Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Р(А) — РУ} (t, т).

Гипотеза / / г пусть означает,

что в момент

где

случайная функция равна х,, если

Х{1)— Ху; при

атом

Р{Н{) = Р ЫЬ, /'),

а

Р ( А / Н Р ц (/',

т).

Следовательно,

спра­

ведливо равенство

(t, 0

=

2

ры (t, Г) Рп (Р, т)

(t < Г < Т)

(2.13)

/=0

уравнением

Колмогорова — Чепмена — Смолуховского.

что

Функция

Ру,j (4, 0 является условной вероятностью того,

в момент /

справедливо равенство X ( t ) = x j, определенной

при

случайная

функция

Х{() равна

xkl то

условная

вероятность

Л ] (Аь I)

совпадает с

безусловной

вероятностью Р-} (/) того, что

в момент t случайная функция X(I)

равна

х г Когда

известны ве­

равна x k (к — 0, 1, ...,

N), для безусловной вероятности Л (0 =

— Р[А'(/)— Xj] согласно

формуле полной вероятности

(2.12) полу­

чаем

Л ( 0 = 2 Л ( * о ) Л с 1 ( * , » t).

(2.14)

к=0

_

N

(2.15)

* ( 0 =

2 V j ( 0 ;

j=o

[АГ(01 = £ [x-j -

х (0 ]2Л (0 =

2

x]Pi(t) — Lx (г1)]2 .

(2.16)

j= o

j= 0

Если марковский случайный процесс X (/)

целочисленный,

т. е.

его возможные значения

xs — j

(/ = 0,

1,

.. .,

N), то при определе­

G (и; t) =

2 и1A (t),

(2.17)

так что

j= 0

(2.18)

0(1;

0 = 1 -

X(t):

dG{it; t)

)

(2.19)

ди

11=1

d2G («;

t)

X(t)— \x(t)\2.

(2.20)

D\X(t) ] =

+

ди2

U -1

K A t, т) = Ж {[AT (^) — ^ (01 [ЛГ(х) — ^ (т)]}.

(2.21)

к х (t, т )= V V

[

^ - ^ [ x j - * ( - ) ] Rki (/, А .

(2.22)

k=0 j —О

Данную формулу можно также переписать в виде

Кх (/, т ) = 2

2

XkXftk) (t,

х) - х (t) х (х).

(2.23)

k=0 j = 0

Дисперсия случайного процесса X(t)

связана с корреляционной

функцией соотношением

D[X(t)] = Kx(t,t).

(2.24)

Случайный процесс X (/)

с дискретными ординатами и непрерыв­

порядка / для X(t)

не зависят от

начала

отсчета

аргумента /.

Дйя такого процесса математическое ожидание

x(t) ц

дис­

персия D[X(/)] постоянные, а корреляционная функция K x(t,

т) за­

висит от t и т только как от разности, т. е.

х (*) = const,

D [ X (*)] = const,

Кх(t,

t) = АГх(х — /).

(2.25)

смысле. Обратное не всегда верно, так как из равенств

(2.25) не

следует выполнение условий стационарности процесса.

с

Пример 2.1. Целочисленный марковский случайный.процесс X(t)

дискретными ординатами и непрерывным временем

совпадает

с

числом требований в системе массового обслуживания, которые

ность P kJ-

(t, т) того, что к моменту т >

/ в систему поступит / тре­

бований,

если к моменту t

их поступило k, выражается формулой

(*. -О =

е

~ н и т) (/ > k) ’

( 2 -26)

где а(/,

т) — заданная функция, которую можно представить в виде

a{t,

т) —

.

t

При t =

О'требований в системе нет.

G(и, t). Определить матема­

Составить производящую функцию

(/ = 0 , 1 , . . . ) .

Так как при t = 0 в

системе требований нет, то

Р о ( 0 ) = 1 ;

Pj (0) — 0 ( / =

1, 2, ...).

Воспользовавшись формулой

(2.14) при

^о = 0, N== со,

для вероятности Pj(t)

при любом t находим

Л ( 0 = 2 Л < ( о ) Р к](о,

t) =

poi(о,

t),

т. е.

к=0

р. (t) =

e-a(0, t)

(/ =

0, 1,

...).

[иа(0, ^)]j

Л

. = exp \{и -

1) а (0,

t)\.

Так как

dG

а (0, t) G (и; t)\

д'Ч)

да

ди~ =

[а (0, t)YG(u\ t) ,

При т 'У t математическое

ожидание случайного процесса X(t)

будет

х W = а (0, х) = Г

Г т (5)

-h

( & ) Я ,

0

о

t

т. е.

—

-) .

Кх (t, x) = M [ [ X ( t ) - x (*)] [X (Т) _ *

(т)]} =

= M{[X(t)- x(t)\*} + M \ { X { t ) - x ( t ) ] \ l { t ,

x ) - a ( t , т)]) .

реляционная

функция совпадает

с дисперсией,

т.

е.

Кх (t,

т) =

= £>[*(/)] =

а (0,

t).

Так

как Кх{х,

t) -

К* (t,

х),

то Kx{t,

т) =

— а (0, т) при t >

т.

При j < k и т

1вероятность Rki (t,

т)

равна нулю,

а при j k

Rki(t> i) = p k(t)

РыУ,

[a(0, t)\*[a{t, T)]i-k

x) =

kl(j .- k)l

Таким образом, искомый двумерный ряд распределения

0

при

/ < k\

P [ X ( t ) = k ,

X(x) =

j] =

И О .

t)\*[a(t,

т)р -к . £—а(0,т) при

/> £ .

6 ! (/ — &)!

Если t > т, то

О

при

k < j \

P \ X { t ) = k , X ( x ) = j ] :

[я (0, *)]кИ * .

t)}*-'

a(0,t) при

М Ь ~ У)!

оо

со

KAt, *)= 2

2

[А- * ( * ) ] [ / - * to]як1(*>

*0 =

к — 0 j=U

: ^ -а(0.т) у

1

[£_*(*)]

[а (0’

i ;

[S-f £-Зф)]

^

■

к !

' 1

s!

j-o

s=0

Так как

[ a ( 0 ,

О Г

~ 0 ;

2 -

[ a t t ,

t ) | s

oa(t,‘ )

2 [ * - * ( * ) ]

k\

s!

k= 0

s=0

TO

tf*(*.

T) =

V

[ ^

_ 1) +

k -

(0]

HQ, t)]*

k — 0

k\

=

[a (0, ^)]2 +

а (0, £) — x (£) a (0,

£) =

a (0,

t),

мые формулой (2.3) вероятности перехода Pkj ( t, т)

зависят от t и

т как от разности, т. е. если

^kj (^, х) =

^kj (х —

( ~ > t )

(3.1)

( * , / =

0, 1, . .. , N).

В этом случае условные вероятности (3.1)

зависят от одного аргу­

мента, и потому вместо Ркj (t, х) при х ;> t можно

писать P ri (t)

при t > 0. Уравнение

Колмогорова — Чепмена — Смолуховского

(2.13) для однородного процесса принимает вид

Ло(") =

! / к i { t ) P i M - t )

( x > t )

(3.2)

(k, 7 =

0, 1, . .. , N).

2

17