Файл: Мясников, Л. Л. Новые методы измерений в подводной акустике и радиотехнике.pdf

амплитудно-временных параметрах, то соответствующие анализаторы должны их определить.

Однако, как правило, все эти признаки — случайные величины; они изменяются не только в самом сигнале, но и благодаря наличию помех. Для классификации следует применить промежуточные образы типичного вида, т. е. сегменты. Сегменты должны быть пригодны для сегментации и сигналов, и помех: как уже говорилось, классы помех объединяются с классами сигналов. Сегментация позволяет построить гистограммы. Словарь эталонных гистограмм сегментов благодаря помехам становится более обширным. Однако помехи можно определенным образом сгруппировать. Главный вид помех обусловлен собственными электромагнитными полями. Спектры этих помех могут быть изучены. Другим видом помех являются атмосферные помехи.

Как правило, при измерениях строится пространственное отобра­ жение сигнала. Угловое распределение измеряемого сигнала совме­ стно с помехами позволяет при этом получать сегменты, учитывающие пространственное распределение параметров. Частным случаем является такое сканирование, когда приемный растр вырождается в линию. При пеленговании источника сигнала на фоне помех скани­ рование в значительной мере облегчает условия поиска. Получение

характер, так что можно говорить о вероятности появления опре­ деленных признаков.

обозначить реализацию, представляющую случайный набор призна­ ков, как некоторое А,-. Ставится вопрос: какова вероятность того, что А/ принадлежит структуре £?,?

Обозначим через Р (Rt) вероятность того, что измеряемая струк­ тура есть R;, а через Р (Aj\Ri) — условную вероятность того, что коль скоро структура есть Rit то получается реализация Ар Послед­ няя вероятность называется функцией правдоподобия.

Вероятность гипотезы о том, что данная реализация принадлежит структуре R h выражается формулой Бейеса:

Р {R{| Aj) ~ / {Ri) Р {А>1Ri) .

Р (Rk) Р ( A j \ R k)

k=i

Суммирование в знаменателе дроби производится по всем структурам R 1 , R 2, • • Rn. входящим в алфавит.

Можно ввести вместо вероятностей плотности вероятностей, обозначая их р. Тогда р (Ri \ Aj) — нормированная функция распре­

64

деления, характеризующая апостериорную вероятность того, что реализация Л у означает структуру R^ Кривые распределения получаются при переборе букв алфавита R±, R„, . . ., Rn, коль скоро реализация Лу была представлена. В случае достоверности вероятность равна единице, т. е. структура найдена точно. Однако практически имеют место ошибки. Осносительная ошибка может быть выражена как мера отклонения вероятности гипотезы от еди­ ницы, т. е. как

А = [1 — Р (Ri\ А,) 1-100%.

Целесообразно ввести так называемый риск принятия гипотезы. Риск, по определению, представляет собой математическое ожи­ дание цены принятия той или иной гипотезы. Перенумеруем различ­ ные гипотезы. Пусть, например, гипотеза, что реализация Лу при­ надлежит структуре R lt есть гипотеза 1, что она соответствует структуре R о, — гипотеза 2, что она соответствует структуре R 3, — гипотеза 3 и т. д. Обозначим цены как матричные элементы vpq, где р и q обозначают номера гипотез. Условимся считать за и41 цену правильного принятия гипотезы 1, а за v21 — цену ошибочного принятия этой гипотезы, в то время как справедлива гипотеза 2. Соответственно о31, и41, . . . будут цены ошибочного принятия гипотезы 1 при справедливости гипотез 3, 4, . . . Далее, v 22— цена правильного принятия гипотезы 2, а v12, v32, vi2, . . . — цены неправильного принятия этой гипотезы. Аналогично vpp —■цена правильного принятия гипотезы р, а любое vpq при q =j=р — цена

ошибочного принятия гипотезы р. Матрица цен имеет вид

Определение риска принятия гипотезы производится следующим образом. Риск принятия гипотезы 1 равен

Риск принятия второй гипотезы равен

г (2 \ А у) = ц21Р(1|Лу) + v22P (21Л у) + + v23P (3JЛу) —f- --•—|— v2nP (п |Лу).

Риск принятия п-й гипотезы равен

г (п IЛу) = vnlP (11Лу) + vn2 (21Лу) + + ипзР (3|Л у)-]---- y v mP{n\Aj).

Здесь Р (р [ А/) — вероятность р-й гипотезы при условии наступления реализации А/.

Рассмотрим, что происходит при вариации результатов изме­ рения А,-. Напомним, что А} представляет собой, вообще говоря, случайную совокупность результатов измерений Qu Q2, Q3, Теоретически число измерений может быть безгранично, но практи­ чески оно всегда остается конечным и область измерений ограничена. Пусть измеряется напряженность магнитного поля. Диапазон ампли­ туд и число дискретных уровней, на которое разбивается этот диапа­ зон, являются ограниченными, например диапазон составляет 60 дБ, а уровни строятся через 1 дБ при некотором начальном уровне’ определяемом из условий чувствительности. Точно так же в случае спектрального анализа электромагнитного поля можно ограничить частотный диапазон звуковыми частотами от 40 Гц до 20 кГц и раз­ метить реперами шкалу частот в логарифмическом масштабе, чтобы получить дискретный ряд значений частоты. Тем не менее число возможных реализаций А/ остается практически безграничным, так как любые случайные сочетания признаков Л,- могут дать новые реализации. Можно считать А/ представителем неограниченного ряда реализаций, в то время как алфавит структур R £ ограничен.

Возникает вопрос: как определять риск принятия гипотез, поскольку он зависит от А ,■? Выход из затруднения можно найтщ предположив статистический характер распределения признаков. Во многих случаях можно исходить из нормального закона распре-'

Нетрудно видеть, что нормированная функция Д (Л,) есть'не что иное, как функция правдоподобия Р (Л(-&|/Д), которая обозначалась прежде как Р (А,-1 R {). Если известно распределение, то при заданных плотностях вероятности структур по формуле Бейеса находят апостериорные вероятности правильности гипотез, а отсюда — риск

если считать Л функцией переменных аи а2, . . ., dA — дифферен­

циалом, а пределы интегрирования а, р — пределами изменения параметров.

66

Вероятность ошибки Рош равна

Раш= ]гР (A) dA - рJ max Р (Rt) f,(A)dA.

а<х

Здесь J Р (Л) dA — вероятность появления любой из структур.

а

Критерий минимального риска дает определенный порог отно­

Если Л о есть то значение Л, которое в равной мере соответствует структурам R 1 и R 2, т. е. пересечению этих областей (рис. 3.4), то отношение правдоподобия будет равно

Набор Ло составляет алфавит граничных значений.

Критерий минимального среднего риска устанавливает порог, которому принадлежит Л£. Критерий Котельникова для граничных

значений наборов признаков Л* состоит в минимизации вероятности

суммарной ошибки Рош.

Дадим развернутые выражения необходимых соотношений. Пусть

признаков. Будем считать, что число букв в алфавите тоже равно л; если какие-нибудь признаки не имеют значений, отличных от нуле­ вых, то их все равно можно сохранить в перечне ak. Если построить п-мерное пространство признаков,' то измеряемая структура изо­ бразится вектором, составляющими которого являются ak (k = 1,

эти наборы в один и будем считать, что п — число различных приз­ наков. Тогда каждая структура будет описываться своим вектором R.

Необходимо принять во внимание, что каждая структура характе­ ризуется не одним определенным набором признаков, а некоторой

и имеется, в сущности, множество векторов, характеризующих структуру. Все «-мерное пространство разбивается, таким образом, на N областей (гиперконусов). Эти области, вообще говоря, могут перекрываться, и потому разделение по структурам оказывается только приблизительным.

Рассмотрим теперь процесс измерений. Пусть в результате изме­ рений построена реализация А,-, которую можно представить как «-мерный вектор в указанном объеме признаков. Составляющими этого вектора служат признаки а„ а 2, а3, . . . Всякое измерение сопряжено с ошибками и воздействиями помех, так что совокуп­ ность получаемых данных в какой-то степени случайна. Задачей измерений является установление того, к какой структуре относится данная реализация, причем сделанный вывод должен быть по воз­ можности сопряжен с наименьшим риском. Поскольку области Rk перекрываются, остается только принять ту или иную гипотезу и ввести цены правильного и ошибочного принятия этой гипотезы.

Число конкурирующих гипотез не может быть большим, потому что выбор структуры Rt может встретить затруднение только из-за наличия соседней области Rj. Для простоты предполагаем, что число спорных областей, которые принадлежат одновременно мно­ гим Rk, незначительно. Тогда, если отметить эти области индексами р и q, а структуры обозначить через Rp и Rq, можно ввести отношение правдоподобия Л (Л,), которое равно

матрицы цен. Интегрирование проводится в области изменения функции f (А) в пределах, задаваемых порогами.

где Р (R,)max — максимальная априорная вероятность структуры Rp,

Р0ш< 1 — Р (R,)шахНадежность S лежит в пределах от 0 до о случай S = о соответствует вероятности ошибки Рош — 0.

Пусть теперь реализация А,- не соответствует ни одной из структур в алфавите Rk. При измерениях этот случай встречается довольно

68