлен, также аннулирующий матрицу А. Если бы многочлен / (г) не делился на многочлен Д(г), то общий наибольший
делитель |
этих многочленов имел бы степень, меньшую чем много |
|||
член Д (z), |
и также |
аннулировал |
бы матрицу |
А, а это по предполо |
жению невозможно. |
Пусть теперь |
матрица А |
действительна; тогда |
|
О = Д(Л) = Д (Л) = Д (А).
Таким образом, многочлен Д(г) аннулирует матрицу А и потому делится на Д(г), а это возможно лишь при Д(г) = Д(г). Таким обра зом, предложение Д) доказано.
Е) Пусть А (г) — минимальный аннулирующий многочлен матрицы А. Число X тогда и только тогда является собственным значением матрицы А, когда оно есть корень многочлена Д (г).
Для доказательства обозначим через А преобразование и-мерного координатного векторного пространства, соответствующее матрице А.
Заметим, |
что если /( г ) — произвольный |
многочлен, |
то |
|
|
|
|||||||
|
|
из |
A h |
— l h |
следует /(Д ) ft — /(X) ft. |
|
|
(6) |
|||||
В самом деле, мы имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E h |
= h , |
A h |
= \ h , |
4'2ft = |
,4Xft = |
X5ft_____ |
4 mft = |
Xmft. |
|
||||
Умножая |
эти |
соотношения |
на |
коэффициенты |
многочлена |
f (г) |
|||||||
и складывая их, получаем соотношение (6). |
|
матрицы |
А\ |
тогда |
|||||||||
Допустим, что X есть собственное |
значение |
||||||||||||
существует такой |
вектор |
ft |
0, что |
A h |
= Xft, |
и из |
(6) следует |
||||||
А (Л) h = А (X) ft; |
но |
так |
как |
А (Л) = |
0, |
то A (X) = |
0. |
Обратно, |
|||||