Файл: Мирцхулава, Ц. Е. Надежность гидромелиоративных сооружений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 103

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Вероятность попадания случайной величины X на участок (а, р) определяется или с помощью таблиц приведенной функции

Лапласа (см. приложение

10)

 

 

 

 

 

Р(а<Х<р)

_!_[ф /Jz-Щх.

л

а—тх

V

ф

0,675ах

(35)

 

2

\

0,675аж

 

J ] ’

или с помощью таблиц

нормальной

функции

распределения

Р ( а < Х < р )

=

Ф*

ft тА _ф *

 

(36)

где

 

 

 

/

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(37)

 

 

 

— ОО

 

 

 

 

 

 

e~tadt

(при р =0,477).

(38)

 

 

о

 

 

 

 

 

Когда участок (а, р) расположен симметрично относительно центра рассеивания тх, то при длине участка 2Е вероятность попадания на него будет

Рис. 3. Характеристика кривой нормального распределения:

®— ср ед неквадратическое отклонение (стандартное отклонение).

37

Р ( IХ - т хI < £ ) =

Ф ('----’-----

) =2Ф* (

(39)

1

1

\ 0,G753jr

/

\

I

Функция распределения E(x) случайной величины графически^ может быть построена с помощью соотношения

F (х) = Р (Х<.х) —Р (—о о < Х < х ) =

Ф

х — т х

(40)

0,675сЛ

2

 

Среднеквадратические отклонения на практике часто исполь­ зуются для определения границы области отклонения случайной величины.

Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, можно показать, что вероятность отклонения слу­ чайной величины от своего математического ожидания не более чем на а равна 62,27%, не более чем на 2а — 95,45%, не более чем на За — 99,73%, то есть

Р { \ Х - т х\ ^ За} =99,73% .

Близость к единице величины, соответствующей За (правило трех а), указывает, что нарушение этого правила наблюдается в одном случае из трехсот.

Логарифмически-нормальное распределение

Логарифмически-нормальное распределение широко использу­ ется в теории надежности для описания опытных данных о дли­ тельности безотказной работы различных элементов. Интенсив­ ность отказов (неисправности) элементов, подчиняющаяся этому распределению, вначале возрастает до некоторого максимального значения, а затем при t->-оо убывает до нуля. Данное распреде­ ление как и распределение Вейбулла применяется при описании усталостной прочности материалов. Этим распределением можно также описывать данные об отказах тех элементов, скорость из­ носа которых с течением времени уменьшается.

Если X случайная величина и lg(X —а) подчиняется нормаль­ ному закону распределения с математическим ожиданием тх и среднеквадратическим отклонением ох, то случайная величина имеет логарифмически-нормальное распределение с функцией плотности распределения:

l g [( x ~a ) ~m x Y2

f ( x ) = -------- -— rz—е

2ах‘

; х > а .

(41)

ах( х — а)]Х2л

 

 

 

38

Рис. 4. Плотность логарифмически-нормаль- ного закона распределения.

Параметры а, тх и ох этого распределения связаны соотно­

шением

 

 

а = а

; о ! = IgO + л 2),

(42)

 

’Ч

 

 

mx= \ g { a \ —а)---- — a l,

(4 3)

где ai и аг — первые два начальных момента логарифмическинормального распределения;

г]— действительный корень уравнения т]3+ З р —yi = О".

7 !=

м 3

■— коэффициент асимметрии.

 

ах

Кривая плотности логарифмически-нормального распределения с т ж= 0,46 и ох= 1 показана на рисунке 4. При х^.а функция плотности распределения равна нулю.

Экспоненциальное распределение

В практике расчетов надежности исключительное значение имеет экспоненциальное распределение.

Функция распределения непрерывной случайной величины, под­ чиненной показательному, или экспоненциальному, закону, имеет вид:

1—е~Хх

при х ^О

F(x) =

 

(44)

О

при х < 0 .

Плотность распределения величины

х будет:

\е~Хх

при

О

 

(45)

 

при х < 0 ,

39

где %— величина, обратная математическому ожиданию и сред­ неквадратическому отклонению случайной величины х, то есть

 

t

 

“Г- >

(46)

поэтому

 

 

к

 

 

X

 

 

 

 

 

 

(

1-—е

тх

при х^ О

 

х

(47)

F ( x ) =

о

 

при х < 0

:

 

’

X

•

1- е тX

при х

f ( x ) = -

тX

при *

 

0

^ О

(48)

А О

Графики функций F ( х )

и f(x)

показаны

на рисунках 5

и 6 .

Если в выражения (48)

и

(47)

положить х —

т х ,

то получим

 

 

F ( x )

= 0,628

и / ( * ) = = 0,38. .

 

 

Из

класса экспоненциальных

распределений

иногдаисполь­

зуют первую функцию распределения Лапласа,

которая

для

тх= 0

и Gx— 1 имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

F(х) — 1-----е~хуГГг при х^О ,

 

 

(49)

и плотность распределения

соответственно будет:

 

 

 

 

/ ( * ) =

^

е~х П -

 

 

(5°)

Широкоеприменение экспоненциального распределения отча­ сти объясняется тем, что все расчеты существенно упрощаются.

Рис. 5. Функция экспоненциально­

Рис. 6. Плотность экспоненциального

го закона распределения.

закона распределения.

40

Вероятности

0J90 0£6 0£в Q&9

0J9S9

 

O f999

0.99999

0.999999

Г — ’----- -

I

1 ' |-------

'----- '------

1----------------------

1-------

------ ------- 1

 

 

V

 

/ з

2

 

*

/

W 20 90

Ю2

<D3

ЮЦ

W }

W6

 

Период ообторяеыости

 

 

 

Рис. 7. Законы распределения:

 

1 — н орм альны й

закон ; 2 — двойное экспоненциальное

распределение; 3 — эк ­

споненциальное

расп ределен ие;

4 — логариф м ически -норм альное

р асп р ед е ­

 

 

ление.

 

 

 

Кроме рассмотренных выше распределений, известны также

распределения Стьюдента,

Гамма,

Фишера,

гипергеометрические

и др.

Когда эксперйментальные данные зависят от большого числа факторов, они могут быть представлены распределениями, пред­ ложенными Пирсоном (кривые Пирсона).

Приведем сравнительную характеристику некоторых из рас­ смотренных законов распределения. На рисунке 7 показана связь между значением случайной величины, выраженной в долях сред­ неквадратических отклонений, и периодом повторяемости. Из ри­ сунка следует, что для значений случайных величин, не превышаю­ щих 2ах, осе законы распределения характеризуются (примерно одинаковыми периодами повторяемости и не очень существенны­ ми различиями вероятностей небольших отклонений. Но для ве­ личин, достигающих значений 4ох и более, различия оказываются весьма значительными. Поэтому необходимо обязательно выяс­ нить закон распределения, которому подчиняются большие ошиб­ ки. Нормальный закон распределения дает наименьшую вероят­ ность больших отклонений. Большие отклонения следует ожидать при количественной оценке ошибок, полученных на основании экспоненциального распределения, которому при анализе больших погрешностей часто отдается предпочтение.

41

Смотрите также файлы