Файл: Мясников, Л. Л. Новые методы измерений в подводной акустике и радиотехнике.pdf

Следует напомнить прежде всего об ошибках косвенных изме­ рений. Если функция / (х1} х 2, . . ., хп) есть функция переменных физических величин х 1г х2, . . ., хп, то ошибку функции можно представить как

Для определения среднеарифметического значения можно для каждого из значений измеренных переменных вычислить соответ­ ствующее значение функции а затем найти среднеарифметическое f по формуле

П

£1—1

В случае зависимости между переменными эти соотношения ста­ новятся неверными: подкоренное выражение в формуле (3.45) может быть дополнено перекрестными членами вида

’ ~dxk ^ Xi

где R ik — коэффициенты корреляции, значения которых заклю­ чаются в пределах от — 1 до +1.

Доверительные интервалы для функции от переменных могут быть найдены аналогично тому, как определяются доверительные интервалы для оценки ошибок измерения переменных; таким же образом находятся и коэффициенты надежности.

Рассмотрим некоторую измеряемую структуру, обладающую определенными признаками, которые можно принимать за пере­ менные. Пусть число таких переменных равно п: это могут быть амплитуда напряженности магнитного поля, частота, фаза. Имеется распределение этих величин в пространстве, что характеризует, например, картину радиоизлучений на борту судна. Распределение может быть описано функцией указанных параметров и координат. Для описания распределения весьма удобно использовать изобра­ жение в виде матрицы, вообще говоря трехмерной. В дальнейшем из соображений простоты ограничимся двухмерной матрицей. Задача заключается в том, чтобы обобщить понятие доверительной вероят­ ности и доверительного интервала на данный случай.

73

Матрица написана как квадратная, но это не нарушает общности, поскольку в случае необходимости можно полагать любые строки или столбцы пустыми, а входящие в них элементы — равными нулю. Матричные элементы aik изображают значения признаков. Каждый элемент может представлять целый набор признаков (ампли­ туд, фаз, частот). Он, вообще говоря, зависит от времени, с течением которого матрица А может видоизменяться. Фиксируя отдельные реализации в последовательные моменты времени, функцию A (t)

по времени; для каждого дискретного случая матрица полагается неизменной. За время квантования At обычно принимается постоян­ ный промежуток, достаточно малый для того, чтобы можно было считать матрицу \aik\ не изменяющейся в течение этого промежутка.

Совокупность значений элементов а[к дает картину, которая с течением времени может изменяться. Смена картин происходит аналогично смене кадров на киноленте.

Элементы aik, полученные в результате измерения электромагнит­ ного поля, испытывают случайные колебания. Величины, сгруппиро­ ванные в каждом элементе, следует рассматривать, как некоторые средние, например среднеарифметические, данные измерений; это могут быть и результаты одиночных измерений. Обозначим при­ знаки или параметры, приписанные элементу матрицы aik, через xikh где индекс I служит для нумерации переменной (например,

Погрешность измерений величины хш обозначим Ахш . В тео­ рии погрешностей вводятся среднеквадратичные и среднеарифмети­ ческие ошибки SQ и rq, доверительные вероятности и доверительные интервалы, иными словами, применяются те оценки ошибок изме­ рений, о которых говорилось выше в связи с измерениями отдельных физических величин. Однако при смене кадра, вообще говоря, изменяются и эти данные, потому что измерения повторяются вновь.

Матрицу ||агА|| можно рассматривать как функцию величин, входящих в матричные элементы. Необходимо уточнить, что пони­ мать под погрешностью в определении матрицы \aik\.

^Дадим такое определение: ошибкой функции, выражаемой матри­ цей, следует считать матрицу ошибок. Из соображений краткости изложения ряд величин, входящих в матричные элементы а[к,

74

обозначим одним символом xlk, а погрешность измерения этих величин — через Axik. Тогда матрица погрешности будет иметь вид

в матричные элементы, соответствует доверительный интервал всей матрицы. Такой вывод следует из правил сложения и вычитания матриц: матрицы складываются и вычитаются путем сложения или вычитания соответствующих матричных элементов. Поэтому построению доверительного интервала

xik — < x'ik < xik +- Axik

соответствует матричное выражение А — АЛ < Л ' < Л + АЛ. Доверительная вероятность для матричного элемента равна

а = Р (Л — АЛ < Л' < Л + АЛ).

Введем так называемый оператор ошибок. В гл. 1 рассматрива­ лись операторы, вызывающие переходы из одного состояния в другое. Аналогичным путем могут быть введены и операторы ошибок, что целесообразно при наличии систематических погрешностей, вызван­ ных помехами.

Рассмотрим матричный элемент измеренной структуры aik. Его изменения могут иметь и закономерный, детерминистский характер, и характер случайный, причем последний может быть обусловлен как случайными ошибками измерения, так и систематическими ошибками и действием внешних помех. Задачей измерения является установление закономерности изменения параметров или установле­ ние помех.

В изложенной выше схеме построения погрешностей не нашло отражения определение структуры как целого. Сложная реализа­ ция, получаемая в итоге измерений по точкам, должна давать неко­ торую картину, и, для того чтобы сделать определенный вывод, бывает необходимо сопоставить ее с типичной картиной, или образом. Совершенно неравноценны ошибки в измерениях величин, входя­ щих в те или другие матричные элементы, поскольку для построения образа одни элементы могут оказаться весьма существенными, а дру­ гие нет. Даже малые вариации существенных элементов могут ради­ кально изменить картину, в то время как изменение других эле­

75

ментов может не оказать на нее влияния. Возникает вопрос: каким образом оценивать ошибки в определении структуры как целого? Путь сегментации позволяет в известной мере решить эту задачу.

Реализации, выражаемые рядом А 1, А г, . . Ah . . As и даю­ щие дискретное представление о функции А (t), заменяют более упрощенными, но в какой-то степени типичными структурами. Последние могут быть построены, например, так: в матрице А остав­ ляют только такие элементы, которые существенны для опознания картины как образа; элементы малосущественные заменяют пустыми. Такое преобразование дает сегмент.

Операция сегментации может быть записана следующим образом:

А + I = S,

где A = ||aiA||, S — матрица, выражающая сегмент; £ — оператор, изображаемый матрицей

причем Zlk — 0 при условии, что соответствующий элемент матрицы А определяет сегмент, и Zik = —» в противном случае. При опреде­ лении суммы А + £ по закону сложения матриц к матричному элементу aik надо приставить стрелку справа, что в обозначениях теории алгоритмов дает аннигиляцию, уничтожение элемента. Вто­ рой случай — добавление нуля — не изменяет матричного эле­ мента aik, который, таким образом, при суммировании остается неизменным. Оператор сегментации £ должен сохранять только существенные элементы. Под действием оператора строится матрица S как сумма матриц А + £. В этой матрице сохраняются только некоторые из матричных элементов aik, остальные аннулируются.

Сегменты 5,- входят в ограниченный алфавит 5 ,, S 2. . . . . Sn. Нахождение погрешностей в измерениях сегментов относится уже

ктеории распознавания структур, рассмотренной в § 3.3. Необходимо остановится на следующих вопросах:

Каково соотношение между доверительной вероятностью и распо­ знаваемостью сегмента?

Как влияют ошибки в измерении существенных элементов, состав­ ляющих матрицу сегмента, на распознаваемость?

Как оценить погрешности при сегментации?

Развернутой теории, которая позволила бы ответить на эти вопросы, еще не разработано, однако некоторые замечания могут быть высказаны.

Влияние ошибок в измерении существенных элементов, составляю­ щих матрицу сегментов, на распознаваемость сегментов не так

76

велико, как может показаться вначале. Дело в том, что существенные для построения образа элементы дублируются соседними элементами. Сегмент не должен строиться таким образом, чтобы его существен­ ная черта определялась значениями только какого-либо элемента. По сути дела, имеются не отдельные типичные элементы, а полосы элементов, куда входят многие типичные элементы. Соответственно этому и оператор сегментации уничтожает или оставляет целые полосы, вследствие чего можно группировать матричные элементы, подвергаемые операции сегментации. При этом роль погрешности в определении того или иного матричного элемента становится менее критичной и можно находить среднеарифметические или средне­ квадратичные ошибки величин путем усреднения по всем элементам области.

Элементы матрицы, выражающей какую-либо реализацию, полу­ ченную в процессе измерения, могут испытывать случайные откло­ нения. Предположим, что объект измерения — некоторая структура электромагнитного поля — остается неизменным. Повторные изме­ рения могут дать отличные от первоначальных значения матричных элементов; получаются колебания, которые имеют случайный харак­ тер. Ввиду множественности и независимости причин, вызывающих такие колебания, можно предполагать, что в большинстве случаев отклонения значений от наиболее вероятного значения будут под­ чинены нормальному закону распределения. Это справедливо для каждого из матричных элементов.

К сегменту предъявляется требование, чтобы флюктуации не могли изменить его вид, т. е. должна быть обеспечена достаточная надежность в установлении сегмента или достаточная величина доверительного интервала по отношению к каждому сочетанию, характеризующему сегмент. Указанное требование определяет изве­ стную «грубость» сегмента, степень которой должна быть достаточна для того, чтобы (по крайней мере в подавляющем числе случаев) разброс значений матричных элементов для одного и того же сигнала не мог изменять вид сегмента. Такая «грубость» следует и из того, что число сегментов в алфавите должно быть небольшим.

Рассмотрим теперь другой вопрос, связанный с корреляцией сегментов. Необходимо иметь в виду, что сегмент вовсе не означает какую-то фиксированную комбинацию даже объединенных групп матричных элементов. При повторении сегмента одного и того же типа указанные группы будут, вообще говоря, изменяться. Об этой изменчивости упоминалось выше в связи с рассмотрением вопросов конструктивного спектрального анализа. Так, например, один и тот же сегмент М получается при самых различных положениях спектраль­ ных максимумов. Необходимо только, чтобы таких максимумов было два, и этого достаточно для определения сегмента. Для матрич­ ного изображения сегмента справедливо то же самое: фигуры на плоскости, выражающие один и тот же сегмент, могут быть различ­ ными, но при всех возможных их вариациях черта, характеризую­ щая данный сегмент, должна сохраняться. В чем выражается эта черта? Нетрудно видеть, что она описывается функцией автокор­

77