Если условия (40.34) не выполняются или для искомой плотно сти распределения справедливы другие граничные условия, то для определения / ст следует использовать другие методы.
Пример 40.1. Определить стационарную плотность распределе ния случайного процесса X(t), являющегося решением дифферен циального уравнения
где а и р — заданные постоянные; ф(х) — заданная функция;
l(i) — нормальный белый шум, для которого | = 0;
^( т ) = 5(т).
Ре ше н и е . Чтобы привести исходное дифференциальное урав
нение к виду (40.16), положим Х' — Хи Х — Х2. Тогда получим:
M ± = |
- |
a*xt - 9 ( x 2) + m \ |
|
|
dX2 |
У |
|
|
|
|
~ d f ~ Xv |
|
|
|
|
При этом п — 2; |
|
|
|
|
|
<pi(*i, *2, t ) = |
— a2x, _ ф ( х 2); |
ф2(*ь х2, t) = |
xl; |
•фи = Э; -ф12 = ф21 = ф22= 0. |
|
Тогда |
|
— a?xl — <p(x2)-, |
a2(t, |
хи х2) = |
хг; |
ai(t, хи x2) = |
Ь \ \ = |
Р2; Ь \ 2 = ^21 = |
^22 — |
0. |
|
Стационарная плотность распределения [Ст(Уи У2) системы (У], Уг), где yi = X i (x) (У — 1, 2,), является решением следующего диф ференциального уравнения в частных производных:
“ ^ ([*8У1 + ? (Уа)] /ст) +У1 |
Щ |
2 |
ду2 |
В данном случае условия |
(40.34) |
не |
выполняются. Решение полу |
ченного уравнения будем |
искать |
в |
виде |
fcr(yu |
Уг)~ %{У\)ы{У2) . |
Подставляя эту функцию в уравнение, после деления результата подстановки на %{У\)(и{Уг) приходим к равенству
и |
X' (Уг) |
£ Ж |
= и щ'(У2) |
|
х! (У1) |
a2 -f- а?у1 |
<р(Уг) |
|
Х(У1) |
2 X (У1) |
У1 “ (Уг) |
X(Уг) ■ |
Выберем функции %(yi) и (л(у2) так, чтобы правая часть получен ного равенства обращалась в нуль, т. е. чтобы было
1 ш'(у2) |
1 х 'Ы |
?(Уз) т (У2) |
У1 Z (Уг) |
Данное соотношение возможно только, в том случае, когда его ле вая и правая части равны одной и той же постоянной — А, т. е. должно быть:
da> |
|
dl |
— Лу,. |
to |
|
А?( у 2); |
г |
Тогда |
|
|
|
|
|
1 |
Л 2 |
|
|
X (y i) = Се- т |
Ау‘ . и (Уг) = |
ехр |
|<р(и)^и , |
|
|
|
|
Та |
где С — постоянная |
интегрирования. Подставляя %{У\) в левую |
часть исходного уравнения, приходим к равенству |
а 2 _ Аа2у 1 -|- Е . ( _ л + А2у\) = 0 , ■ |
которое выполняется, |
если принять А — 2 |
. |
Следовательно, |
|
|
|
Уа |
|
|
|
|
/ст(У1. Уз) — С ехр — р2 |
+ 2 j* о (и) du |
Постоянная С находится из условия нормировки. Из полученного выражения следует, что случайные величины У1 и У2 независимые, причем У1 — нормальная случайная величпна с нулевым математи ческим ожиданием и средним квадратическим отклонением а, =
г. Искомая плотность распределения случайной величины У2
; У 2
|
Уа |
/гст(у2) = С 2ехр |
2 -35- | <?(u)du |
Если, например, <р(и) = а + Ь2и, то из полученного выражения сле дует, что У2 — нормальная случайная величина с математическим
а
ожидапием Уг — — р - и средним квадратическим отклонением з2 =
=_ L . ab ]/2
342
§ 41. МНОГОМЕРНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Функционирование большого класса физических систем описы вается системой стохастических дифференциальных уравнении вида
dX п
|
r f r = « j + 2 |
m w |
+ M i W] |
(4U) |
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
( / = 1 , |
2, |
я), |
|
где |
cLj, aj7 и |
j3j, — известные постоянные; |
центрирован |
(t) |
(l— l, 2, |
n) — взаимно |
независимые |
|
|
ные случайные функции, каждая из |
|
|
которых является нормальным бе |
|
|
лым шумом с корреляционной функ |
|
|
цией, равной 6(т). |
|
Систему дифференциальных |
уравнений (41.1) можно решить |
при любых заданных начальных условиях. Будем считать извест
ными значения хи х2, ..., х„ искомых случайных |
функций в на |
чальный момент времени t. Решение системы уравнений |
(41.1) для |
момента т > / обозначим через Yj — Xji'i) (/==1, |
2, ..., |
я). Каж |
дая из функций Xj (т) может быть представлена в виде суммы двух слагаемых, первое из которых — неслучайная функция, а второе — линейная функция от gi(f), |г(0> М О - Известно, что при ли нейных преобразованиях нормальность системы сохраняется. По
этому при нормальных случайных функциях |
МО |
= |
1, 2, ... , я) |
решением системы (41.1) является я-мерный |
нормальный марков |
ский случайный процесс R (т) = ![^i (О, |
(т), . |
. ., |
(т)]. Условная |
плотность распределения f(t, |
Х\, |
... , |
хп; т, |
у ь |
..., у„) |
этого |
про |
цесса полностью определяется |
математическими ожиданиями |
x-s (~) |
(j— 1, |
2, . .. , я) и корреляционными моментами |
|
|
|
|
М 0 |
= М [ В Д Л ( 0 ] |
( / , s = l , |
2 , . . . , |
я), |
(41.2) |
совпадающими |
с |
взаимными |
корреляционными |
функциями |
для |
О |
О |
О |
Xj (т) |
|
|
-п - |
|
|
Характеристическая |
Xj (т) |
и X j(t), |
где |
= Xj (т) — |
(т). |
|
|
о |
. .. , |
яп, т) |
для |
системы |
о |
|
о |
|
о |
(т)] |
функция Е(и,, |
[^(т)', Х2(т), |
..., Х„ |
определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е(ии м,, |
|
т) |
ехр |
I9V |
V |
Kisk u')us |
(41.3) |
|
|
|
|
|
|
|
z j-1 s=l |
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
Чтобы найти математические ожидания Xj(x) случайных функ ций Xj (т) (/— 1, 2, ... , я), применим к обеим частям уравнения
(41.1) |
операцию вычисления |
математического ожидания. |
Так как |
с( |
= 0 |
(/ — 1, 2, ..., л), то для искомых математических ожиданий |
получаем следующую систему дифференциальных уравнений: |
|
|
гйс. |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
~ЙГ = ai + |
2 |
anx i (х) |
|
|
|
(41-4) |
|
|
и |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
( / = |
1, |
2, .... я). |
|
|
|
|
В |
начальный момент времени |
х — t случайная |
функция |
X t (х) |
равна Xj. Поэтому начальные условия для системы |
(41.5) |
записы |
ваются в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi{t) = xi |
( / = |
1, 2, ..., |
я). |
|
|
(41.5) |
|
Центрированным случайным |
функциям |
X^х) |
= |
Xj{x) — JCjl-c) |
соответствует система стохастических дифференциальных уравне ний
Оп
dx I=1
( / = 1, 2, . .. , я).
Из сравнения данной системы с (40.16) следует, что в рассматри ваемом частном случае
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
1 |
|
|
|
|
TJ (Уг......... Уп) = |
|
гУг 5 | |
(41.7) |
|
|
|
|
|
|
Фл = |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( / , / - 1 , 2 , . . . , я), |
|
|
а потому в соответствии с (40.19) — (40.21) |
коэффициенты уравне |
ния Колмогорова следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«j (Уи •. ■, |
Уп) = |
2 |
|
ац>’г |
И = |
1, 2, . , я ) ; |
(41.8) |
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
bis — 2 |
|
(/> s — 1» 2, ••., я ). |
(41.9) |
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Второе уравнение Колмогорова |
|
(40.15) |
записывается в виде |
|
f , |
v |
i |
|
|
|
|
i |
П |
n |
_______ |
|
2 |
ай)’гI f |
|
|
v |
|
|
Лт “ Г |
^ |
А , . |
|
|
2 |
|
|
IS dyjdys = 0, |
(41.10) |
* |
£ |
dyj |
L v |
|
|
|
|
|
|
|
|
где через f обозначена условная плотность распределения системы
ОО
№( т ), УСп (т)]. Данная функция совпадает с условной плот-
|
ностью |
распределения f |
при |
( / = |
1, 2, . . |
л), т. е. |
О |
|
f = |
|
fij't 0, |
... , |
0, т, |
z/i, ... , |
z/n)* |
|
|
|
о |
|
В начальный момент т = t значения случайных функций |
|
Xj (т) |
|
(/ = 1, 2, |
п) |
равны |
нулю. |
Поэтому |
начальное |
условие |
для |
*О
условной плотности распределения f записывается в виде
П
f (t, 0 , ... , 0; Т, Уи. . ., у„) |,_t = П 8 (Vj). |
(41.11) |
J=i
о
Граничные условия для f нулевые при стремлении к бесконечности но абсолютной величине любого из аргументов г/i, ..., уп.
При решении уравнения (41.10) удобно от плотности распреде ления перейти к характеристической функции (41.3), которая свя-
зана с |
искомой |
условной |
плотностью распределения |
О |
|
f равенством |
|
|
|
|
Е (ии .и2 ,.. ., йп, т) = |
|
|
|
-Я- • |
|
: S v / 0 |
|
0; |
*, y i , . - . , y n) dy i dy2 ---dyn. |
|
г=1 |
f(t, О,. |
|
|
|
|
|
(41.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы произвести указанный переход, умножим обе части |
(41.10) |
П |
«у, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на е /=1 |
и проинтегрируем результат умножения по всем возмож |
ным значениям у\, г/г, . .., уп .Тогда |
с учетом (41.12) |
получим |
|
о |
|
" |
” |
“ |
I |
“Л |
|
|
|
|
|
|
j=l 8=1 |
—о |
|
dyi |
(yJ) |
- |
|
|
|
|
1 |
ь. - |
*2f |
dyi dy2... dya== 0. |
|
(41.13) |
|
|
|
2 |
JS (Jyi ду&. |
|
|
|
|
|
Интегрируя по частям при указанных граничных условиях, на |
ходим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J е 1 1 |
|
. |
t |
- |
*2 игуг |
|
|
|
-сщ- (yJ) dy^ = |
j e 1 1 |
уJ d y t ; |
(41.14) |
|
12 игуг |
|
d2f |
|
|
|
' 2 |
|
|
|
Я ‘ |
“ |
dy} dy. dy\ dy%= |
— lifts §§ e l 1 |
} d y id y s. |
(4 1 .1 5 ) |
