Файл: Мирцхулава, Ц. Е. Надежность гидромелиоративных сооружений.pdf

На практике часто встречаются случаи, когда случайные ве­ личины являются функциями других случайных величин. При этом плотность вероятности случайной величины, представляющей сум­ му нескольких случайных величин, может быть представлена ком­ позицией плотности вероятности слагаемых. В теории вероятно­ стей доказывается, что при нормальном распределении каждого слагаемого сумма любого числа слагаемых также имеет нормаль­ ное распределение, а также то, что композиция законов Пуассо­ на опять дает распределение Пуассона.

5.НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ОМЕТОДАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИИ

(ОЦЕНКА ВОЗМОЖНЫХ ОШИБОК)

При анализе величин, характеризующих процессы, наблюдае­ мые на гидромелиоративных объектах, имеют дело с так назы­ ваемыми выборочными данными. Из обследуемой генеральной статистической совокупности объемом N единиц делают случай­ ную выборку п, которая должна быть представительной (репре­ зентативной) и обеспечивать равновозможность для каждого чле­ на генеральной совокупности. Числовые характеристики признака вариационного ряда выборки служат приближенными значе­ ниями соответствующих характеристик генеральной статистиче­ ской совокупности.

Несмотря на простоту оценки возможных ошибок полученных результатов измерений, методы оценки недостаточно известны широкому кругу специалистов.

Под ошибками в данном случае подразумевается не погреш­ ности в вычислении тех или иных статистических показателей, а пределы возможных изменений их значений по отношению ко всей совокупности. Напомним, что ошибкой и погрешностью на­ зывается разница между точными и приближенными значениями измеряемой величины.

При измерении любых величин возникают ошибки, которые могут быть различного происхождения. Практика измерения по­ казывает, что нужно различать три вида ошибок: грубые, систе­ матические и случайные. Есть ошибки, которые можно устранить, и ошибки, которые устранить невозможно.

Грубые ошибки делятся на логические и промахи при вычис­ лении. Они являются результатом небрежности измерения или неожиданного воздействия на измерения. Промахи приводят обыч­ но к очень большим по абсолютной величине ошибкам. Следует принять меры, чтобы при выполнении измерений возможность про­ махов была полностью исключена. Если обнаружена грубая ошиб­ ка, следует ее исправить. Если это по какой-либо причине сде­ лать невозможно, грубая ошибка должна быть исключена из вариационного ряда. Исключение данных должно быть стати-

42

стически обосновано. Исключены должны быть те данные, веро­ ятность принадлежности которых к данной совокупности доста­ точно мала. Обычно рекомендуется отбрасывать измерения, если

того, что ошибка измерения превысит утроенную среднюю ошиб­ ку, равную 1—0,993075 = 0,00693, весьма мала. Наличие измере­ ния с ошибкой За (так называемое трехсигмовое значение) при­ водит к мысли, что мы имеем дело с промахом. Более точная методика предложена Гумбелем [22].

Систематические ошибки являются следствием влияющих на измерения эффектов, действие которых не распознано и не устра­ нено. Задача исследователя — обнаружить эти ошибки и свести их к пренебрежимому минимуму. Полное исключение системати­ ческих ошибок невозможно.

Случайные ошибки являются следствием причин, влияние ко­ торых практически невозможно или очень трудно учесть. Это причины изменчивости. Характерная особенность случайных оши­ бок— независимость результатов последовательных измерений друг от друга. То, что одинаковые ошибки этого рода при боль­ шом количестве измерений встречаются одинаково часто, означа­ ет, что сумма таких ошибок (отклонений в ту и другую сторону от истинного значения измеряемой величины) равна нулю. По­ этому наиболее вероятным (истинным) значением измеряемой величины можно считать среднеарифметическое всех результатов измерений.

Точность наших измерений как будто логично должна быть оценена средним значением отклонений, но оно оказывается рав­ ным нулю, так как суммы положительных и отрицательных от­ клонений от среднеарифметического равны друг другу.

Простое среднее отклонение представляет собой среднеариф­ метическое абсолютных значений отклонений вариантов от сред­ него и вычисляется по следующей формуле:

/=1

За меру ошибки величины х принимается либо величина А, либо абсолютная погрешность АХг = х—xt или, так как обычно неизвестно х, для определения погрешности используют формулу AXi—x—Xi. Часто используется и максимальное из всей серии значение \х—Xi |. Последнее часто называется предельной или максимальной ошибкой.

Качество результатов измерения удобно характеризовать не абсолютной величиной ошибки Ах, а ее отношением к измеряе-

43

Особенно примечательно, что даже если случайная величина не подчиняется нормальному закону распределения, то обычно ариф­ метические средние и дисперсии серии испытаний распределены приближенно нормально. Это обстоятельство широко использу­ ется при обработке данных наблюдений методом математиче­ ской статистики.

Закономерность Гаусса подвергалась неоднократным экспе­ риментальным проверкам, которые показали, что в той области, где ошибки измерений не слишком велики, она отлично подтверж­ дается опытом.

Гаусс предложил оценивать отклонение от среднего средне­

Теория статистических ошибок дает следующую формулу ос­ новной или среднеквадратичебкой ошибки среднеарифметиче­ ского:

Эту ошибку среднего можно рассматривать как среднеквад­ ратическое отклонение для вариационного ряда, составленного из многократных определений среднеарифметических на разных вы­ борках из одной и той же статистической совокупности. В обо­

значении от символ х обозначает среднеарифметическое х. Величина ошибки среднего дает те пределы, в которых может

заключаться истинное значение среднеарифметического изучае­ мой генеральной статистической совокупности. Таким образом,

полное выражение среднего с учетом ошибки будет х+от Следует подчеркнуть, что определение величины ошибки сред­

него имеет важное значение при оценке результатов наблюдений.

44

Иногда как критерий установления степени надежности сред-

него используют соотношение — . Если значение этого соот-

Ъх

ношения превышает 3 при большом числе .вариантов п, то зна­ чение среднего считается надежным. Когда это отношение мень­ ше или равно 3, найденное среднее нельзя считать надежным.

Как было отмечено, нормальное распределение имеет боль­ шое распространение при описании случайных величин измере­ ний. Бесконечное множество этих кривых, характеризующихся различными данными, удобно описывать отношением

Величина t называется нормированным отклонением и широ­ ко используется при обработке опытных данных приемами мате­ матической статистики.

Очевидно, что при отклонении х от х на + а величина / = 1; на —2а значение t = —2 и т. д.

Если принять всю площадь, заключенную между кривой рас­ пределения и осью абсцисс, за 1, то на долю площади, заклю­

и т. д.

Анализ показывает, что приведенные соотношения верны для совокупностей, содержащих большой объем данных. При малом количестве выборок (менее 30 наблюдений) нельзя непосредст­ венно воспользоваться нормальным законом. Для этих случаев Стьюдент [31] предложил заменить случайную величину х другой случайной величиной, которая зависит только от некото­ рого аргумента t и числа наблюдений п или v = n—1.

Табулированное значение функции t в зависимости от Р и степени свободы'приводится в таблице 1.

Таким образом, минимальное и максимальное значения гене­

45