Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

к=0

(з-з)

(/ = 0, 1.....JV).

Для вероятности (2.1)

при

однородном марковском

процессе

с помощью (1.12) находим

#bj(t,-')=Pb(t)Puj ( x - 0

(3.4)

(k,

/ = О,

1, . . . , JV).

роком

смысле.

В частном случае, когда

вероятности

Pj it)

(/' = 0,

1, ..., N)

не зависят от времени, однородный

марковский

процесс стационарен в широком смысле.

процесс

X{t)

будет

Определим, при каком условии случайный

непрерывным временем.

Пусть t, t' и х — произвольные

моменты

времени, причем t < V <

т. Вероятность Р( хj; t, т) того,

что в ин­

Р (хр

t, х) = Р (х,;

х - f);

Р (х,; t, f )

= Р (хр t ' - t ) .

В марковском процессе отсутствует последействие, а потому

условная

вероятность

P(xi ; Р,

т/x j;

t, f)

не

зависит

от

того,

сколько времени до момента Р случайный процесс X(t)

был равен

Xj. Следовательно, эта

условная

вероятность

отличается

от

Р (х 5; t, т)

только тем,

что начало отсчета времени из точки t пере­

Р (*р

x — t ) = P (JCj-;

f — t)P (X; ;

т — t')

или, что то же самое,

Р ( х j;

1 + ъ) = Р ( ъ ;

Z)P{*i,

уд

(3.6)

(/ =

0,

1,

. .. ,

N),

где \ =

t' — t\ т| = т — tr.

Вероятности P(x j; t)

являются дифференцируемыми функциями.

В результате дифференцирования (3.6) находим:

д 5 +

Уд =

Р' {Xi;

И - т,) =

Р' {xj;

S) Р (jcj;

т,);

a

p (xr, t +

т,) =

Р' (*j5

1 + х д ^ Р (хj; S) Р' (Л-

(3 J )

—

7() .

Из этих равенств следует, что

х

Р'С*р £)Р(л:р

^) =

^(^-;

^)Р'{Х\\ уд,

P'l*j;

5)

_

P'(Xj]

уд'

P(Xji 6)

“

P{Xj-,

r,)

P'(Xj,

t)

const.

(3.9)

Р { х j;

t)

Интегрируя (3.9), получаем P(xj;

t ) = C e

V .

Так

как

P(xTj;0) = l,

то C — 1. Из

P(Xj‘, 0 ^ 1

следует,

что

постоянная

T j > 0 .

Таким образом, для однородного марковского процесса вероят­

ность Р(хj ; t)

можно представить в виде

Р (xr, t) = е~~Ч1 (/ = 0,

1,

. .. , N).

(3.10)

Пусть случайная величина Тj означает время,

в течение

кото­

рого случайный процесс X(t)

равен Х\. Тогда

Р ( 7 } < : * ) = 1 - Р ( * р 0

=

1 — e_7J*

(3-11)

(/ — 0, 1, . . . ,

N).

равенство X ( t ) ~ X j ,

имеет показательное распределение с пара­

метром jj. Плотность распределения

этой случайной величины

/j(£) = Tjg

fj ( * > 0 ) .

Параметр fj

связан с математическим

ожиданием

ij

случайного времени Tj равенством fj — -=— •

Постоянная

fj может быть любым

неотрицательным числом.

перехода в поглощающее состояние

Cj навсегда остается в этом со­

стоянии, так

как

при. этом £ j= оо ,

а Р( Ti >

£) = 1 при любом /.

Значение х,,

или состояние физической системы Сj, называется

мгновенным,

если

fj = со.

Математическое

ожидание времени,

в течение которого случайный процесс X{t) равен мгновенному воз­

можному значению Xj, равно

нулю;

попадая в это значение, слу­

ваемые устойчивые значения,

а физические

системы — устойчивые

состояния, для которых 0

Yj < оо (/ = 0,

1, . . .).

процессом X(t) принятого ранее значения Xj

не

зависит от тогу,

сколько времени функция X(t)

уже равна этому значению.

Отсут­

ствие последействия означает выполнение равенства

Р(хр £', т/хj;

£, t') =

P(x j; f, т)

(3.12)

(У = 0 ,

1,

M ) ,

которое для однородного процесса можно записать в виде

P iTj < ^ - t l T j > t ' - t ) =

P(Ti < r - t ' ) ,

(3.13)

где £ < £' < т.

Для доказательства (3.13) воспользуемся равенствами

P ( t ' - t < Tl < * - t ) =

P(Ti > £ ' — £;

7} <

т - *) =

= P ( T j > t ' ~ t)P{Tj < т -

t/Tj >

£' -

t).

Fj(t) = P ( r j < t ) = 1 - < г Д .

(ЗЛ4)

Тогда

Р (Tj> t' — t) = e “ Tj(t ”l) ;

P { f — t < T i < z ~ t ) =

Fi [ x - t ) - F i{t, - t )

=

- [1 - <?-TJ(T-t)] -

[1 - e-1i(t' ~l)] = e~4v - ‘Ml -

.

r

1

С помощью этих равенств получаем

р {Tj < ' — t/Tj> t ' — t) =

=

= 1 -

e_7j(T- ‘,) =

P ( Tt < t - t' ) ,

ском процессе следует равенство

=

\ - P ( x f ,

t,

т ) = 1

- в

''

,

(3.15)

где

Т; (ё) — неотрицательная

функция.

Если

вероятность

Р ( Г) <

т — I) можно

представить

в виде (3.15),

то

X(t)

является

марковским процессом.

случайный процесс с дпскрет-

Итак, если X ( t ) — марковский

ными

ординатами

и

непрерывным

временем,

то

вероятность

P ( 7 j > T — t ) — P(Xf; t,

т)

того,

что

этот

процесс

до

момента т

не сменит значения x jt которое было в момент t,

определяется фор­

мулой

-

\ Tj(5) dS

Р(лу,

t, z) =

e

1

(3.16)

O’ — 0, 1,

. .. ,

N),