|
|
|
|
|
Т а б л и ц а ' |
|
|
Значения |
коэффициента Ь 2 |
|
|
|
|
|
Значения b |
при Мп |
|
|
bz |
0 |
|
5 |
10 |
15 |
|
|
0,0102 |
167 • |
102 |
171■ ІО2 |
176-ІО2 |
181-102 |
0,0205 |
83.5- |
102 |
85,6- 10s |
88-ІО2 |
90,4 |
-102 |
0,0308 |
55.6- |
ІО2 |
57,1 • ІО2 |
58,7-ІО2 |
60,3 |
-ІО2 |
Система |
(IV. 121), соответствующая значению параметра Ьг = |
= 0,0102, запишется |
так: |
|
ф}1-)- 1,5sin фі = 0,57 — J,1 sin фз', |
фі1+ |
sin фо = |
(IV. 122) |
0,59 -|- 0,016 sin 0,002т* — 1,1 sin фі- |
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по переменной т*. Систему вида (IV. 122) можно назвать системой Дуффинга по ана логии с известным уравнением Дуффинга
уи + а 2 sin у = ß/ (х). |
(IV. 123) |
Наличие в системе (IV. 122) низкочастотного возмущения с от носительно малой амплитудой по-видимому не может повлиять существенно на ее решение. Поэтому целесообразно рассмотреть упрощенную систему:
фі1= 0,57 — 1,5 sin фі — 1,1 sin ф>;
(IV. 124)
ф” = 0,59 — 1,1 sin фі — sin фз-
Система (IV. 124) не содержит явно независимой переменной и, следовательно, допускает понижение порядка. Обозначим
|
|
dtp. |
|
_ |
|
|
|
|
|
d%t |
|
Тогда |
11 |
dpл |
11 |
dpi |
|
|
= /* |
& |
■р1rf<Pi ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Арг |
|
|
|
Pi — Pi ^фГ ’ |
|
Р1^ |
^ |
0’57 ~ 1,5 sin фх— 1,1 sin ф2; |
(IV. 125) |
P |
l ^ |
= °.59 — 1,1 sin Фі — Sin ф2. |
|
Систему (IV. 125) можно преобразовать к одному уравнению треть его порядка с независимой переменной фх и неизвестной функ цией ф2. -
Исключим Р 2.
р1^Е±- — 0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2;
или
0,5 |
dp\ |
0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2; |
* рГ |
(0,57 |
|
|
d(p2 |
— 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2) rftPi |
■р\ |
d(p{ |
= |
0,59 — 1,1 sin фі — sin фо; |
или |
|
|
|
(IV. 126) |
|
|
|
|
0,5 |
d<Pi |
d2Фа |
(0,59 — 1,1 sin фх — ф2)— |
|
|
йф? |
|
^фо ■(0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2) dcpi J
= 0,57— 1,5 sin фх — 1,1 sinУравнение (IV. 126) равносильно системе
°,5 {-i- [(0,59 — 1,1 sin фх — sin ф2) —
— (0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2) /х]| =
(IV. 127)
= 0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2;
dcp2 _ . |
d2x |
__ . |
dq>x |
Лрх |
^2’ |
или в нормальной форме |
|
|
|
|
|
|
_ |
; ■ |
JÈOi. — / • |
|
|
|
Арх |
^1’ |
dcpx |
І 2 ' |
|
|
|
Іг [— 1,1cos фх -f (1,5 cos фх — cos ф2) /х + |
(IV. 128) |
dj2 |
_ |
+ 1 ,1 cosф2 —3(0,57— 1,5 sin фх—1,1 sinф2) )о] |
|
d(pi |
|
0,59 — 1,1 sin cpx— sin ф2— (0,57—1,5 sin cpx—1,1 Біпфа)/1 |
|
Определим начальные условия для системы (IV. 128). Для этого заметим, что решение системы (IV. 124) в окрестности x t = 0 мо жет быть представлено степенными рядами:
Фі = |
а 0 -(- аітг - f а 2т? + сс3т? + а 4т\ |
+ |
• • •; |
|
ф2 = |
ßo ~Ь |
ßlT/ -f- ß2T/ |
ß3T, J|- ßlT, -|-- |
• • • . |
|
Коэффициенты а 0, а ,, |
ß0, ßx равны нулю в силу нулевых началь |
ных условий для |
|
и ф2. |
0, |
находим ф}1(0) = 0,57; ф.(‘ |
(0) = |
Положив в (IV. 114) х ( = |
= 0,59, откуда а 2 = |
0,285; |
ß2 |
= |
0,295. |
и |
полагая x t |
— 0, |
Последовательно |
дифференцируя (IV. 124) |
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф1,,(0) = 0; |
фг'1(0) — 0; |
|
|
|
фіІѴ) (0) = - |
1,504; |
фіѵ(0) = - |
1,217; |
|
|
а4 = |
0,0624; |
ß4 = — 0,0507. |
|
|
|
По известным формулам дифференцирования параметрически заданных функций
diу., _
ЛП — ф{ ’
|
« f t p , |
Ф з ' Ф І - Ф о ' Р І 1 |
|
|
находим |
dipf |
|
|
Ф ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d<f2 |
ф=0 = |
1,035 |
& ф 2 |
0,346, |
|
dtpi |
|
dq>i |
|
т. е. |
ух (0) |
= |
К035; |
/ 2 (0) |
= 0,346. |
(IV. 129) |
ф2 (0) = 0; |
Проинтегрируем систему (IV. 128) при условиях (IV. 129) при ближенно по методу Эйлера с шагом h = 0,2 и h — 0,1
|
|
|
ф2я |
jlnh] |
|
|
! |
ф2 (п+1) |
= j i n |
+ |
+Іъ А , |
(IV. 130) |
|
= |
1 (л+1) = |
|
ф2п, jln, |
|
И |
j'2n -г F |
(фЬі. |
k n ) h . |
|
|
|
|
|
|
Здесь Р — правая часть третьего |
уравнения (IV. 128) |
|
Непосредственное вычисление |
функции F = |
в началь |
ной точке приводит к неопределенности 0/0. Оно может быть най-
d<р2 d2(р2 „ ,
дено как ранее значения —— и — V- с помощью разложении фуикdfPi dtpj
ций ср1, ср2 в степенные ряды. Имеем
d \ 2 __ ф] (ф}ф|и - ф ' пФІ) — Эф}1(фіф^1-У І'ф о )
d y f |
Ф * |
Результаты |
численного интегриро |
вания системы |
(IV. 128) показаны на |
рис. IV.22. Штрих-пунктиром обозна |
чена интегральная кривая, полученная линейной экстраполяцией из интеграль ных кривых, соответствующих h = 0,2 и h = 0,1.
Далее необходимо проинтегрировать первое уравнение системы (IV. 116). Гра
фик правой части этого |
уравнения, по |
лученный также путем |
линейной экст |
раполяции, приведен на рис. IV.22. |
Как видно из этого рисунка, правая |
часть |
указанного |
уравнения |
хорошо |
аппроксимируется |
линейной |
функ |
цией |
срх |
|
|
|
|
, О |
|
|
|
- Ы £ = О-57 - |
2.71 Фх. |
(IV. 131) |
Отсюда |
|
|
|
9 t
Рис. IV.22. Зависимость ф2 от фх
р\ = |
1,14срі — 2,71 фі; |
|
# 1 |
У 1,14фі—■2,71 Фт; |
|
dit |
|
|
|
|
|
|
У |
^Фі |
2 |
|
J |
1,14фх — 2,71 |
(IV. 132) |
п |
" |
|
фі |
2 ? _______ ^2,7ЫФі
Ѵ%7ХJ КШ-гКчді/і-у^Ф!
о'
=1,215 arcsin 1,54 К фг .
