Файл: Мясников, Л. Л. Новые методы измерений в подводной акустике и радиотехнике.pdf

часто, поскольку не все возможные структуры заранее известны.

значение может быть определено следующим образом. Примем

—СО

Ес л и следовать критерию В. А. Котельникова, то надо миними­

для определения признака на границе имеем соотношение

Р (RP)h («о) = Р {Rq) (а0).

Это выражение можно распространить на совокупность признаков, полагая / функцией многих переменных:

Р (Rp) fl (й01! а02! • • •! а 0п) = Р {Rq) / 2 (а01! а02! • • ■> а 0п)■

69

Изменяя обозначение f и вводя наборы А, последнее выражение можно записать в виде

Р (RP) fP (Ар0) = Р (Rq) fq (Aqо).

Если принять критерий Неймана—Пирсона, то пороговые зна­ чения определяются следующим образом. Вероятность ошибки одной гипотезы берется максимальной, а вероятность ошибки второй гипотезы минимизируется, и это дает одно пороговое значение а01. Другое пороговое значение а 02 получается, когда, наоборот, задается максимально допустимое значение вероятности ошибки второй гипо­

тезы, а вероятность первой миними­ зируется.

Пороги а02 и а01 могут быть полу­ чены из интегралов

должать измерения, так как гипотезы не могут быть приняты. Здесь, как и раньше, мы взяли один параметр а, т. е. один при­

знак, только из соображений простоты. В действительности пред­ полагается наличие набора признаков. Отношения правдоподобия пишутся для набора признаков, соответственно и критерий Неймана— Пирсона становится многомерным.

Можно ограничиться рассмотрением трех критериев: 1) критерия минимизации вероятности суммарной ошибки (критерий Котельни­ кова); 2) критерия минимизации вероятности ошибки альтернатив­ ного решения (критерий Неймана—Пирсона); 3) критерия миними­ зации среднего риска принятия гипотезы [21 ].

§ 3.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ НА БОРТУ СУДНА

Из классической теории погрешностей известны методы вероят­ ностной оценки ошибок [33]. В случаях, рассматриваемых в данной главе, измерения физических величин дают результаты, справедли­ вые лишь с определенной вероятностью. Тем более оценки точности измерений могут быть получены только с некоторой вероятностью.

70

В классических измерениях за наиболее вероятное значение физи­ ческой величины принимается среднеарифметическое результатов измерений, а в качестве закона распределения ошибок обычно принимается нормальный закон, описываемый известной формулой Гаусса:

<л*>2

f(Ax)

оп у Хл

где Ах — погрешность измерения величины х, о2п — дисперсия ряда измерений.

Дисперсия ряда измерений есть квадрат среднеквадратичной ошибки, в качестве которой принимается предел величины

Применение формул Гаусса, обоснованное предельной теоремой Ляпунова, обусловлено тем, что ошибки измерений представляют собой непрерывную совокупность и что частота появления больших ошибок падает тем сильнее, чем больше ошибка: большие ошибки считаются маловероятными. Кроме того, считается, что различные знаки ошибок одинаковой величины встречаются одинаково часто.

Нормальный закон распределения не справедлив при системати­ ческих ошибках, а также в том случае, когда некоторые ошибки

или вероятность того, что погрешность измерения величины х не пре­ восходит по абсолютной величине Ах. Как известно, одного указания погрешности недостаточно: требуется указание надежности этой оценки. Если доверительная вероятность близка к единице, оценка ошибки достаточно надежна. Доверительная вероятность есть вероят­ ность того, что

х — Ах <С.х <С,х Ах.

71

Теория вероятностей позволяет составить таблицу доверитель­ ных вероятностей, вычисляемых по формуле

найти в любом руководстве по оценкам ошибок измерений [33]. Можно записать доверительную вероятность как

а = Р (х — Ах < х < х + Ах).

Интервал значений от х — Дх до х + Ах называется доверительным интервалом. Очевидно, доверительная вероятность будет расти с увеличением доверительного интервала.

При небольшом количестве измерений значения доверительного интервала получаются неточными, поскольку применение формулы Гаусса законно только при достаточно большом числе измерений. Более точные значения доверительного интервала при небольшом количестве измерений могут быть найдены с помощью коэффициентов Стьюдента, таблицы которых приводятся во многих руководствах. Обозначим коэффициенты Стьюдента через tan, где а указывает доверительную вероятность, а п — число измерений. В этом случае

ных данных. Таким образом, для нахождения доверительного интер­ вала при небольшом значении п находят по заданной доверительной вероятности а и числу измерений п коэффициент Стьюдента и пог­ решность Ах. Коэффициент Стьюдента tan определяет доверитель­ ный интервал Ах при малом числе измерений.

Заметим, что обычно бывает возможным вычислять доверитель­ ные интервалы в долях <т„. Для е = 1, т. е. для погрешности Ах = а„, доверительная вероятность а равна 0,68. Для е = 2, т. е. Ах -■= 2а„, доверительная вероятность а=0,95, что вполне удовлетворительно для большинства практических измерений. Для е = 3, т. е. Ах — = 3<т„, доверительная вероятность а = 0,997 и близка к достовер­ ности.

В случае измерения не отдельной физической величины, а струк­ туры, т. е. набора значений физической величины, оценка погреш­ ности усложняется. Здесь на первый план выходит точность пере­ дачи образа в целом, а не точность в определении физических величин.

72